Langkau tajuk talian

Analisis Konduksi Haba Fana

Bahagian ini menunjukkan pendiskretan masa dan kaedah penyelesaian berulang untuk analisis konduksi haba pepejal menggunakan kaedah unsur terhingga (Finite Element Method). Untuk persamaan pemerintahan dan syarat sempadan pada aras kontinum, lihat Persamaan Konduksi Haba.

Persamaan Terdisret (Titik Mula)

Apabila persamaan konduksi haba (Persamaan (gov_he_main) bagi persamaan konduksi haba) didiskretkan dengan kaedah Galerkin,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

dengan

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Di sini, \(K\), \(M\), \(F\) dan \(N\) masing-masing ialah matriks konduksi haba (termasuk sumbangan sempadan daripada sebutan perolakan dan sinaran), matriks jisim, vektor beban haba dan matriks fungsi bentuk. Takrif simbol sifat bahan (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), dll.) adalah seperti dalam Persamaan Konduksi Haba.

Pendiskretan Masa dan Kaedah Penyelesaian Berulang

Persamaan \(\eqref{eq:2.4.8}\) ialah persamaan tak linear dan fana. Sekarang, dengan mendiskretkan masa menggunakan kaedah Euler ke belakang, apabila suhu pada masa \(t=t_0\) diketahui, suhu pada masa \(t=t_0+\Delta t\) dikira menggunakan persamaan berikut.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Pertimbangkan untuk memperbaiki vektor suhu \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) yang memenuhi Persamaan \(\eqref{eq:2.4.13}\) secara hampiran, bagi mendapatkan penyelesaian berketepatan tinggi \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

Untuk itu, mula-mula nyatakan vektor suhu seperti berikut.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Hasil darab matriks konduksi haba dan vektor suhu, matriks jisim dan sebagainya dinyatakan secara hampiran seperti persamaan berikut.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Dengan menggantikan Persamaan \(\eqref{eq:2.4.14}\), Persamaan \(\eqref{eq:2.4.15}\) dan Persamaan \(\eqref{eq:2.4.16}\) ke dalam Persamaan \(\eqref{eq:2.4.13}\), kemudian mengabaikan sebutan tertib kedua dan lebih tinggi, persamaan berikut diperoleh.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Seterusnya, matriks pekali di sebelah kiri dinilai secara hampiran menggunakan persamaan berikut.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Di sini, \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) ialah matriks kekakuan tangen.

Akhirnya, suhu pada masa \(t=t_0+\Delta t\) boleh dikira melalui pengiraan berulang menggunakan persamaan berikut.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Khususnya, dalam analisis keadaan mantap, pengiraan berulang dilakukan menggunakan persamaan berikut.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Dalam analisis fana, kerana kaedah tersirat digunakan untuk pendiskretan masa, pilihan kenaikan masa \(\Delta t\) secara umum tidak tertakluk kepada sekatan magnitud. Walau bagaimanapun, jika kenaikan masa \(\Delta t\) terlalu besar, bilangan iterasi yang diperlukan untuk penumpuan akan meningkat. Secara umum, jika kenaikan masa \(\Delta t\) terlalu besar, bilangan iterasi meningkat. Dalam pelaksanaan, magnitud vektor baki dipantau; jika penumpuan lambat, \(\Delta t\) dikurangkan, manakala jika bilangan iterasi kecil, \(\Delta t\) ditingkatkan melalui kawalan kenaikan automatik (→ untuk butiran lihat Kawalan Langkah).

Topik Berkaitan