Langkau tajuk talian

Prinsip Kerja Maya

Berdasarkan persamaan keseimbangan dan syarat sempadan yang diterbitkan dalam Tegasan dan Hukum Keabadian, kita menerbitkan prinsip kerja maya, iaitu bentuk lemah bagi masalah nilai sempadan mekanik kontinum. Pendiskretan unsur terhingga bermula daripada bentuk lemah ini. Bab ini membentangkan kedua-dua bentuk konfigurasi semasa (dinyatakan menggunakan tegasan Cauchy dan bahagian linear terikan Almansi) dan bentuk konfigurasi rujukan (dinyatakan menggunakan tegasan Piola-Kirchhoff kedua dan terikan Green-Lagrange), menunjukkan kesetaraannya, dan kemudian mengesahkan pengurangannya kepada ubah bentuk kecil.

Persamaan Keseimbangan dan Syarat Sempadan

Andaikan \(\boldsymbol{g}\) ialah daya jasad yang bertindak pada kontinum per unit jisim, dan pertimbangkan jasad yang menempati domain \(\Omega\) dalam konfigurasi semasa. Sempadan \(\Gamma\) dibahagikan kepada sempadan geometri tempat sesaran ditetapkan sebagai \(\bar{\boldsymbol{u}}\), \(\Gamma_B\), dan sempadan mekanik tempat traksi ditetapkan sebagai \(\bar{\boldsymbol{t}}\), \(\Gamma_t\), dengan \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) dan \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Bagi masalah statik, persamaan keseimbangan diperoleh dengan menggugurkan sebutan inersia daripada hukum keabadian momentum yang ditunjukkan dalam Tegasan dan Hukum Keabadian:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

Syarat sempadan ialah

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

Selepas ini, prinsip kerja maya diterbitkan sebagai bentuk lemah bagi persamaan keseimbangan dan syarat sempadan mekanik \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Syarat sempadan geometri \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) dimasukkan melalui pemilihan fungsi ujian.

Bentuk Lemah dalam Konfigurasi Semasa

Dalam bentuk lemah, takrifkan ruang yang dibenarkan bagi sesaran tak diketahui dan ruang fungsi ujian masing-masing sebagai

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

Di sini, \(d\) ialah dimensi ruang, \(H^1(\Omega)\) ialah ruang Sobolev bagi fungsi yang boleh dikamir kuasa dua bersama-sama terbitan lemah tertib pertamanya, dan \(\delta\) menandakan variasi. Dalam perwakilan konfigurasi semasa, \(\Omega\) ialah konfigurasi terubah bentuk; dalam penyelesaian berangka sebenar, ia ditarik balik kepada konfigurasi rujukan atau konfigurasi perantaraan yang diketahui.

Dengan mendarab persamaan keseimbangan dengan pemberat \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) serta menggunakan teorem kecapahan Gauss dan syarat sempadan mekanik, diperoleh prinsip kerja maya berikut dalam konfigurasi semasa.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Di sini, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ialah bahagian linear tensor terikan Almansi, yang ditakrifkan oleh

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Variasinya ialah \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Oleh itu, kita mencari \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) supaya persamaan kerja maya dipenuhi bagi setiap \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Sebelah kiri ialah kerja maya daya dalaman, manakala sebelah kanan ialah kerja maya daya luaran akibat traksi yang ditetapkan dan daya jasad.

Oleh sebab persamaan ini ditulis pada domain terubah bentuk (konfigurasi semasa), prosedur penyelesaian sebenar memilih semula konfigurasi awal \(\Omega_0\) (konfigurasi rujukan) atau konfigurasi perantaraan yang diketahui sebagai konfigurasi rujukan, menulis semula persamaan dalam bentuk kenaikan, dan kemudian menyelesaikannya. Lihat Rangka Kerja Analisis Kenaikan untuk pemilihan khusus konfigurasi rujukan (Total Lagrange / Updated Lagrange) dan penguraian kenaikan.

Bentuk Lemah dalam Konfigurasi Awal

Pertimbangkan jasad yang menempati domain \(\Omega_0\) dalam konfigurasi rujukan, dengan sempadan \(\Gamma_0\) dibahagikan kepada \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Menarik balik perwakilan konfigurasi semasa kepada konfigurasi rujukan memberikan pasangan tegasan-terikan konjugat berupa tegasan Piola-Kirchhoff kedua \(\boldsymbol{S}\) dan terikan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). Prinsip kerja maya dalam konfigurasi awal kemudiannya ialah

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Di sini, \(\rho_0\) ialah ketumpatan jisim dalam konfigurasi rujukan, dan menurut hubungan keabadian jisim \(\rho_0 = J\rho\), bentuk ini setara dengan perwakilan daya jasad dalam konfigurasi semasa.

Kesetaraan Perwakilan Konfigurasi Semasa dan Awal

Kerja maya daya dalaman dalam kedua-dua perwakilan bertepatan melalui transformasi oleh kecerunan ubah bentuk \(\boldsymbol{F}\) dan nisbah isipadu \(J = \det \boldsymbol{F}\); iaitu,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Sebutan daya luaran juga setara berdasarkan keabadian jisim dan transformasi traksi. Oleh itu, persamaan kerja maya dalam konfigurasi semasa dan persamaan dalam konfigurasi awal menyatakan prinsip yang sama dalam konfigurasi yang berbeza. Kaedah penyelesaian yang merujuk konfigurasi rujukan sepadan dengan kaedah Total Lagrange, manakala kaedah penyelesaian yang merujuk konfigurasi semasa (konfigurasi menumpu yang sejurus sebelumnya) sepadan dengan kaedah Updated Lagrange.

Pengurangan kepada Ubah Bentuk Kecil

Di bawah andaian ubah bentuk kecil \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) dan \(J \approx 1\), perbezaan antara konfigurasi semasa dan rujukan hilang, tegasan PK kedua bertepatan dengan tegasan Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), dan kedua-dua terikan Green-Lagrange serta bahagian linear terikan Almansi berkurang kepada terikan infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Prinsip kerja maya kemudian berkurang kepada bentuk lemah yang dinyatakan dalam sebutan tegasan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) dan terikan infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

Ini ialah bentuk lemah yang digunakan secara langsung untuk pendiskretan dalam analisis statik elastik linear ubah bentuk kecil (Analisis Statik Elastik Linear (Pengenalan dan Lampiran) bermula daripada bentuk ini dan menunjukkan pembinaan kekakuan unsur \(\boldsymbol{K}^e\) melalui pemasangan persamaan global \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Dengan menggantikan hukum konstitutif elastik linear \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) dan menulis \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) dalam notasi Voigt, bentuk lemah menjadi

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

yang mempunyai bentuk ini.

Topik Berkaitan