Analisis modal¶

Masalah nilai eigen teritlak¶

Apabila getaran bebas suatu kontinum dianalisis, pendiskretan ruang dilakukan dan sistem dimodelkan sebagai sistem berbilang darjah kebebasan dengan jisim tertumpu seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.3.1. Bagi masalah getaran bebas tanpa redaman, persamaan kawalan (persamaan gerakan) adalah seperti berikut.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Di sini, $u$ ialah vektor sesaran teritlak, $M$ ialah matriks jisim dan $K$ ialah matriks kekakuan. Ambil $\omega$ sebagai frekuensi sudut asli, $a$ dan $b$ sebagai pemalar sebarang yang tidak kedua-duanya sifar, serta $x$ sebagai suatu vektor, lalu takrifkan fungsi

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Dengan fungsi tersebut, terbitan keduanya ialah

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Dengan menggantikan Persamaan $\eqref{eq:2.3.2}$ dan Persamaan $\eqref{eq:2.3.3}$ ke dalam Persamaan $\eqref{eq:2.3.1}$,

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

ungkapan berikut diperoleh.

Bagi getaran bukan remeh, $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ tidak sama dengan sifar secara identik; oleh itu,

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

diperoleh. Maka, dengan menetapkan $\lambda=\omega^2$,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

diperoleh.

Pekali $\lambda$ disebut nilai eigen dan vektor $x$ disebut vektor eigen; masalah yang dinyatakan oleh Persamaan $\eqref{eq:2.3.5}$ disebut masalah nilai eigen teritlak.

Frekuensi sudut asli $\omega$ diperoleh daripada nilai eigen $\lambda=\omega^2$, dan vektor eigen $x$ yang sepadan mewakili mod getaran.

Contoh sistem berbilang darjah kebebasan bagi getaran bebas tanpa redaman

Rajah 2.3.1　Contoh sistem berbilang darjah kebebasan bagi getaran bebas tanpa redaman

Sifat dan andaian matriks¶

Bagi masalah nilai eigen teritlak $Kx=\lambda Mx$ yang diperoleh dalam bahagian sebelumnya, manual ini mengandaikan bahawa matriks berkenaan adalah simetri. Bagi matriks kompleks, sifat ini bersamaan dengan matriks Hermitian; bagi matriks nyata, ia bersamaan dengan matriks simetri.

Jika unsur $ij$ bagi matriks $K$ ialah $k_{ij}$, sifat Hermitian dinyatakan sebagai

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

Di sini, $\bar{k}_{ji}$ ialah konjugat kompleks bagi $k_{ji}$. Bagi matriks nyata, hubungan ini menjadi $k_{ij}=k_{ji}$.

Selain itu, matriks simetri nyata $H$ adalah tentu positif jika, bagi setiap vektor bukan sifar $x$,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

hubungan tersebut dipenuhi. Dalam keadaan ini, semua nilai eigen $H$ adalah positif.

Dalam masalah nilai eigen struktur, matriks jisim $M$ biasanya dianggap tentu positif. Sebaliknya, matriks kekakuan $K$ boleh menjadi separa tentu positif bergantung pada kekangan dan boleh mempunyai nilai eigen sifar yang sepadan dengan mod jasad tegar.

Lelaran songsang dengan anjakan¶

Dalam analisis struktur menggunakan kaedah unsur terhingga, semua nilai eigen biasanya tidak diperlukan; beberapa nilai eigen tertib rendah selalunya mencukupi. HEC-MW ditujukan untuk masalah berskala besar, yang mempunyai matriks besar dan sangat jarang dengan banyak unsur sifar. Oleh itu, nilai eigen bagi mod tertib rendah perlu dihitung dengan cekap sambil mengambil kira ciri-ciri tersebut.

Bagi anjakan $\sigma$, jika $-\sigma$ bukan nilai eigen dan $K+\sigma M$ tidak singular, Persamaan $\eqref{eq:2.3.5}$ boleh diubah seperti berikut.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Transformasi ini tidak mengubah vektor eigen $x$ dan memetakan nilai eigen $\lambda$ kepada $1/(\lambda+\sigma)$.

Oleh itu, semakin hampir $\lambda$ kepada $-\sigma$, semakin besar nilai mutlak nilai eigen yang ditransformasikan. Dalam masalah nilai eigen struktur, $\lambda \geq 0$ dan $\sigma \geq 0$; maka nilai eigen terendah dipetakan kepada nilai eigen yang mempunyai nilai mutlak terbesar. Dengan menggunakan sifat ini dan menerapkan kaedah lelaran yang cenderung menumpu dahulu kepada nilai eigen bernilai mutlak besar pada Persamaan $\eqref{eq:2.3.8}$, nilai eigen tertib rendah boleh diperoleh dengan cekap mengikut turutan menaik.

Kaedah ini disebut lelaran songsang dengan anjakan.

Dalam analisis berkekangan, FrontISTR menetapkan $\sigma = 0$, lalu Persamaan $\eqref{eq:2.3.8}$ menjadi $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, iaitu lelaran songsang tanpa anjakan. Dalam analisis bebas-bebas tanpa kekangan, $K$ menjadi singular kerana mempunyai nilai eigen sifar yang sepadan dengan mod jasad tegar; nilai positif diberikan kepada $\sigma$ untuk menjadikan $K+\sigma M$ tidak singular. Nilai $\sigma$ ditentukan melalui SIGMA dalam !EIGEN.

Kaedah Lanczos¶

Sebab pemilihan (perbandingan dengan kaedah Jacobi)¶

Kaedah Jacobi ialah kaedah klasik yang terkenal.

Kaedah ini berkesan apabila matriks kecil dan tumpat. Walau bagaimanapun, matriks yang dikendalikan oleh HEC-MW adalah besar dan jarang; oleh itu kaedah Jacobi tidak digunakan dan kaedah lelaran Lanczos digunakan.

Algoritma dan ciri¶

Kaedah yang dicadangkan oleh C. Lanczos pada tahun 1950-an ini ialah algoritma untuk mentridiagonalkan matriks dan mempunyai ciri-ciri berikut.

Kaedah ini ialah kaedah lelaran dan pengiraan boleh diteruskan sambil mengekalkan matriks dalam bentuk jarang.
Operasinya terutamanya terdiri daripada hasil darab matriks-vektor, maka sangat sesuai untuk pemprosesan selari.
Kaedah ini sesuai untuk penguraian domain geometri yang berkaitan dengan mesh unsur terhingga.
Pengiraan boleh dilakukan dengan cekap dengan mengehadkan bilangan nilai eigen atau julat mod yang hendak diperoleh.

Kaedah Lanczos bermula daripada suatu vektor awal, membina vektor ortogon secara berturutan dan memperoleh asas bagi subruang Krylov.

Dalam aritmetik ketepatan terhingga, ralat pembundaran boleh menyebabkan vektor kehilangan keortogonannya. Untuk mengurangkan kesan ini, pelaksanaan FrontISTR mengortogonalkan semula setiap vektor terhadap asas Lanczos yang telah diperoleh.

Tafsiran geometri (subruang Krylov)¶

Dengan menggunakan transformasi pemboleh ubah berikut pada Persamaan $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

masalah boleh ditulis semula sebagai

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

dan persamaan di atas diperoleh.

Bagi sebarang vektor bukan sifar $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

ruang yang direntang oleh vektor-vektor tersebut

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

disebut subruang Krylov.

Kaedah Lanczos membina asas bagi subruang Krylov ini secara berturutan.

FrontISTR menggunakan hasil darab dalam berikut yang berkaitan dengan matriks jisim $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

untuk mengortonormalkan asas. Hasil darab dalam $\langle x,y\rangle$ dan norma $\|x\|$ yang ditunjukkan dalam rajah berikut ditafsirkan dalam pengiraan FrontISTR sebagai hasil darab dalam $M$ ini dan norma $M$ yang sepadan,

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

masing-masing.

Gunakan transformasi linear yang ditakrifkan oleh matriks $A$ pada sebarang vektor $q_0$, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.3.2.

$Transformasi linear $q_0$ oleh matriks $A$$

Rajah 2.3.2　Transformasi linear $q_0$ oleh matriks $A$

Vektor yang ditransformasikan diortogonalkan dalam ruang yang direntang olehnya bersama vektor asal. Secara khusus, pengortogonalan Gram-Schmidt dilakukan seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.3.3. Namakan vektor yang terhasil sebagai $r_1$; dengan menormalkannya, $q_1$ diperoleh.

$Vektor $q_1$ yang ortogon terhadap $q_0$$

Rajah 2.3.3　Vektor $q_1$ yang ortogon terhadap $q_0$

Prosedur yang sama memperoleh $q_2$ daripada $q_1$. Dalam keadaan ini, $q_2$ ortogon terhadap kedua-dua $q_1$ dan $q_0$, seperti ditunjukkan dalam Rajah 2.3.4.

$Vektor $q_2$ yang ortogon terhadap $q_1$ dan $q_0$$

Rajah 2.3.4　Vektor $q_2$ yang ortogon terhadap $q_1$ dan $q_0$

Dengan cara ini, kaedah Lanczos membina asas ortonormal bagi subruang Krylov secara berturutan. Secara teori, simetri masalah nilai eigen membolehkan lelaran ini dinyatakan sebagai hubungan pengulangan tiga sebutan yang menggunakan vektor asas terbaharu.

Walau bagaimanapun, untuk mengurangkan kehilangan keortogonan akibat aritmetik ketepatan terhingga, pelaksanaan FrontISTR mengortogonalkan semula setiap vektor terhadap asas Lanczos yang telah diperoleh menggunakan hasil darab dalam $M$.

Tridiagonalisasi¶

Dalam lelaran Lanczos FrontISTR, vektor asas diortonormalkan terhadap hasil darab dalam $M$ yang diterangkan dalam bahagian sebelumnya; oleh itu,

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

hubungan tersebut dipenuhi.

Dengan menggunakan matriks $A$ daripada Persamaan $\eqref{eq:2.3.10}$, lelaran Lanczos secara teori

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

boleh dinyatakan seperti di atas.

Mula-mula, $\alpha_i$ ditakrifkan sebagai

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

dan baki sementara ditakrifkan sebagai

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

ungkapan di atas.

Untuk mengurangkan kehilangan keortogonan akibat aritmetik ketepatan terhingga, pelaksanaan FrontISTR mengortogonalkan semula $\tilde{r}_{i+1}$ terhadap asas Lanczos yang telah diperoleh menggunakan hasil darab dalam $M$. Jika baki selepas pengortogonalan semula ialah $r_{i+1}$, maka

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

hubungan berikut dipenuhi.

Kumpulkan $m$ vektor asas yang diperoleh melalui lelaran Lanczos sebagai

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Selepas bilangan lelaran Lanczos yang terhingga,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

hubungan berikut dipenuhi.

Di sini, $e_m$ ialah vektor unit berdimensi $m$ yang komponen ke-$m$-nya ialah 1 dan komponen lain ialah sifar, dan

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

ialah matriks tridiagonal simetri.

Oleh itu, nilai eigen masalah nilai eigen berskala besar yang asal boleh dihampiri dengan menghitung nilai eigen matriks tridiagonal $T_m$.

Topik Berkaitan¶

Analisis respons frekuensi — respons frekuensi yang menggunakan hasil analisis modal
Jenis analisis — gambaran keseluruhan fungsi analisis modal