ကိန်းဂဏန်း အင်တီဂရေးရှင်း¶

အတွင်းအား ဗာကျူအလုပ်၏ ဒစ်စကရက်တိုင်ဇေးရှင်း နှင့် ပြင်ပဗာကျူအလုပ်နှင့် ဂလိုဘယ် ညီမျှခြင်းတပ်ဆင်မှု တို့မှ ရရှိသော အီလီမင့် အတွင်းအားဗက်တာ \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) နှင့် အီလီမင့် တောင့်တင်းမှုမက်ထရစ် \(\boldsymbol{K}^e\) တို့သည် အီလီမင့်ဒိုမိန်း \(\Omega^e\) သို့မဟုတ် \(\Omega^e_0\) ပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ပုံစံဖြစ်သည်။ FrontISTR သည် ၎င်းတို့ကို ဂေါ့စ် ကွာဒရာချာဖြင့် ကိန်းဂဏန်းနည်းအရ တွက်ချက်သည်။

ဂေါ့စ် ကွာဒရာချာနှင့် ကိန်းရှင်ပြောင်းလဲမှု¶

ဂေါ့စ် ကွာဒရာချာသည် ရည်ညွှန်းဒိုမိန်း \(\Xi\) ပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ကို အင်တီဂရေးရှင်းအမှတ် \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) တွင် အင်တီဂရန်ဒ်တန်ဖိုးနှင့် အလေးချိန် \(w_i\) တို့၏ လိုင်းနီးယားပေါင်းလဒ်ဖြင့် အနီးစပ်ဆုံးတွက်ချက်သည်။ အီလီမင့်ဒိုမိန်း \(\Omega^e\) သို့ အသုံးချရာတွင် မက်ပင်း \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) ဖြင့် ကိန်းရှင်ပြောင်းလဲမှု ပါဝင်ပြီး၊

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

ဟု ရေးနိုင်သည်။ \(n_q\) သည် အင်တီဂရေးရှင်းအမှတ်အရေအတွက်၊ \(J_{\xi_i}\) သည် ပြောင်းလဲမှု ဂျက်ကိုဘီယန် ဒက်တာမီနန့် ဖြစ်သည်။ ရည်ညွှန်းဒိုမိန်း \(\Xi\) ကို အီလီမင့်အမျိုးအစား အလိုက် သတ်မှတ်သည် (ဟက်ဇာဟီဒရွန် အတွက် \([-1,1]^3\)၊ တြိဂံ/တက်ထရာဟီဒရွန်/ဝက်ဂျ် အတွက် သက်ဆိုင်ရာ ရည်ညွှန်းပုံသဏ္ဌာန်)။ အင်တီဂရေးရှင်းအမှတ် \(\boldsymbol{\xi}_i\) နှင့် အလေးချိန် \(w_i\) ကို ကိန်းဂဏန်းဇယား အဖြစ် ပေးထားသည်။ မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ် ကိုလည်း အီလီမင့်မျက်နှာ ကို 2D ရည်ညွှန်းဒိုမိန်း မှ မက်ပင်း လုပ်ခြင်းဖြင့် တူညီသောပုံစံဖြင့် ကိုင်တွယ်သည်။

FrontISTR က အသုံးပြုသော ကိုယ်စားပြု အင်တီဂရေးရှင်းအမှတ် အရေအတွက်များကို အောက်တွင် ပြထားသည် (အီလီမင့်အမျိုးအစား နှင့် ဆက်နွယ်မှုအတွက် အီလီမင့် နံပါတ်ပေးစနစ်နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်ဖန်ရှင် လိုင်ဘရီ ကို ကြည့်ပါ)။

အီလီမင့်အမျိုးအစား	ကွာဒရာချာစည်းမျဉ်း	အင်တီဂရေးရှင်းအမှတ် အရေအတွက်
ဆုံမှတ် 4 ခုပါ လေးမျက်နှာ အီလီမင့် (`tet4n`)	1 အမှတ် စည်းမျဉ်း	1
ဆုံမှတ် 10 ခုပါ လေးမျက်နှာ အီလီမင့် (`tet10n`)	4 အမှတ် စည်းမျဉ်း	4
ဆုံမှတ် 6 ခုပါ တြိဂံပရစ်ဇမ် (`prism6n`)	2 အမှတ် စည်းမျဉ်း	2
ဆုံမှတ် 15 ခုပါ တြိဂံပရစ်ဇမ် (`prism15n`)	9 အမှတ် စည်းမျဉ်း	9
ဆုံမှတ် 8 ခုပါ ခြောက်မျက်နှာ အီလီမင့် (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
ဆုံမှတ် 20 ခုပါ ခြောက်မျက်နှာ အီလီမင့် (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
ဆုံမှတ် 4 ခုပါ လေးထောင့်ပုံ (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
ဆုံမှတ် 8 ခုပါ လေးထောင့်ပုံ (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
ဆုံမှတ် 3 ခုပါ တြိဂံ (`tri3n`)	1 အမှတ် စည်းမျဉ်း	1
ဆုံမှတ် 6 ခုပါ တြိဂံ (`tri6n`)	3 အမှတ် စည်းမျဉ်း	3

ခြောက်မျက်နှာ အီလီမင့်၊ လေးထောင့်ပုံနှင့် မျဉ်းအီလီမင့်များတွင် ကိုဩဒိနိတ်ဦးတည်ချက်တစ်ခုစီ၏ Gauss-Legendre စည်းမျဉ်းကို တင်ဆာထုတ်ကုန်ပြုလုပ်၍ အသုံးပြုသည်။ တြိဂံ၊ လေးမျက်နှာ အီလီမင့်နှင့် တြိဂံပရစ်ဇမ် များတွင် ဆင်ပလက်စ် ဂျီဩမေတြီ အတွက် သင့်လျော်သော သီးသန့်စည်းမျဉ်း (တြိဂံပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီယယ် ကို အတိအကျ အင်တီဂရေးရှင်းလုပ်နိုင်သော အမှတ်အစီအစဉ်) ကို အသုံးပြုသည်။

အီလီမင့် အင်တီဂရေးရှင်းတွင် အသုံးချခြင်း¶

အီလီမင့် အင်တီဂရေးရှင်းတွင် သဘာဝကိုဩဒိနိတ် \(\boldsymbol{r}\) ကို ရည်ညွှန်းဒိုမိန်း ကိုဩဒိနိတ် အဖြစ် အသုံးပြုသည် (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\))။ ရုပ်ပိုင်းကိုဩဒိနိတ် သို့ မက်ပင်း ကို ပုံသဏ္ဌာန်ဖန်ရှင် ဖြင့် နိုဒ်ကိုဩဒိနိတ် အင်တာပိုလေးရှင်း လုပ်၍ ပေးသည်။ ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းပုံ ရွေးချယ်မှု (အဆင့်လိုက် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု မူဘောင်) အလိုက် အောက်ပါ ဖော်မြူလာသတ်မှတ်ပုံများကို အသုံးပြုသည်။

Total Lagrange နည်းလမ်း (ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းပုံ \(\Omega^e_0\) ပေါ်တွင် အင်တီဂရေးရှင်းလုပ်): မက်ပင်း နှင့် ဂျက်ကိုဘီယန် ကို

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ဟုထားပြီး အီလီမင့် အတွင်းအား နှင့် တောင့်တင်းမှုမက်ထရစ် ကို

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ဟု အနီးစပ်ဆုံးတွက်ချက်သည်။ \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) အားလုံးကို အင်တီဂရေးရှင်းအမှတ် \(\boldsymbol{r}_i\) တွင် တွက်ချက်သည်။

Updated Lagrange နည်းလမ်း (လက်ရှိဖွဲ့စည်းပုံ \(\Omega^e\) ပေါ်တွင် အင်တီဂရေးရှင်းလုပ်): မက်ပင်း နှင့် ဂျက်ကိုဘီယန် ကို

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ဟုထားပြီး၊

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ဟု အနီးစပ်ဆုံးတွက်ချက်သည်။

ဖော်မြူလာသတ်မှတ်ပုံ နှစ်မျိုးအကြား ကွာခြားချက်မှာ မက်ပင်း သို့ ပေးသည့် နိုဒ်ကိုဩဒိနိတ် သည် \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) သို့မဟုတ် \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) ဖြစ်သည်ဆိုသည့် တစ်ချက်သာဖြစ်ပြီး အင်တီဂရေးရှင်းအမှတ်, အလေးချိန် နှင့် အင်တီဂရေးရှင်းအမှတ် လည်ပတ်ဖွဲ့စည်းပုံ များမှာ တူညီသည်။

အပြည့်အဝ အင်တီဂရေးရှင်းနှင့် လျှော့ချ အင်တီဂရေးရှင်း¶

အင်တီဂရန်ဒ် ၏ ပိုလီနိုမီယယ် အဆင့် ကို အတိအကျ အင်တီဂရေးရှင်းလုပ်နိုင်လောက်သော အင်တီဂရေးရှင်းအမှတ်အရေအတွက်ကို အသုံးပြုသည့် အင်တီဂရေးရှင်းကို အပြည့်အဝ အင်တီဂရေးရှင်း ဟုခေါ်ပြီး တစ်ဆင့်နည်းသော အင်တီဂရေးရှင်းအမှတ်အရေအတွက်ကို သုံးသည့် အင်တီဂရေးရှင်းကို လျှော့ချ အင်တီဂရေးရှင်း ဟုခေါ်သည်။ လျှော့ချ အင်တီဂရေးရှင်း ကို ရှီးယားနှင့် ထုထည် လော့ကင်း လျော့ချရန် အသုံးပြုသော်လည်း သဲနာရီမုဒ် ကဲ့သို့ အတု ပုံပျက်မှုမုဒ် များကို ကိုင်တွယ်ရန် လိုသည်။ အီလီမင့်အမျိုးအစား တစ်မျိုးစီအတွက် အင်တီဂရေးရှင်းအမှတ်အရေအတွက်နှင့် အပြည့်အဝ/လျှော့ချ ရွေးချယ်မှုကို အီလီမင့် နံပါတ်ပေးစနစ်နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်ဖန်ရှင် လိုင်ဘရီ နှင့် နောက်ပိုင်းအခန်းများ၊ ထို့ပြင် စွမ်းဆောင်ရည်မြင့် အီလီမင့် ဖော်မြူလာရေးဆွဲမှု တွင် ဖော်ပြထားသည်။

ဆက်စပ်အကြောင်းအရာများ¶

ပုံသဏ္ဌာန်ဖန်ရှင်၏ နေရာဆိုင်ရာ ဒေရီဗေးတစ် — ဂျက်ကိုဘီယန် တွက်ချက်ခြင်း
အတွင်းအား ဗာကျူအလုပ်၏ ဒစ်စကရက်တိုင်ဇေးရှင်း — ကိန်းဂဏန်း အင်တီဂရေးရှင်းဖြင့် တွက်ချက်မည့် ပမာဏများ
စွမ်းဆောင်ရည်မြင့် အီလီမင့် ဖော်မြူလာရေးဆွဲမှု — လျှော့ချ အင်တီဂရေးရှင်း အသုံးပြုခြင်း