အကြောင်းအရာသို့ ကရန်

အတွင်းအား ဗာကျူအလုပ်၏ ဒစ်စကရက်တိုင်ဇေးရှင်း

တိုးကိန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု မူဘောင် တွင် ဖော်ပြထားသော အချိန် \(t + \Delta t\) ရှိ ဗာကျူအလုပ် ညီမျှခြင်း ကို ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား ရွေးချယ်မှုအလိုက် မွမ်းမံထားသော Lagrange နည်းနှင့် စုစုပေါင်း Lagrange နည်းဟူ၍ 2 မျိုး ခွဲနိုင်သည်။ ဤအခန်းတွင် ပုံသဏ္ဌာန်ဖန်ရှင်များနှင့် ဖိုင်နိုက်အီလီမင့် ခန့်မှန်းမှု နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်ဖန်ရှင် ၏ နေရာဆိုင်ရာ ဒေရီဗေးတစ် တွင် မိတ်ဆက်ထားသော ဖိုင်နိုက် အီလီမင့် ခန့်မှန်းမှု ကို အသုံးပြု၍ ဖော်မြူလာဖွဲ့စည်းမှု နှစ်မျိုး၏ အတွင်း-အား ဗာကျူအလုပ် ကို နေရာဆိုင်ရာ ဒစ်စကရိတိုက်ဇေးရှင်း လုပ်ကာ အီလီမင့် အတွင်း-အား ဗက်တာ \(\boldsymbol{q}^e\)(UL နည်း)နှင့် \(\boldsymbol{Q}^e\)(TL နည်း)ကို ရယူသည်။

အီလီမင့် \(e\) ၏ ဖွဲ့စည်း နိုဒ် \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) အတွက် ရွှေ့ပြောင်းမှု ကို \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) ဟုထားပြီး အီလီမင့် နိုဒ်ဆိုင်ရာ-ရွှေ့ပြောင်းမှု ဗက်တာ ကို \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) ဟု စီသည်။ ဗာကျူ ရွှေ့ပြောင်းမှု \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ကိုလည်း အတူတူအစဉ်ဖြင့် သတ်မှတ်သည်။ အီလီမင့် အတွင်း ရွှေ့ပြောင်းမှု ကို ပုံသဏ္ဌာန်ဖန်ရှင် ဖြင့် \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ဟု အင်တာပိုလေးရှင်း လုပ်သည်။

မွမ်းမံထားသော Lagrange နည်း၏ အတွင်းအား ဗာကျူအလုပ်

မွမ်းမံထားသော Lagrange နည်းတွင် အချိန် \(t\) ရှိ လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား \({}^{t}\Omega\) ကို ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား အဖြစ်ယူပြီး Cauchy စထရက်စ် \(\boldsymbol{\sigma}\) နှင့် Almansi စထရိန် ၏ လိုင်းနီးယား အပိုင်း \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ဖြင့် အတွင်း-အား ဗာကျူအလုပ် ကို

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

ဟု ရေးသည်။ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) ၏ အစိတ်အပိုင်း တစ်ခုစီကို ပုံသဏ္ဌာန်ဖန်ရှင် ၏ လက်ရှိ-ဖွဲ့စည်းပုံ ကိုဩဒိနိတ် \(\boldsymbol{x}\) အပေါ် ဒေရီဗေးတစ် \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) နှင့် နိုဒ်ဆိုင်ရာ ဗာကျူ ရွှေ့ပြောင်းမှု \(\delta u^e_{i\alpha}\) တို့၏ လိုင်းနီးယား ပေါင်းစပ်မှု အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်ပြီး Voigt သင်္ကေတစနစ် ဖြင့်

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

ဟု စုစည်းနိုင်သည်။ နိုဒ်ဆိုင်ရာ ဘလောက် \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) သည် \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ကို Voigt စည်းမျဉ်းအတိုင်း စီထားသော \(6 \times 3\) မက်ထရစ် ဖြစ်ပြီး၊ \(\boldsymbol{B}_L\) သည် UL နည်း၏ စထရိန်-ရွှေ့ပြောင်းမှု ဆက်နွယ်မှု မက်ထရစ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အတွင်း-အား ဗာကျူအလုပ် ထဲ အစားထိုးပြီး \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ကို ခွဲထုတ်လျှင်

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

ကို ရရှိသည်။ \(\boldsymbol{q}^e\) ၏ နိုဒ်ဆိုင်ရာ ဘလောက် \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) သည် အီလီမင့် \(\Omega^e\) ၏ ဖွဲ့စည်း နိုဒ် \(\alpha\) ပေါ် သက်ရောက်သော အတွင်းအားဖြစ်သည်။

စုစုပေါင်း Lagrange နည်း၏ အတွင်းအား ဗာကျူအလုပ်

စုစုပေါင်း Lagrange နည်းတွင် ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား \(\Omega_0\) ကို ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းပုံ အဖြစ်ယူပြီး ဒုတိယ Piola-Kirchhoff စထရက်စ် \(\boldsymbol{S}\) နှင့် Green-Lagrange စထရိန် \(\boldsymbol{E}\) ဖြင့်

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

ဟု ရေးသည်။ \(\delta \boldsymbol{E}\) ကို ဗာကျူ ရွှေ့ပြောင်းမှု အပေါ် လိုင်းနီးယား အပိုင်း နှင့် လက်ရှိ ရွှေ့ပြောင်းမှု ဂရေဒီယင့် \(\partial u_k/\partial X_j\) တို့၏ မြှောက်လဒ် ပါဝင်သော နွန်လိုင်းနီးယား အပိုင်း ဟူ၍ ခွဲနိုင်သည်:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

လိုင်းနီးယား အပိုင်း ကို UL နည်းနှင့် တူညီသော အစီအစဉ် စည်းမျဉ်း ကို \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ပေါ် အသုံးချထားသည့် နိုဒ်ဆိုင်ရာ ဘလောက် \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ဖြင့်

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

ဟု ရေးနိုင်သည်(ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား ကွာခြားမှုကြောင့် အစိတ်အပိုင်း ကို \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) မှ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) သို့ အစားထိုးရုံသာဖြစ်ပြီး သင်္ကေတကို UL နည်းနှင့် မျှဝေသုံးသည်)။ နွန်လိုင်းနီးယား အပိုင်း ကို လက်ရှိ ရွှေ့ပြောင်းမှု ဂရေဒီယင့် \(\partial u_k/\partial X_j\) နှင့် \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) တို့၏ မြှောက်လဒ် ကို Voigt စည်းမျဉ်းအတိုင်း စီထားသည့် နိုဒ်ဆိုင်ရာ ဘလောက် \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) ဖြင့်

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

ဟု ရေးနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) ဖြစ်ပြီး၊ \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) သည် TL နည်း၏ စထရိန်-ရွှေ့ပြောင်းမှု ဆက်နွယ်မှု မက်ထရစ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အတွင်း-အား ဗာကျူအလုပ် ထဲ အစားထိုးလျှင်

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

ကို ရရှိသည်။ နိုဒ်ဆိုင်ရာ ဘလောက် \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) သည် အီလီမင့် \(\Omega^e_0\) ၏ ဖွဲ့စည်း နိုဒ် \(\alpha\) ပေါ် သက်ရောက်သော အတွင်းအားဖြစ်သည်။

UL/TL ဆက်နွယ်မှုနှင့် တွက်ချက်စီးဆင်းပုံ

မွမ်းမံထားသော Lagrange နည်းနှင့် စုစုပေါင်း Lagrange နည်းတို့၏ အီလီမင့် အတွင်း-အား ဗက်တာ များသည် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်နွယ်သည်။

အချက် မွမ်းမံထားသော Lagrange နည်း စုစုပေါင်း Lagrange နည်း
ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းပုံ လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား \({}^{t}\Omega^e\) ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား \(\Omega^e_0\)
စထရက်စ် တင်ဆာ Cauchy စထရက်စ် \(\boldsymbol{\sigma}\) ဒုတိယ PK စထရက်စ် \(\boldsymbol{S}\)
စထရိန် ပြောင်းလဲမှု \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B မက်ထရစ် \(\boldsymbol{B}_L\)(\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\)(\(\partial N/\partial X\)，\(\partial u/\partial X\))
အီလီမင့် အတွင်းအား \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

နှစ်နည်းလုံးကို “ပုံသဏ္ဌာန်ဖန်ရှင် ၏ နေရာဆိုင်ရာ ဒေရီဗေးတစ် မှ \(\boldsymbol{B}_L\) ကို ဖွဲ့စည်းခြင်း”၊ “TL နည်းတွင် လက်ရှိ ရွှေ့ပြောင်းမှု ဂရေဒီယင့် မှ \(\boldsymbol{B}_{NL}\) ကို ဖွဲ့၍ ပေါင်းထည့်ခြင်း”၊ “စထရက်စ်(\(\boldsymbol{\sigma}\) သို့မဟုတ် \(\boldsymbol{S}\))ကို ဖွဲ့စည်းဆက်နွယ်မှု ဥပဒေ အတိုင်း မွမ်းမံ လုပ်ခြင်း”၊ “အင်တီဂရေးရှင်းအမှတ် တွင် \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) သို့မဟုတ် \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) ကို အီလီမင့် ဒိုမိန်း ပေါ်၌ ကိန်းဂဏန်း အင်တီဂရေးရှင်း လုပ်ခြင်း(ကိန်းဂဏန်း အင်တီဂရေးရှင်း)” ဟူသော တူညီသည့် လုပ်ထုံးလုပ်နည်းဖြင့် ကိုင်တွယ်နိုင်သည်။ ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား ပြောင်းခြင်း(နိုဒ်ဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ် နှင့် \(\boldsymbol{B}\) မက်ထရစ် ဖွဲ့ပုံ)နှင့် စထရက်စ် တင်ဆာ အစားထိုးခြင်းမှလွဲ၍ တူညီသောကြောင့် FrontISTR တွင် နှစ်နည်းလုံး၏ အတွင်း-အား တွက်ချက်မှု ကို ဘုံ ဆပ်ရူတင်း ဖြင့် အကောင်အထည်ဖော်ထားသည်။ အီလီမင့် အတွင်း-အား ဗက်တာ \(\boldsymbol{q}^e\)၊ \(\boldsymbol{Q}^e\) မှ အလုံးစုံ အတွင်း-အား ဗက်တာ သို့ စုစည်း လုပ်ပုံကို ပြင်ပ-အား ဗာကျူအလုပ် နှင့် အလုံးစုံ ညီမျှခြင်း စုစည်းခြင်း တွင် ဖော်ပြထားသည်။

ဆက်စပ်အကြောင်းအရာများ