Langkau tajuk talian

Translation update pending

The Malay (Latin) translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Formulasi Unsur Lanjutan

Formulasi berasaskan sesaran standard yang dibentangkan dalam Formulasi Unsur Pepejal 3D menunjukkan kekakuan tiruan berlebihan yang dikenali sebagai locking (locking isipadu atau locking ricih) apabila digunakan pada bahan hampir tak termampat atau struktur berdinding nipis yang didominasi lenturan. Untuk mengelakkannya, FrontISTR menyediakan kaedah B-bar dan F-bar yang menggantikan hanya bahagian isipadu bagi matriks B atau kecerunan ubah bentuk; unsur tidak serasi dengan darjah kebebasan dalaman; unsur campuran u-p yang menganggap tekanan sebagai medan tak diketahui bebas; serta unsur cangkerang MITC dan unsur rasuk yang dikhususkan untuk struktur plat dan rasuk.

Bab ini merumuskan formulasi unsur lanjutan dan unsur struktur ini mengikut setiap jenis unsur.

Kaedah B-bar

Apabila unsur heksahedron linear 8 nod digunakan untuk bahan hampir tak termampat, medan terikan dalam satu unsur boleh bercanggah dengan kekangan isipadu malar, menghasilkan kekakuan berlebihan yang dikenali sebagai locking isipadu. Kaedah B-bar mengurangkan kekangan berlebihan ini dengan menggantikan komponen matriks B yang menyumbang kepada pengembangan isipadu dengan nilai yang dinilai di pusat unsur [Hughes1980].

Di pusat unsur \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), andaikan matriks B yang dikira daripada terbitan ruang fungsi bentuk ialah \(\bar{\boldsymbol{B}}\); pada titik kamiran \(\boldsymbol{r}\), andaikan matriks B biasa ialah \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Dalam hubungan sesaran-terikan bagi nod \(\alpha\) dan darjah kebebasan \(i\), komponen terikan isipadu \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) diubah suai dengan menambahkan

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Bagi komponen ricih \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\), \(\boldsymbol{B}\) biasa digunakan. Kekakuan unsur dan vektor daya dalaman dipasang menggunakan matriks B-bar yang terhasil.

FrontISTR menyediakan formulasi ini khusus untuk unsur heksahedron linear 8 nod (ID unsur 361; lihat Sistem Penomboran Unsur), dan ia boleh digunakan pada formulasi ubah bentuk kecil, Total Lagrange dan Updated Lagrange.

Kaedah F-bar

Di bawah ubah bentuk terhingga, perubahan isipadu memasuki secara tak linear melalui kecerunan ubah bentuk \(\boldsymbol{F}\). Kaedah F-bar [deSouzaNeto1996] menggunakan rawatan locking isipadu yang serupa dengan kaedah B-bar pada aras kecerunan ubah bentuk.

Andaikan nisbah isipadu kecerunan ubah bentuk yang dinilai di pusat unsur \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ialah \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), dan nisbah isipadu pada titik kamiran ialah \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Kecerunan ubah bentuk pada titik kamiran digantikan dengan

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Ini memberikan \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), maka nisbah isipadu di seluruh unsur disamakan dengan nilai di pusat unsur. \(\bar{\boldsymbol{F}}\) yang diganti digunakan untuk penilaian tegasan dan pembinaan matriks terikan-sesaran, dan kekakuan tangen unsur merangkumi sebutan tambahan yang berkaitan dengan penggantian ini.

FrontISTR melaksanakan kaedah F-bar khusus untuk unsur heksahedron linear 8 nod, dan ia boleh digunakan pada ubah bentuk kecil serta geometri tak linear Total Lagrange / Updated Lagrange.

Unsur Tidak Serasi

Unsur heksahedron linear 8 nod tidak mempunyai mod terikan yang diperlukan untuk lenturan dan menunjukkan locking lenturan dalam masalah yang didominasi lenturan. Unsur tidak serasi [Taylor1976] memperkenalkan mod sesaran tambahan di dalam unsur untuk mengatasi kekurangan ini.

Selain sesaran nod unsur \(\boldsymbol{u}^e\), darjah kebebasan mod tidak serasi \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) yang hanya wujud di dalam unsur diperkenalkan sebagai 3 arah × 3 mod bagi setiap unsur, dan medan sesaran dihampiri sebagai

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Bagi koordinat semula jadi \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), fungsi bentuk tidak serasi diambil sebagai \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), dan \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Fungsi ini tidak menjamin kesinambungan merentasi sempadan unsur, tetapi menambah ruang dalaman yang mampu menghasilkan semula terikan berkaitan mod lenturan.

Kekakuan unsur mula-mula dipasang dalam bentuk blok DOF luaran/DOF dalaman

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Selepas pemasangan dalam bentuk ini, kondensasi statik menghapuskan darjah kebebasan dalaman menggunakan \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), lalu menghasilkan kekakuan unsur yang hanya melibatkan darjah kebebasan luaran

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

yang dihantar kepada pemasangan global.

FrontISTR melaksanakan unsur tidak serasi khusus untuk unsur heksahedron linear 8 nod (C3D8IC), dan ia boleh digunakan pada formulasi ubah bentuk kecil, Total Lagrange dan Updated Lagrange.

Unsur Campuran U-P

Walaupun kaedah B-bar dan F-bar membetulkan komponen isipadu dalam rangka kerja berasaskan sesaran, unsur campuran u-p (U-P) menggunakan formulasi campuran [Bathe1996] yang memperkenalkan tekanan \(\lambda\) sebagai medan tak diketahui yang bebas daripada sesaran. Bagi bahan hampir tak termampat, seperti bahan seakan getah dengan nisbah Poisson yang sangat hampir kepada 0.5 atau logam selepas ubah bentuk plastik, mengenakan kekangan isipadu malar menggunakan medan sesaran sahaja menyebabkan locking isipadu; menganggap tekanan sebagai pemboleh ubah bebas melonggarkan kekangan ini.

Tegasan dipisahkan kepada komponen deviatorik dan tekanan sebagai

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Di sini, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) ialah matriks elastik deviatorik yang diperoleh dengan menyingkirkan daripada matriks elastik bahagian isipadu yang berkadar dengan modulus pukal \(K\). Tekanan \(\lambda\) dan terikan isipadu \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) dihubungkan oleh kekangan melalui kebolehmampatan \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Pendiskretan dengan sesaran \(\boldsymbol{u}\) dan tekanan \(\lambda\) sebagai pemboleh ubah tak diketahui menghasilkan sistem terganding unsur

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

dengan \(\mathbf{K}_{uu}\) mengandungi sumbangan elastik deviatorik dan, bagi ubah bentuk terhingga, kekakuan geometri; \(\mathbf{K}_{up}\) menggandingkan terikan isipadu dan tekanan; dan \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) ialah sebutan penstabilan tekanan (\(\boldsymbol{N}_p\) ialah fungsi bentuk tekanan). Oleh sebab darjah kebebasan tekanan adalah dalaman kepada unsur,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

kondensasi statik dilakukan dalam bentuk ini, dan kekakuan berkesan yang hanya melibatkan darjah kebebasan luaran (sesaran) dihantar kepada pemasangan global.

FrontISTR melaksanakan unsur U-P khusus untuk unsur heksahedron linear 8 nod, dengan satu darjah kebebasan tekanan bagi setiap unsur (malar dalam unsur). Ia boleh digunakan pada formulasi ubah bentuk kecil, Total Lagrange dan Updated Lagrange. Dalam Updated Lagrange, tegasan deviatorik dikemas kini menggunakan kadar tegasan objektif (jenis Jaumann/Hughes-Winget), kemudian tekanan \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) dikenakan menggunakan nilai yang diperoleh melalui kondensasi statik.

Unsur Cangkerang

Unsur cangkerang berasaskan teori plat/cangkerang Reissner-Mindlin digunakan untuk struktur plat dan cangkerang berdinding nipis. Apabila ketebalan berkurang, unsur plat/cangkerang berasaskan sesaran tertib rendah menganggar terikan ricih melintang secara berlebihan melalui mekanisme yang serupa dengan locking isipadu (locking ricih), menyebabkan kekakuan bagi mod lenturan meningkat secara berlebihan. Kaedah MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] mengelakkan masalah ini dengan mensampel semula hanya komponen terikan ricih pada titik ikatan yang telah ditetapkan dalam unsur dan menginterpolasi semula nilai sampel tersebut di seluruh unsur.

Nod unsur cangkerang MITC terletak pada permukaan tengah, dan setiap nod mempunyai enam darjah kebebasan: tiga komponen translasi dan tiga komponen putaran tentang sistem koordinat normal permukaan tengah. Kekakuan unsur dinilai melalui pengamiran Gaussian tiga dimensi pada koordinat semula jadi permukaan tengah dan arah ketebalan, dan ketebalan \(h\) dibekalkan sebagai sifat unsur semasa penilaian konstitutif.

FrontISTR menyediakan MITC3 (ID unsur 731), MITC4 (741) dan MITC9 (743), yang diwakili oleh satu lapisan permukaan tengah, serta unsur cangkerang berlapis MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nod, 3 DOF per nod) dan MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nod, 3 DOF per nod), yang nodnya disusun dalam dua lapisan sepanjang ketebalan. Dalam unsur cangkerang berlapis, darjah kebebasan nod hanya terdiri daripada tiga komponen translasi, manakala mod lenturan yang sepadan dengan darjah kebebasan putaran diwakili oleh susunan dua lapisan.

Unsur Rasuk

Anggota garis seperti girder dan struktur rangka didiskretkan dengan unsur rasuk. Unsur rasuk mewakili pemanjangan, lenturan dan kilasan hanya menggunakan translasi dan putaran nod pada paksi rasuk, manakala ubah bentuk di dalam keratan rentas diwakili oleh pemalar keratan.

Setiap nod rasuk mempunyai enam darjah kebebasan: tiga komponen translasi dan tiga komponen putaran. Kekakuan unsur diperoleh dengan membentuk matriks kekakuan bentuk tertutup untuk pemanjangan, lenturan dalam dua arah dan kilasan dalam sistem koordinat setempat yang ditakrifkan oleh paksi unsur serta paksi rujukan yang ditentukan dalam data keratan, kemudian mentransformasikannya ke sistem koordinat global. Luas keratan rentas \(A\), momen kedua luas \(I_y\) dan \(I_z\) tentang paksi setempat \(y\) dan \(z\), serta pemalar kilasan ditentukan sebagai data keratan; bersama dengan modulus Young bahan \(E\) dan modulus ricih \(G\) yang diterbitkan daripada modulus Young dan nisbah Poisson, semuanya mentakrifkan pekali kekakuan masing-masing.

Bagi lenturan, dua formulasi tersedia: rasuk Bernoulli-Euler, yang mengandaikan keratan rentas kekal tegak lurus terhadap paksi rasuk selepas ubah bentuk dan mengabaikan ubah bentuk ricih, serta rasuk Timoshenko, yang mengambil kira ubah bentuk ricih. Kedua-duanya boleh dipilih untuk unsur rasuk dua nod 611, dengan rasuk Bernoulli-Euler sebagai lalai. Bagi rasuk Timoshenko dengan panjang unsur \(L\), pekali yang mewakili sumbangan ubah bentuk ricih,

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

dimasukkan ke dalam pekali kekakuan bagi satah lenturan masing-masing. Sebagai contoh, pekali kekakuan bagi pesongan dalam arah setempat \(y\) ialah \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). Di sini \(A_s\) ialah luas ricih. Oleh sebab data keratan FrontISTR tidak menyediakan \(A_s\) secara berasingan, \(A_s = A\) digunakan. Ini bersamaan dengan mengambil faktor pembetulan ricih sebagai 1. Menetapkan \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) memberikan kekakuan rasuk Bernoulli-Euler.

Unsur 641 ialah unsur darjah kebebasan campuran yang mewakili rasuk menggunakan dua nod dengan darjah kebebasan translasi dan dua nod dengan darjah kebebasan putaran, dan diformulasikan sebagai rasuk Bernoulli-Euler.

Topik Berkaitan