အကြောင်းအရာသို့ ကရန်

လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ်စတီ

ဤအခန်းတွင် လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ် ပစ္စည်း များ၏ ဖွဲ့စည်းဆက်နွယ်မှု ဥပဒေ (Hooke’s ဥပဒေ) ကို ရှင်းပြထားသည်။ မော်ဒယ် ရွေးချယ်မှုနှင့် ထည့်သွင်း သတ်မှတ်ချက် အသေးစိတ်အတွက် လုပ်ဆောင်ချက်များ အပိုင်း 03_material ကို ကြည့်ပါ။

ဖြစ်စဉ် (လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ် တုံ့ပြန်မှု)

လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ် ကိုယ်ထည် ဆိုသည်မှာ ဝန် အောက်တွင် စထရိန် လုံလောက်စွာသေးငယ်သည့် အပိုင်းအခြား၌ စထရက်စ် နှင့် စထရိန် ကြား လိုင်းနီးယား ဆက်နွယ်မှု ရှိပြီး ဝန်လျှော့ခြင်း လုပ်သည့်အခါ စထရိန် အားလုံး မူလအခြေအနေသို့ ပြန်ရောက်သည့် ပြန်လှန်နိုင်သော၊ မှတ်တမ်း-မမှီခိုသော တုံ့ပြန်မှု ကို ပြသသော ပစ္စည်း ဖြစ်သည်။ ပလတ်စတစ်ဂုဏ် သို့မဟုတ် ခရိပ် နှင့်မတူဘဲ အခြေအနေ ကို ကိုယ်စားပြုသည့် အတွင်းပိုင်း ပြောင်းလဲကိန်း (ဥပမာ ပလတ်စတစ် စထရိန် သို့မဟုတ် ဗစ်စကပ်စ် စထရိန်) မရှိသဖြင့် စထရက်စ် ကို လက်ရှိ စထရိန် တစ်ခုတည်းဖြင့် ထူးခြားစွာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။

သေးငယ်သော-ပုံပျက်မှု အပိုင်းအခြား တွင် Cauchy စထရက်စ် \(\boldsymbol{\sigma}\) နှင့် အလွန်သေးငယ်သော စထရိန် \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ကို အသုံးပြုသည်။ ဖိုင်နိုက်-ပုံပျက်မှု အပိုင်းအခြား (လှည့်ပြောင်းမှု ကြီးသော်လည်း စထရိန် ကိုယ်တိုင် သေးငယ်သည့် ပြဿနာများ) တွင် ဒုတိယ Piola-Kirchhoff စထရက်စ် \(\boldsymbol{S}\) နှင့် Green-Lagrange စထရိန် \(\boldsymbol{E}\) ကို အသုံးပြုသည် (St.Venant-Kirchhoff ပစ္စည်း)။

ဖွဲ့စည်းဆက်နွယ်မှု ဥပဒေ

အိုင်ဆိုထရိုပစ် လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ် ပစ္စည်း

သေးငယ်သော-ပုံပျက်မှု အပိုင်းအခြား တွင် အိုင်ဆိုထရိုပစ် Hooke’s ဥပဒေ ကို Lamé ကိန်းသေများ \(\lambda, \mu\) အသုံးပြု၍

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ အစိတ်အပိုင်း ပုံစံ တွင်

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

ဖြစ်ပြီး စထရိန် နှင့် နှစ်ထပ် ချုံ့မြှောက်ခြင်း လုပ်လျှင် \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) ကို ရသည်။ Lamé ကိန်းသေများ နှင့် Young မော်ဒူလပ် \(E\)၊ Poisson အချိုး \(\nu\) တို့၏ ဆက်နွယ်မှုမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt သင်္ကေတစနစ် တွင် စထရိန် ဗက်တာ \(\hat{\varepsilon}\) နှင့် စထရက်စ် ဗက်တာ \(\hat{\sigma}\) ၏ ဆက်နွယ်မှုကို \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ဟု ရေးပြီး 3D ပစ္စည်း မက်ထရစ် \(D\) သည်

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

ဟု ရသည် (အကောင်အထည်ဖော်မှု တွင် ဤ မက်ထရစ် ကိုယ်စားပြုပုံ ကို အသုံးပြုသည်)။

အော်သိုထရိုပစ် လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ် ပစ္စည်း

အဓိက-ဝင်ရိုး ဦးတည်ချက် အလိုက် အီလတ်စတစ် ကိန်းသေ များ မတူသော ပစ္စည်း များအတွက် မမှီခိုသော ကိန်းသေ 9 ခုရှိသည့် အော်သိုထရိုပစ် မော်ဒယ် ကို အသုံးပြုသည်။ ၎င်းတို့မှာ အဓိက-ဝင်ရိုး Young’s မော်ဒူလပ်များ \(E_1, E_2, E_3\)၊ အဓိက ဝင်ရိုးများ ကြား Poisson အချိုးများ \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) နှင့် ဖြတ်တောက်မှု မော်ဒူလပ်များ \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\) တို့ ဖြစ်သည်။ \(D\) မက်ထရစ် ၏ အသေးစိတ်ပုံစံအတွက် ပုံမှန် ကိုးကား များကို ကြည့်ပါ။

ဖိုင်နိုက်-ပုံပျက်မှု အပိုင်းအခြား: St.Venant-Kirchhoff ပစ္စည်း

လှည့်ပြောင်းမှု ကြီးသော်လည်း စထရိန် ကိုယ်တိုင် သေးငယ်သော ပြဿနာများတွင် ဒုတိယ Piola-Kirchhoff စထရက်စ် \(\boldsymbol{S}\) နှင့် Green-Lagrange စထရိန် \(\boldsymbol{E}\) ကို ဆက်စပ်သည့် လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ် ဥပဒေ အဖြစ် St.Venant-Kirchhoff ပစ္စည်း ကို အသုံးပြုသည်။

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé ကိန်းသေများ \(\lambda, \mu\) ၏ သတ်မှတ်ချက် များသည် သေးငယ်သော-ပုံပျက်မှု ကိစ္စ နှင့် တူသည်။ သို့သော် စထရက်စ်–စထရိန် အတွဲ ၏ သတ်မှတ်ချက် မတူသောကြောင့် သေးငယ်သော-ပုံပျက်မှု Hooke’s ဥပဒေ နှင့် ကွဲပြားသော ဖွဲ့စည်းဆက်နွယ်မှု ဥပဒေ ဖြစ်ကြောင်း သတိပြုပါ။

ဟိုင်ပိုအီလတ်စတစ် ပစ္စည်း

မွမ်းမံထားသော Lagrange နည်းလမ်း တွင် နှိုင်းယှဉ် Kirchhoff စထရက်စ် တင်ဆာ ၏ Jaumann နှုန်း \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) နှင့် ပုံပျက်မှုနှုန်း တင်ဆာ \(\boldsymbol{D}\) ကြား လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ် ဥပဒေ

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

ကို အသုံးပြုသော ဟိုင်ပိုအီလတ်စတစ် ပစ္စည်း ကို သုံးသည်။ Lamé ကိန်းသေများ ဖြင့် \(\boldsymbol{C}\) ကို သတ်မှတ်ပုံသည် အထက်ပါအတိုင်းတူသော်လည်း စထရက်စ်–စထရိန် အတွဲ မတူသဖြင့် ဖွဲ့စည်းဆက်နွယ်မှု ဥပဒေ ကွဲပြားသည်။ အချိန်-အင်တီဂရေးရှင်း လုပ်ထုံးလုပ်နည်း (ရှေ့သို့ Euler အင်တီဂရေးရှင်း နှင့် ဗဟို-ခြားနားချက် ခန့်မှန်းမှု) ဖြင့် \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) ကို မွမ်းမံ လုပ်ပုံ အသေးစိတ်အတွက် tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex ကို ကြည့်ပါ။

2D ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု နှင့် ရှဲလ် အီလီမင့် များအတွက် လျှော့ချမှု

ပြင်ညီစထရက်စ် (\(\sigma_{33} = 0\))

ပါးလွှာသော ပြား နှင့် ရှဲလ် များ၏ ဝန်တင်ခြင်း ကို ကိုယ်စားပြုသော ပြင်ညီစထရက်စ် တွင် \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) ဟု ယူဆပြီး ပြင်ပစထရိန် အစိတ်အပိုင်း \(\varepsilon_{33}\) ကို အယ်လ်ဂျီဘရာနည်းဖြင့် ဖယ်ရှားထားသော \(D\) ကို အသုံးပြုသည်။

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ပြင်ညီစထရိန် (\(\varepsilon_{33} = 0\))

အထူ ဦးတည်ချက် တွင် ကန့်သတ်ထားသော ဖြစ်သော ရှည်လျားသည့် ဖွဲ့စည်းပုံ ၏ ဖြတ်ပိုင်း ကို ကိုယ်စားပြုသော ပြင်ညီစထရိန် တွင် \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) ဟု ယူဆသည်။

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ဝင်ရိုးညီ

ဆလင်ဒါဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ်များ \((r, \theta, z)\) တွင် \(\theta\) ဦးတည်ချက် အတိုင်း တစ်ပြေးညီ ဖြစ်သော ပြဿနာကို ကိုင်တွယ်သည့် ဝင်ရိုးညီ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု တွင် \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) နှင့် \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) ၏ အစိတ်အပိုင်း 4 ခုကို ထိန်းသိမ်းပြီး

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ဟု ရသည်။

ရှဲလ် အီလီမင့် (ပြင်ညီစထရက်စ် + ဖြတ်တန်းဆိုင်ရာ ဖြတ်တောက်မှု)

ရှဲလ် အီလီမင့် များတွင် ပြင်တွင်းစထရက်စ် ကို ပြင်ညီစထရက်စ် အဖြစ် ကိုင်တွယ်ပြီး ဖြတ်တန်းဆိုင်ရာ ဖြတ်တောက်မှု စထရိန် အစိတ်အပိုင်းများ \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) အတွက် ဖြတ်တောက်မှု ပြင်ဆင်မှု ကိန်း \(\kappa\) (ပုံမှန်အားဖြင့် \(\kappa = 5/6\)) ထည့်ထားသော \(\kappa\, G\) ကို အသုံးပြုသည်။ အီလီမင့် တစ်မျိုးချင်းစီ၏ ဖော်မြူလာဖွဲ့စည်းပုံ အသေးစိတ်အတွက် စွမ်းဆောင်ရည်မြင့် အီလီမင့် ဖော်မြူလာရေးဆွဲမှု ကို ကြည့်ပါ။ လုပ်ဆောင်ချက်များ အပိုင်း 03_material တွင် ဖော်ပြထားသော “ရှဲလ် အီလီမင့် များသည် လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ်စတီ ကိုသာ ပံ့ပိုး လုပ်သည်” ဆိုသည့် သတ်မှတ်ချက် သည် ပြင်တွင်း အခြေအနေ ကို ပြင်ညီစထရက်စ် အဖြစ် ကိုင်တွယ်သည့် ဤ ရိုးရှင်းစေမှု အပေါ် အခြေခံသည်။

အပူချိန် မှီခိုမှု

Young မော်ဒူလပ် \(E\)၊ Poisson အချိုး \(\nu\) နှင့် လိုင်းနီးယား အပူချဲ့ထွင်မှုကိန်း \(\alpha\) ကို ပုံမှန်အားဖြင့် အပူချိန် \(T\) ၏ လုပ်ဆောင်ချက် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ FrontISTR တွင် ဖိုင်နိုက် အပူချိန်-အမှတ် အစဉ် \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) အတွက် တန်ဖိုး များကို ထည့်သွင်း လုပ်ပြီး တွက်ချက်မှု အတွင်း အပူချိန် \(T\) ကို ကပ်လျက် အမှတ် များကြား မျဉ်းဖြောင့် အင်တာပိုလေးရှင်း ဖြင့် အကဲဖြတ်သည်။ အပိုင်းအခြား အပြင်ရှိ အပူချိန် (\(T < T_1\) သို့မဟုတ် \(T > T_n\)) အတွက် အနီးဆုံး အဆုံးမှတ် \(T_1\) သို့မဟုတ် \(T_n\) ၏ တန်ဖိုး ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းသေ အပြင်ခန့်မှန်းမှု လုပ်သည်။

အပူဆိုင်ရာ/အပူ-စီးကူးမှု ဂုဏ်သတ္တိများ (သိပ်သည်းဆ, သီးသန့် အပူ, အပူစီးကူးနိုင်မှု) ၏ အပူချိန် မှီခိုမှု အတွက် အပူဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ကို ကြည့်ပါ။ အင်တာပိုလေးရှင်း စည်းမျဉ်း သည် ဤ ဂုဏ်သတ္တိ များနှင့် အတူတူဖြစ်သည်။

ဆက်စပ်အကြောင်းအရာများ