Langkau tajuk talian

Pengesahan Menggunakan Model Berbentuk Ringkas

Analisis statik elastik

Pengesahan ini menggunakan rasuk julur yang dimesh seperti ditunjukkan dalam Rajah 9.1.1. Analisis dilakukan untuk tujuh kes, exA hingga exG, dengan keadaan pembebanan divariasikan seperti ditunjukkan dalam Rajah 9.1.2. Kes exG mempunyai keadaan pembebanan yang sama seperti exA, tetapi menggunakan solver langsung.

Keputusan pengesahan bagi setiap keadaan pembebanan ditunjukkan dalam Jadual 9.1.1–9.1.7.

Contoh mesh rasuk julur (unsur heksahedron) Rajah 9.1.1 Contoh mesh rasuk julur (unsur heksahedron)
(a) exA, G: Beban tertumpu
(b) exD: Graviti
(c) exB: Beban teragih permukaan
(d) exE: Daya emparan
(e) exC: Beban isipadu
(f) exF : Beban haba
Item Nilai
Modulus Young \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Panjang \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Nisbah Poisson \(\nu = 0.3\)
Luas keratan rentas \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Ketumpatan jisim \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Momen kedua luas \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Pecutan graviti \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Pekali pengembangan terma linear \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Rajah 9.1.2 Syarat pengesahan bagi model rasuk julur

Jadual 9.1.1: exA: Keputusan pengesahan bagi masalah beban tertumpu

Nama kes Bilangan unsur Nilai ramalan : \(\delta_{max}= -1.000\) Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 nod / masalah tegasan satah
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 nod / masalah tegasan satah
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 nod / masalah tegasan satah
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 nod / masalah tegasan satah
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 nod
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 nod
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 nod
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 nod
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 nod
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 nod
A731 40 - - -0.991 33 nod / kaedah langsung
A741 20 - - -0.996 33 nod / kaedah langsung

Jadual 9.1.2: exB: Keputusan pengesahan bagi masalah beban teragih permukaan

Nama kes Bilangan unsur Nilai ramalan : \(\delta_{max}= -3.750\) Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 nod / masalah tegasan satah
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 nod / masalah tegasan satah
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 nod / masalah tegasan satah
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 nod / masalah tegasan satah
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 nod
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 nod
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 nod
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 nod
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 nod
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 nod
B731 40 - - -3.722 33 nod / kaedah langsung
B741 20 - - -3.743 33 nod / kaedah langsung

Jadual 9.1.3: exC: Keputusan pengesahan bagi masalah beban isipadu

Nama kes Bilangan unsur Nilai ramalan : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 nod / masalah tegasan satah
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 nod / masalah tegasan satah
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 nod / masalah tegasan satah
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 nod / masalah tegasan satah
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 nod
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 nod
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 nod
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 nod
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 nod
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 nod
C731 40 - - -2.922e-5 33 nod / kaedah langsung
C741 20 - - -2.938e-5 33 nod / kaedah langsung

Jadual 9.1.4: exD: Keputusan pengesahan bagi masalah graviti

Nama kes Bilangan unsur Nilai ramalan : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 nod / masalah tegasan satah
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 nod / masalah tegasan satah
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 nod / masalah tegasan satah
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 nod / masalah tegasan satah
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 nod
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 nod
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 nod
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 nod
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 nod
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 nod
D731 40 - - -2.922e-5 33 nod / kaedah langsung
D741 20 - - -2.938e-5 33 nod / kaedah langsung

Jadual 9.1.5: exE: Keputusan pengesahan bagi masalah daya emparan

Nama kes Bilangan unsur Nilai ramalan : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 nod / masalah tegasan satah
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 nod / masalah tegasan satah
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 nod / masalah tegasan satah
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 nod / masalah tegasan satah
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 nod
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 nod
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 nod
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 nod
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 nod
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 nod
E731 40 - - 2.619e-3 33 nod / kaedah langsung
E741 20 - - 2.622e-3 33 nod / kaedah langsung

Jadual 9.1.6: exF: Keputusan pengesahan bagi masalah beban tegasan terma

Nama kes Bilangan unsur Nilai ramalan : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 nod / masalah tegasan satah
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 nod / masalah tegasan satah
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 nod / masalah tegasan satah
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 nod / masalah tegasan satah
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 nod
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 nod
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 nod
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 nod
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 nod
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 nod

Jadual 9.1.7: exG: Keputusan pengesahan bagi kaedah langsung (masalah beban tertumpu)

Nama kes Bilangan unsur Nilai ramalan: δmax= -1.000 Catatan
NASTRAN Komersial FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 nod / masalah tegasan satah
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 nod / masalah tegasan satah
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 nod / masalah tegasan satah
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 nod / masalah tegasan satah
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 nod
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 nod
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 nod
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 nod
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 nod
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 nod
G731 40 - - -0.991 33 nod / kaedah langsung
G741 20 - - -0.996 33 nod / kaedah langsung

Analisis statik tak linear

(2-1) exnl1: Analisis tak linear geometri

Model pengesahan bagi kes exI adalah sama dengan model bagi kes exA hingga exG. Rajah 9.1.3 menunjukkan rajah skematik model pengesahan. Analisis tak linear geometri dilakukan pada model ini. Keputusan pengesahan ditunjukkan dalam Jadual 9.1.8.

Pengiraan tak linear menggunakan beban rujukan \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), dengan kenaikan \(0.1P\) sepanjang 10 langkah beban.

Model pengesahan Rajah 9.1.3 Model pengesahan

Jadual 9.1.8 exI: Keputusan pengesahan (sejarah pesongan maksimum)

Nama kes 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Penyelesaian linear
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Analisis ubah bentuk elastoplastik

Masalah pengesahan ini berdasarkan Test NL1 daripada National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) (NAFEMS), dan menjalankan analisis ubah bentuk elastoplastik yang mengambil kira ketaklinearan geometri serta beberapa hukum pengerasan. Rajah 9.1.4 menunjukkan model analisis.

Model analisis ubah bentuk elastoplastik

Rajah 9.1.4 Model analisis ubah bentuk elastoplastik

(1) Syarat pengesahan

Item Nilai
Bahan Bahan elastoplastik Mises
Modulus Young \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Nisbah Poisson \(\nu=0.25\)
Tegasan luluh awal \(5\ \mathrm{MPa}\)
Terikan luluh awal \(0.25\times10^{-4}\)
Pekali pengerasan isotropik \(H_i = 0\) atau \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Syarat sempadan

Item Syarat sempadan Nilai
Langkah 1 Sesaran ditetapkan pada nod 2 dan 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Langkah 2 Sesaran ditetapkan pada nod 2 dan 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Langkah 3 Sesaran ditetapkan pada nod 3 dan 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Langkah 4 Sesaran ditetapkan pada nod 3 dan 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Langkah 5 Sesaran ditetapkan pada nod 2 dan 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Langkah 6 Sesaran ditetapkan pada nod 2 dan 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Langkah 7 Sesaran ditetapkan pada nod 3 dan 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Langkah 8 Sesaran ditetapkan pada nod 3 dan 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Semua nod yang tidak disenaraikan di sini dikekang sepenuhnya. Penyelesaian teori bagi masalah ini adalah seperti berikut.

Terikan (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Tegasan setara (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Sebagai perbandingan, keputusan pengiraan adalah seperti berikut.

Terikan (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Tegasan setara (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Analisis Sentuhan (1)

Masalah pengesahan ini berdasarkan masalah ujian tampalan sentuhan CGS-4 daripada National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) (NAFEMS), dan menguji keupayaan sentuhan gelinciran terhingga dengan geseran. Rajah 9.1.5 menunjukkan model analisis.

Analisis sentuhan model

Rajah 9.1.5 Analisis sentuhan model

Syarat keseimbangan bagi masalah ini adalah seperti berikut.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

Pada peringkat geseran melekat, daya geseran ialah

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

dan pada peringkat geseran gelincir, nilainya ialah

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

.

Perbandingan antara keputusan pengiraan dan penyelesaian analitik adalah seperti berikut.

\(\mu\) \(F/G\) Penyelesaian analitik \(F/G\) Keputusan pengiraan
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Analisis sentuhan (2): Masalah sentuhan Hertz

Pengesahan ini menganalisis masalah sentuhan Hertz antara silinder yang panjangnya tak terhingga dan satah tak terhingga. Jejari silinder ialah \(R = 8\ \mathrm{mm}\), manakala modulus Young \(E\) dan nisbah Poisson \(\mu\) bagi jasad boleh ubah bentuk masing-masing ialah \(1100\ \mathrm{MPa}\) dan \(0.0\). Kawasan sentuhan dianggap cukup kecil berbanding jejari silinder, dan dengan mengambil kira simetri masalah, model suku silinder dianalisis.

Model analisis bagi masalah sentuhan Hertz Rajah 9.1.6 Model analisis bagi masalah sentuhan Hertz

(1) Keputusan pengesahan jejari sentuhan

Formula teori untuk mengira jejari sentuhan adalah seperti berikut:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

dengan

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

. Dalam keadaan pengiraan ini, apabila tekanan ialah \(F=100\), jejari sentuhan ialah \(a=1.36\).

Rajah 9.1.7 menunjukkan daya nod setara pada titik sentuhan. Jejari sentuhan diperoleh dengan mengekstrapolasi taburan daya nod ini.

Taburan daya nod setara pada titik sentuhan

Rajah 9.1.7 Taburan daya nod setara pada titik sentuhan

(2) Keputusan pengesahan bagi tegasan ricih maksimum

Dalam penyelesaian teori, pada kedudukan sentuhan

\[ z = 0.78a \]

tegasan ricih maksimum ialah

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

. Dalam keadaan pengiraan ini,

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

. Sebagai perbandingan, pengiraan memberikan

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

.

Taburan tegasan ricih (nilai maksimum = 15.6) Rajah 9.1.8 Taburan tegasan ricih (nilai maksimum = 15.6)

(3) Analisis Modal

Model pengesahan bagi kes exJ dan exK adalah sama dengan model bagi kes exA hingga exG. Rajah 9.1.9 menunjukkan rajah skematik model pengesahan. Analisis modal dilakukan pada model ini. Tiga frekuensi asli pertama dikira. Kes exJ menggunakan solver lelaran, manakala kes exK menggunakan solver langsung. Keputusan pengesahan ditunjukkan dalam Jadual 9.1.9 hingga 9.1.12.

Model pengesahan Rajah 9.1.9 Model pengesahan

Frekuensi asli rasuk julur diperoleh daripada persamaan berikut.

Frekuensi asli pertama

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Frekuensi asli kedua

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Frekuensi asli ketiga

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Nilai sifat model pengesahan ialah

Item Nilai
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Oleh itu, tiga frekuensi asli pertama adalah seperti berikut:

Nombor mod Nilai
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Jadual 9.1.9: exJ: Keputusan pengesahan kaedah lelaran bagi frekuensi asli pertama

Nama kes Bilangan unsur Nilai ramalan : n1=3.609e3 Catatan
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 nod / masalah tegasan satah
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 nod / masalah tegasan satah
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 nod / masalah tegasan satah
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 nod / masalah tegasan satah
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 nod
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 nod
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 nod
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 nod
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 nod
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 nod

Jadual 9.1.10: exJ: Keputusan pengesahan kaedah lelaran bagi frekuensi asli kedua

Nama kes Bilangan unsur Nilai ramalan : n2=2.262e4 Catatan
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 nod / masalah tegasan satah
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 nod / masalah tegasan satah
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 nod / masalah tegasan satah
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 nod / masalah tegasan satah
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 nod
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 nod
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 nod
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 nod
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 nod
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 nod

Nota: Dalam model tiga dimensi, dua mod pertama adalah degenerat. Oleh itu, frekuensi asli ketiga yang dikira dilaporkan dalam jadual sebagai frekuensi asli kedua.

Jadual 9.1.11: exK: Keputusan pengesahan kaedah langsung bagi frekuensi asli pertama

Nama kes Bilangan unsur Nilai ramalan : n1=3.609e3 Catatan
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 nod / masalah tegasan satah
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 nod / masalah tegasan satah
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 nod / masalah tegasan satah
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 nod / masalah tegasan satah
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 nod
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 nod
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 nod
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 nod
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 nod
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 nod
J731 40 - 3.606e3 220 nod
J741 20 - 3.594e3 220 nod

Jadual 9.1.12: exK: Keputusan pengesahan kaedah langsung bagi frekuensi asli kedua

Nama kes Bilangan unsur Nilai ramalan : n2=2.262e4 Catatan
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 nod / masalah tegasan satah
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 nod / masalah tegasan satah
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 nod / masalah tegasan satah
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 nod / masalah tegasan satah
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 nod
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 nod
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 nod
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 nod
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 nod
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 nod
J731 40 - 2.156e4 220 nod
J741 20 - 2.153e4 220 nod

Nota: Dalam model tiga dimensi, dua mod pertama adalah degenerat. Oleh itu, frekuensi asli ketiga yang dikira dilaporkan dalam jadual sebagai frekuensi asli kedua.

(4) Analisis konduksi haba

Syarat bersama bagi analisis konduksi haba keadaan mantap ditunjukkan dalam Rajah 9.1.10. Syarat individu bagi kes pengesahan exM hingga exT ditunjukkan dalam Rajah 9.1.11. Pembahagian mesh adalah setara dengan yang digunakan untuk exA.

Keputusan pengesahan (jadual taburan suhu) bagi setiap kes ditunjukkan dalam Jadual 9.1.13–9.1.20.

Analisis konduksi haba
Panjang antara AB \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Luas keratan rentas \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Kebergantungan kekonduksian terma pada suhu

Kekonduksian haba \(\lambda\) (W/(m·K)) Suhu (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Rajah 9.1.10: Syarat pengesahan analisis konduksi haba keadaan mantap
exM: Bahan linear
exN: Masalah suhu ditetapkan
exO: Masalah fluks haba tertumpu
exP: Masalah fluks haba teragih
exQ: Masalah pemindahan haba perolakan
exR: Masalah pemindahan haba sinaran
exS: Masalah penjanaan haba isipadu
exT: Masalah jurang dalaman

Rajah 9.1.11: Syarat analisis bagi setiap kes pengesahan

Jadual 9.1.13: Keputusan pengesahan exM (pengiraan keadaan mantap bagi bahan linear)

Nama kes Jenis unsur Unsur/nod Jarak dari hujung A (m)
Hujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Hujung B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Jadual 9.1.14: Keputusan pengesahan exN (masalah suhu ditetapkan)

Nama kes Jenis unsur Unsur/nod Jarak dari hujung A (m)
Hujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Hujung B
Komersial 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Jadual 9.1.15: Keputusan pengesahan exO (masalah fluks haba tertumpu)

Nama kes Jenis unsur Unsur/nod Jarak dari hujung A (m)
Hujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Hujung B
Komersial 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Jadual 9.1.16: Keputusan pengesahan exP (masalah fluks haba teragih)

Nama kes Jenis unsur Unsur/nod Jarak dari hujung A (m)
Hujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Hujung B
Komersial 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Jadual 9.1.17: Keputusan pengesahan exQ (masalah pemindahan haba perolakan)

Nama kes Jenis unsur Unsur/nod Jarak dari hujung A (m)
Hujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Hujung B
Komersial 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Jadual 9.1.18: Keputusan pengesahan exR (masalah pemindahan haba sinaran)

Nama kes Jenis unsur Unsur/nod Jarak dari hujung A (m)
Hujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Hujung B
Komersial 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Jadual 9.1.19: Keputusan pengesahan exS (masalah penjanaan haba isipadu)

Nama kes Jenis unsur Unsur/nod Jarak dari hujung A (m)
Hujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Hujung B
Komersial 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Jadual 9.1.20: Keputusan pengesahan exT (masalah jurang dalaman)

Nama kes Jenis unsur Unsur/nod Jarak dari hujung A (m)
Hujung A 2.0 4.0 6.0 8,0 Hujung B
Komersial 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Analisis dinamik linear

Dalam exW, analisis dinamik linear dilakukan pada rasuk julur yang sama seperti dalam item (1). Rajah 9.1.12 menunjukkan syarat pengesahan. Bagi pembahagian mesh yang sama, kesan kenaikan masa terhadap keputusan disahkan. Kedua-dua kaedah pengamiran masa tersirat dan tersurat digunakan, dengan jenis unsur 361 dan 342. Keputusan pengesahan ditunjukkan dalam Jadual 9.1.22 dan Rajah 9.1.13 hingga 9.1.15.

Model analisis Model Analisis

Sejarah masa daya luaran F Sejarah masa daya luaran F

Penyelesaian teori bagi sesaran titik pengujaan adalah seperti berikut:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

dengan

\[ \(F_0:\ \text{Vektor malar}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Rajah 9.1.12: Syarat pengesahan analisis dinamik linear

Syarat pengesahan:
Panjang \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Lebar keratan rentas \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Tinggi keratan rentas \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Modulus Young \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Nisbah Poisson \(\nu\) \(0.3\)
Ketumpatan \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Pecutan graviti \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Daya luaran \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Unsur Unsur heksahedron tertib pertama
Unsur tetrahedron tertib kedua
Kaedah penyelesaian Kaedah tersirat
Parameter kaedah Newmark-\(\beta\), \(\gamma\) 1/2
Parameter \(\beta\) bagi kaedah Newmark-\(\beta\) 1/4
Kaedah tersurat
Redaman Tiada

Jadual 9.1.21: Syarat pengesahan analisis dinamik linear (sambungan)

Nama kes Jenis unsur Bil. nod Bil. unsur Kaedah penyelesaian Kenaikan masa \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Kaedah tersirat 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Kaedah tersirat 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Kaedah tersirat 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Kaedah tersirat 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Kaedah tersirat 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Kaedah tersirat 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Kaedah tersurat 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Kaedah tersurat 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Kaedah tersurat 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Kaedah tersurat 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Kaedah tersurat 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Kaedah tersurat 1.0E-07

Jadual 9.1.22: Keputusan pengesahan analisis dinamik linear exW (rasuk julur)

Nama kes Jenis unsur Bilangan nod Bilangan unsur Kaedah Sesaran arah z pada waktu \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Kaedah tersirat 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Kaedah tersirat 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Kaedah tersirat 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Kaedah tersirat 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Kaedah tersirat 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Kaedah tersirat 1.9753 Tidak menumpu
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Kaedah tersurat 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Kaedah tersurat 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Kaedah tersurat 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Kaedah tersurat 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Kaedah tersurat 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Kaedah tersurat 1.9753 Tidak menumpu

Rajah ubah bentuk dan taburan tegasan setara bagi rasuk julur Rajah 9.1.13: Rajah ubah bentuk dan taburan tegasan setara bagi rasuk julur

(a) Jenis unsur 361 : Kaedah tersirat (a) Jenis unsur 361 : Kaedah tersirat

(b) Jenis unsur 361 : Kaedah tersurat (b) Jenis unsur 361: Kaedah tersurat

Rajah 9.1.14 Sejarah masa sesaran titik pengujaan \(u_z\)

(a) Jenis unsur 342: Kaedah tersirat (a) Jenis unsur 342: Kaedah tersirat

(b) Jenis unsur 342: Kaedah tersurat (b) Jenis unsur 342: Kaedah tersurat

Rajah 9.1.15: Sejarah masa sesaran titik pengujaan \(u_z\)

Analisis Respons Frekuensi

Dalam pengesahan ini, analisis respons frekuensi dilakukan pada rasuk julur dan disahkan melalui perbandingan dengan keputusan solver komersial serba guna. Model analisis dan syarat pengesahan ditunjukkan di bawah.

Syarat analisis:
Modulus Young \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Nisbah Poisson \(\nu\) \(0.3\)
Ketumpatan \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Pecutan graviti \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Beban \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Parameter redaman Rayleigh \(R_m\) \(0.0\)
Parameter redaman Rayleigh \(R_k\) \(7.2E-07\)

Rajah 9.1.16 Model analisis (unsur tetrahedron tertib pertama: 126 unsur, 55 nod)

Lima frekuensi asli pertama yang diperoleh daripada analisis modal dan respons frekuensi pada titik pengujaan ditunjukkan di bawah.

mod FrontISTR Komersial
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Kebergantungan frekuensi magnitud sesaran titik pengujaan Rajah 9.1.17 : Kebergantungan frekuensi magnitud sesaran titik pengujaan