Langkau tajuk talian

Fungsi Bentuk untuk Unsur Pepejal 3D

Bab ini merumuskan sistem koordinat semula jadi dan bentuk eksplisit fungsi bentuk \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) yang diperkenalkan dalam Fungsi Bentuk dan Penghampiran Unsur Terhingga bagi unsur pepejal tiga dimensi yang digunakan oleh FrontISTR dalam analisis kontinum. Enam jenis unsur ialah tetrahedron tertib pertama/kedua (341/342), prisma segi tiga tertib pertama/kedua (351/352), dan heksahedron tertib pertama/kedua (361/362). Lihat Pustaka Unsur dalam rujukan fungsi untuk susunan nod dan nombor muka dalam format mesh HEC-MW.

Prosedur untuk membina pengamiran unsur daripada fungsi bentuk ini dan penentu Jacobian mengikuti Pengamiran Berangka. Formulasi B-bar, F-bar dan tidak serasi bagi 361, serta fungsi bentuk untuk unsur rasuk dan cangkerang, dihuraikan dalam Formulasi Unsur Lanjutan.

Sistem Koordinat Semula Jadi dan Susunan Nod Dalaman

Fungsi bentuk ditakrifkan pada koordinat semula jadi \(\boldsymbol{r}\) bagi setiap unsur. Unsur pepejal tiga dimensi menggunakan tiga sistem koordinat semula jadi berikut mengikut bentuk unsur.

  • Heksahedron (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetrahedron (341/342): koordinat isipadu \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), dengan \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) dan \(L_i \ge 0\). Dengan mengambil \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) sebagai pemboleh ubah bebas, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Prisma segi tiga (351/352): gabungkan koordinat isipadu \((\xi, \eta)\) bagi segi tiga tapak (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) dengan koordinat paksi \(\zeta \in [-1, 1]\) untuk membentuk \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Kuantiti bantu \(a = 1 - \xi - \eta\) digunakan sebagai koordinat isipadu ketiga pada tapak.

Bagi unsur tertib pertama, penomboran nod unsur adalah sama dalam format input HEC-MW dan format dalaman. Bagi unsur tertib kedua, konvensyen susunan nod pertengahan sisi berbeza. FrontISTR menerima format HEC-MW sebagai input (nod bucu disenaraikan mengelilingi unsur, diikuti nod pertengahan sisi mengikut tertib sisi 1-2, 2-3, …), manakala fungsi bentuk dalam pustaka unsur dilaksanakan dengan mengandaikan susunan nod yang berbeza.

Perbezaan antara kedua-dua format diselesaikan oleh hecmw2fstr_mesh_conv, yang dipanggil sejurus selepas input mesh dan menyusun semula nod bagi setiap unsur. Antara unsur pepejal tiga dimensi, dua jenis berikut ditukar.

Jenis unsur Jadual penukaran Penerangan
342 (tetrahedron tertib kedua) Table342 Menyusun semula 10 nod kepada \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (prisma segi tiga tertib kedua) Table352 Menyusun semula 15 nod kepada \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Oleh sebab penyusunan semula dilakukan secara langsung pada tatasusunan yang menyimpan kesalinghubungan unsur, semua panggilan seterusnya kepada pustaka unsur menggunakan susunan nod dalaman FrontISTR. Bagi unsur heksahedron tertib kedua 362, tiada jadual penukaran kerana susunan nod pertengahan sisi dalam input HEC-MW dan format dalaman FrontISTR adalah sama. Pada output keputusan, penukaran songsang fstr2hecmw_mesh_conv memulihkan susunan nod HEC-MW sebelum penulisan, maka pengguna hanya perlu mengetahui format HEC-MW bagi input dan output. Nombor nod dalam fungsi bentuk di bawah menggunakan format dalaman FrontISTR yang telah ditukar.

Fungsi Bentuk untuk Unsur Tertib Pertama

Bagi unsur tetrahedron tertib pertama (341), fungsi bentuk ialah koordinat isipadu itu sendiri:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Bagi unsur prisma segi tiga tertib pertama (351), fungsi bentuk ialah hasil darab fungsi bentuk linear segi tiga tapak (\(a, \xi, \eta\)) dengan fungsi bentuk linear paksi (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Bagi unsur heksahedron tertib pertama (361), fungsi bentuk ialah hasil darab tensor fungsi bentuk linear dalam tiga arah koordinat:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Di sini \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) ialah nilai koordinat semula jadi bagi nod \(\alpha\) (setiap komponen ialah \(\pm 1\)).

Fungsi Bentuk untuk Unsur Tertib Kedua

Bagi unsur tetrahedron tertib kedua (342), fungsi bentuk dibahagikan kepada empat nod bucu dan enam nod pertengahan sisi:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Nod pertengahan sisi 5–10 masing-masing sepadan dengan titik tengah sisi 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4, dan 3-4.

Unsur prisma segi tiga tertib kedua (352) terdiri daripada enam nod bucu, enam nod pertengahan sisi pada muka segi tiga, dan tiga nod pertengahan sisi pada sisi paksi:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Nod pertengahan sisi 7–9 sepadan dengan titik tengah sisi segi tiga bawah (\(\zeta = -1\)), nod 10–12 dengan titik tengah sisi segi tiga atas (\(\zeta = +1\)), dan nod 13–15 dengan titik tengah sisi paksi.

Unsur heksahedron tertib kedua (362) ialah unsur 20 nod daripada keluarga Serendipity. Andaikan nilai koordinat semula jadi nod \(\alpha\) ialah \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Bagi nod bucu (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), dengan setiap komponen \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Bagi nod pertengahan sisi (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), dengan salah satu daripada tiga koordinat semula jadi sama dengan \(0\) dan dua yang lain sama dengan \(\pm 1\)), nod dengan \(\xi_\alpha = 0\) (sisi berorientasikan arah \(\xi\)) mempunyai

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Nod pertengahan sisi yang arah sisinya ialah paksi \(\eta\) atau \(\zeta\) diberikan secara serupa, dengan koordinat semula jadi yang sepadan dihapuskan oleh sebutan kuasa dua.

Topik Berkaitan