Langkau tajuk talian

Kaedah Analisis Dinamik

Bahagian ini menerangkan kaedah analisis untuk masalah dinamik menggunakan pengamiran masa langsung. Formulasi kaedah tersirat dan tersurat dibentangkan di bawah.

Pendiskretan Persamaan Gerakan (Rangka Kerja Bersama)

Belum ditentukan (akan dilengkapkan dalam fasa seterusnya).

Kaedah Tersirat (Kaedah Newmark-β)

Bagi masalah dinamik, kaedah pengamiran masa langsung digunakan untuk menyelesaikan persamaan gerakan yang ditunjukkan di bawah.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Di sini, \(M\) ialah matriks jisim, \(C\) ialah matriks redaman, \(Q\) ialah vektor daya dalaman, dan \(F\) ialah vektor daya luaran. Matriks jisim diandaikan kekal malar tanpa mengira ubah bentuk, walaupun dalam analisis tak linear.

Perubahan sesaran, halaju dan pecutan sepanjang kenaikan masa \(\Delta t\) dihampiri menggunakan kaedah Newmark-\(\beta\) seperti ditunjukkan dalam Pers. \(\eqref{eq:2.5.2}\) dan Pers. \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Di sini, \(\gamma\) dan \(\beta\) ialah parameter kaedah Newmark-\(\beta\).

Seperti yang diketahui umum, nilai \(\gamma\) dan \(\beta\) berikut masing-masing sepadan dengan kaedah pecutan linear dan peraturan trapezoid.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (kaedah pecutan linear)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (peraturan trapezoid)

Menggantikan Pers. \(\eqref{eq:2.5.2}\) dan Pers. \(\eqref{eq:2.5.3}\) ke dalam Pers. \(\eqref{eq:2.5.1}\) memberikan persamaan berikut.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Khususnya, bagi masalah linear, \(K_L\) ialah matriks kekakuan linear dan \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Menggantikan hubungan ini ke dalam persamaan di atas memberikan persamaan berikut.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Pada lokasi yang pecutannya ditetapkan sebagai syarat sempadan geometri, sesaran diperoleh daripada Pers. \(\eqref{eq:2.5.2}\) seperti berikut.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Begitu juga, pada lokasi yang halajunya ditetapkan, sesaran diperoleh daripada Pers. \(\eqref{eq:2.5.6}\) seperti berikut.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Di sini, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) ialah sesaran nod pada masa \(t+\Delta{t}\), dan \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) ialah halaju nod pada masa \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) ialah pecutan nod pada masa \(t+\Delta{t}\), \(i\) ialah nombor darjah kebebasan nod, dan \(s\) ialah nombor nod. Sebutan jisim dan redaman dikendalikan seperti berikut.

Pengendalian Sebutan Jisim

Pada asasnya, matriks jisim dikendalikan sebagai matriks jisim tertumpu.

Pengendalian Sebutan Redaman

Sebutan redaman dikendalikan sebagai redaman Rayleigh yang dinyatakan oleh Pers. \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Di sini, \(R_m\) dan \(R_k\) ialah parameter redaman Rayleigh.

Nilai \(R_m\) dan \(R_k\) yang ditentukan pada kad !DYNAMIC digunakan secara seragam pada keseluruhan model. Untuk memberikan nilai \(R_m\) dan \(R_k\) yang berbeza bagi setiap bahan, nyatakan kad !DAMPING di dalam blok !MATERIAL bahan tersebut. Bagi unsur yang tergolong dalam bahan yang mempunyai !DAMPING, matriks redaman unsur dikira sebagai \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) daripada matriks jisim unsur \(M_i\) dan matriks kekakuan tangen \(K_i\), lalu dipasang ke dalam matriks redaman global. Ciri ini hanya berkesan untuk kaedah tersirat.

Kaedah Tersurat (Kaedah Beza Pusat)

Kaedah tersurat berasaskan persamaan gerakan pada masa t yang ditunjukkan di bawah.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Dengan menyatakan sesaran pada masa \(t + \Delta t\) dan \(t - \Delta t\) melalui pengembangan Taylor sekitar masa \(t\) dan mengekalkan sebutan sehingga tertib kedua dalam \(\Delta t\), diperoleh persamaan berikut.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Mengambil beza dan jumlah Pers. \(\eqref{eq:2.5.3}\) dan Pers. \(\eqref{eq:2.5.4}\) memberikan persamaan berikut.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Menggantikan Pers. \(\eqref{eq:2.5.12}\) dan Pers. \(\eqref{eq:2.5.13}\) ke dalam Pers. \(\eqref{eq:2.5.9}\) memberikan persamaan berikut.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Khususnya, bagi masalah linear, \(Q(t) = K_L U(t)\), dan persamaan di atas menjadi

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Jika matriks jisim \(M\) diambil sebagai matriks jisim tertumpu dan matriks redaman sebagai matriks redaman berkadar \(C = R_m M\), Pers. \(\eqref{eq:2.5.15}\) tidak memerlukan penyelesaian persamaan serentak.

Oleh itu, daripada Pers. \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) boleh diperoleh melalui persamaan berikut.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Topik Berkaitan