လှုပ်ရှားမှု၊ ပုံပျက်မှုနှင့် စထရိန်¶

ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းပုံ နှင့် လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းပုံ¶

ဖွဲ့စည်းပုံ များ၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်¶

ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာပမာဏများကို ဖော်ပြရာတွင် အချိန်အလိုက် မည်သည့်ပုံသဏ္ဌာန်ကို အခြေခံအဖြစ် အသုံးပြုသည်ကို ခွဲခြားရန် ဤ လက်စွဲ တွင် ဖွဲ့စည်းပုံ နှစ်မျိုးကို အသုံးပြုသည်။

ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းပုံ: ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု စတင်ချိန် (အချိန် \(0\)) ရှိ ပုံမပျက်သေးသော ပုံသဏ္ဌာန်ဖြစ်ပြီး ကနဦး ဖွဲ့စည်းပုံ ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းပုံ ရှိ အမှတ်တစ်ခုကို ပစ္စည်း ကိုဩဒိနိတ် \(\boldsymbol{X}\) ဖြင့် ကိုယ်စားပြုပြီး ထုထည် ကို \(V\)၊ မျက်နှာပြင် ကို \(S\) ဖြင့် ရေးသည်။
လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းပုံ: အချိန် \(t\) ရှိ ပုံပျက်ပြီးနောက် ပုံသဏ္ဌာန်ဖြစ်သည်။ လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းပုံ ရှိ အမှတ်တစ်ခုကို နေရာဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ် \(\boldsymbol{x}\) ဖြင့် ကိုယ်စားပြုပြီး ထုထည် ကို \(v\)၊ မျက်နှာပြင် ကို \(s\) ဖြင့် ရေးသည်။

လှုပ်ရှားမှုကို ဖွဲ့စည်းပုံ နှစ်ခုကြား မက်ပင်း \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) အဖြစ် ဖော်ပြပြီး၊ ရွှေ့ပြောင်းမှုကို \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ဟု သတ်မှတ်သည်။

ဖွဲ့စည်းပုံ ပေါ်မူတည်သော သင်္ကေတရေးနည်း (စာလုံးအကြီး/အသေး)¶

သင်္ကေတ၏ စာလုံးအကြီး/အသေးဖြင့် ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာပမာဏသည် မည်သည့် ဖွဲ့စည်းပုံ နှင့် သက်ဆိုင်သည်ကို ခွဲခြားသည်။

ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းပုံ နှင့် သက်ဆိုင်သော ပမာဏများကို စာလုံးအကြီး သင်္ကေတများဖြင့် ရေးသည် (ဥပမာ \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\))။
လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းပုံ နှင့် သက်ဆိုင်သော ပမာဏများကို စာလုံးအသေး သင်္ကေတများဖြင့် ရေးသည် (ဥပမာ \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\))။
ပထမ Piola-Kirchhoff စထရက်စ် \(\boldsymbol{P}\) ကဲ့သို့ ဖွဲ့စည်းပုံ နှစ်ခုစလုံးကို ဆက်စပ်သော ပမာဏများအတွက် ရိုးရာ သင်္ကေတစနစ် ကို အသုံးပြုပြီး လိုအပ်သလို စာသားထဲတွင် ရှင်းလင်းစွာ ခွဲခြားဖော်ပြသည်။
အသေးစား-ပုံပျက်မှု သီအိုရီ တွင် ဖွဲ့စည်းပုံ နှစ်ခုကြား ကွာခြားချက် ပျောက်ကွယ်သဖြင့် စာလုံးအသေးသင်္ကေတ (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) များကိုသာ အသုံးပြုသည်။

ရည်ညွှန်း-ဖွဲ့စည်းပုံ ဂရေဒီယင့် နှင့် လက်ရှိ-ဖွဲ့စည်းပုံ ဂရေဒီယင့်¶

နေရာဆိုင်ရာ ဒေရီဗေးတစ် ကို မည်သည့် ဖွဲ့စည်းပုံ နှင့်စပ်လျဉ်း၍ ယူသည်ပေါ် မူတည်၍ သင်္ကေတစနစ် နှင့် အဓိပ္ပာယ် ကွာခြားသည်။

ရည်ညွှန်း-ဖွဲ့စည်းပုံ ဂရေဒီယင့် \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): ပစ္စည်း ကိုဩဒိနိတ် များအပေါ် ယူသော ဂရေဒီယင့်။ ဥပမာ \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\)။
လက်ရှိ-ဖွဲ့စည်းပုံ ဂရေဒီယင့် \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): နေရာဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ် များအပေါ် ယူသော ဂရေဒီယင့်။ ဥပမာ \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\)။

၎င်းတို့သည် \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) ဖြင့် ဆက်နွယ်သည်။ အချိန် ဒေရီဗေးတစ် (ပစ္စည်း အချိန် ဒေရီဗေးတစ် \(\dot{(\cdot)}\)) ဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းကို တင်ဆာ သင်္ကေတရေးနည်းနှင့် သင်္ချာအခြေခံများ တွင် ကြည့်ပါ။

လှုပ်ရှားမှု၏ ဖော်ပြချက်¶

လှုပ်ရှားမှု မက်ပင်း နှင့် ပစ္စည်း/နေရာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်များ¶

ကွန်တီနျူအမ် ကို အချိန် \(0\) ရှိ တည်နေရာ \(\boldsymbol{X}\) ဖြင့် အမှတ်အသားပြုထားသော ပစ္စည်းအမှတ် များ၏ စုစည်းမှုအဖြစ် ယူဆလျှင်၊ လှုပ်ရှားမှုကို ပစ္စည်းအမှတ် \(\boldsymbol{X}\) တစ်ခုစီအား အချိန် \(t\) ရှိ ၎င်း၏ တည်နေရာ \(\boldsymbol{x}\) နှင့် ချိတ်ဆက်ပေးသော မက်ပင်း \(\phi\) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းပုံ ကို ကနဦး ဖွဲ့စည်းပုံ အဖြစ် ယူသည့် စည်းမျဉ်းအောက်တွင် \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) ဖြစ်သည်။

မမှီခိုသော ပြောင်းလဲကိန်း ရွေးချယ်ပုံအလိုက် ဖော်ပြနည်းနှစ်မျိုးကို ခွဲခြားသည်။

ပစ္စည်း ဖော်ပြချက် (Lagrangian ဖော်ပြချက်): ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာပမာဏများကို \((\boldsymbol{X}, t)\) ၏ လုပ်ဆောင်ချက် များအဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ဆောလစ် မက္ကင်းနစ် တွင် ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား ကို ပုံသေ ပုံသဏ္ဌာန်အဖြစ် ပေးထားသဖြင့် ဤဖော်ပြနည်းသည် သဘာဝကျသော ရွေးချယ်မှုဖြစ်သည်။
နေရာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက် (Eulerian ဖော်ပြချက်): ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာပမာဏများကို \((\boldsymbol{x}, t)\) ၏ လုပ်ဆောင်ချက် များအဖြစ် ဖော်ပြသည်။ အရည် မက္ကင်းနစ် တွင် စံအဖြစ် အသုံးပြုသော ဖော်ပြနည်းဖြစ်သည်။

FrontISTR ဖွဲ့စည်းပုံဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု သည် အခြေခံအားဖြင့် ပစ္စည်း ဖော်ပြချက် ပေါ်တွင် အခြေခံသော်လည်း မွမ်းမံထားသော Lagrange နည်းတွင် လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား ကို ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား အသစ်အဖြစ် အသုံးပြုသောကြောင့် နေရာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက် ရှိ ပမာဏများကိုလည်း တွဲဖက်အသုံးပြုသည်။

ရွှေ့ပြောင်းမှု၊ အလျင်နှင့် အရှိန်¶

ယခင်အပိုင်းတွင် ဖော်ပြခဲ့သည့်အတိုင်း ရွှေ့ပြောင်းမှု \(\boldsymbol{u}\) ကို \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ အရွယ်အစားအပေါ် ယူဆချက်မထားသဖြင့် ဖိုင်နိုက် ပုံပျက်မှု ကိုပါ ထည့်သွင်းထားသည်။ ပစ္စည်း အမှတ် ကို ပုံသေထား၍ \(\boldsymbol{u}\) ၏ ပစ္စည်း အချိန် ဒေရီဗေးတစ် များအဖြစ် အလျင် နှင့် အရှိန် ဗက်တာ များကို သတ်မှတ်သည်။

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

ဤညီမျှခြင်းများက အလျင်နှင့် အရှိန်ကို သတ်မှတ်သည်။

ပုံပျက်မှု ဂရေဒီယင့် နှင့် ပုံပျက်မှု တင်ဆာ များ¶

ပုံပျက်မှု ဂရေဒီယင့် တင်ဆာ¶

ဖိုင်နိုက်-ပုံပျက်မှု ကွန်တီနျူအမ် မက္ကင်းနစ် တွင် အခြေခံအကျဆုံး ပမာဏမှာ ပုံပျက်မှု ဂရေဒီယင့် တင်ဆာ \(\boldsymbol{F}\) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ အလွန်သေးငယ်သော လိုင်း အီလီမင့် \(d\boldsymbol{X}\) ကို လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ အလွန်သေးငယ်သော လိုင်း အီလီမင့် \(d\boldsymbol{x}\) သို့ မက်ပင်း ပြုလုပ်သော လိုင်းနီးယား မက်ပင်း ဖြစ်ပြီး၊ ပစ္စည်း ကိုဩဒိနိတ် အပေါ် လှုပ်ရှားမှု မက်ပင်း ၏ ဂရေဒီယင့် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

ဤသို့ သတ်မှတ်ထားသော (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) ပုံပျက်မှု ဂရေဒီယင့် သည် ပုံမပျက်မီ အခြေအနေ တွင် \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) ဖြစ်သည်။ \(\boldsymbol{F}\) ကို စထရိန် နှင့် စထရက်စ် သတ်မှတ်ရာတွင်လည်းကောင်း၊ ဖွဲ့စည်းပုံ များကြား ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာပမာဏများကို ပြောင်းလဲရာတွင်လည်းကောင်း ကျယ်ပြန့်စွာ အသုံးပြုသည်။

ထုထည် အချိုး¶

ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းပုံ ရှိ အလွန်သေးငယ်သော ထုထည် \(dV\) နှင့် ၎င်းနှင့် သက်ဆိုင်သော လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ အလွန်သေးငယ်သော ထုထည် \(dv\) တို့၏ အချိုးကို ထုထည် အချိုး \(J\) ဟု ခေါ်သည်။

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

ကွန်တီနျူအမ် ၏ ပြောင်းပြန်ယူနိုင်မှု အတွက် \(J > 0\) လိုအပ်သည်။ ဒြပ်ထုထိန်းသိမ်းမှုကို \(\rho_0 = J\rho\) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။

ညာ နှင့် ဘယ် Cauchy-Green ပုံပျက်မှု တင်ဆာ များ¶

ပုံပျက်မှု ဂရေဒီယင့် \(\boldsymbol{F}\) တွင် တောင့်တင်းကိုယ်ထည် လှည့်ပတ်မှု ပါဝင်သဖြင့် ပုံပျက်မှု ကိုယ်တိုင်ကို တိုင်းတာရာတွင် တောင့်တင်းကိုယ်ထည် လှည့်ပတ်မှု ကို ဖယ်ရှားထားသော ပမာဏများကို အသုံးပြုသည်။ ညာ Cauchy-Green ပုံပျက်မှု တင်ဆာ \(\boldsymbol{C}\) (ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား) နှင့် ဘယ် Cauchy-Green ပုံပျက်မှု တင်ဆာ \(\boldsymbol{b}\) (လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

နှစ်ခုစလုံးသည် အချိုးညီ တင်ဆာ များဖြစ်ပြီး တူညီသော ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး များ (အဓိက ဆန့်ထွက်မှု များ၏ နှစ်ထပ်ကိန်း) ရှိသည်။ ဟိုက်ပါအီလတ်စတစ် စထရိန်-စွမ်းအင် လုပ်ဆောင်ချက် များ၏ အဓိက မပြောင်းကိန်း များကို ဤ တင်ဆာ များဖြင့် ဖော်ပြသည်။

စထရိန် တင်ဆာ များ¶

Green-Lagrange စထရိန် တင်ဆာ¶

ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းပုံ ကို ရည်ညွှန်းသော စထရိန် တိုင်းတာချက် အဖြစ် Green-Lagrange စထရိန် တင်ဆာ \(\boldsymbol{E}\) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

၎င်းသည် ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ အလွန်သေးငယ်သော ဗက်တာ များ၏ အတွင်း မြှောက်လဒ် ပြောင်းလဲမှုကို ကိုယ်စားပြုသော အချိုးညီ တင်ဆာ ဖြစ်ပြီး တောင့်တင်းကိုယ်ထည် လှည့်ပတ်မှု အောက်တွင် မပြောင်းကိန်း ဖြစ်သည်။ ပုံမပျက်မီ အခြေအနေ တွင် \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) ကို ဖြည့်ဆည်းသည်။ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) ကို အသုံးပြုလျှင်

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

ဤပုံစံသည် စထရိန် ကို ရွှေ့ပြောင်းမှု ဂရေဒီယင့် ၏ ပထမအဆင့်နှင့် ဒုတိယအဆင့် အပိုင်း များ၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ဒုတိယအဆင့် အပိုင်း သည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ နွန်လိုင်းနီးယားမှု ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ စုစုပေါင်း Lagrange နည်းတွင် အလုပ်-တွဲဖက် အတွဲ \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။

Almansi စထရိန် တင်ဆာ¶

လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းပုံ ကို ရည်ညွှန်းသော စထရိန် တိုင်းတာချက် အဖြစ် Almansi စထရိန် တင်ဆာ \(\boldsymbol{e}\) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

၎င်းသည် Green-Lagrange စထရိန် နှင့် \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းပုံသို့ ပြန်လည်ပြောင်းခြင်း) ဖြင့် ဆက်နွယ်သည်။

အလွန်သေးငယ်သော စထရိန် တင်ဆာ¶

ရွှေ့ပြောင်းမှု ဂရေဒီယင့် သေးငယ်ပါက (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)) Green-Lagrange စထရိန် ၏ ဒုတိယအဆင့် အပိုင်း ကို လျစ်လျူရှုနိုင်သည်။ ထိုအခါ ဖွဲ့စည်းပုံ နှစ်ခုကြား ကွာခြားချက် ပျောက်ကွယ်သဖြင့် နေရာဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ် ဖြင့် ဂရေဒီယင့် ကို ရေးသော အလွန်သေးငယ်သော စထရိန် တင်ဆာ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) သို့ လျော့ကျသည်။

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR သည် လိုင်းနီးယား တည်ငြိမ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု၊ မုဒ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု၊ ကြိမ်နှုန်း-တုံ့ပြန်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု နှင့် လိုင်းနီးယား ဒိုင်နမစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု များတွင် ဤ စထရိန် တိုင်းတာချက် ကို အသုံးပြုသည်။ ဖိုင်နိုက်-ပုံပျက်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု တွင် စုစုပေါင်း Lagrange နည်းအတွက် \(\boldsymbol{E}\) ကို အသုံးပြုပြီး မွမ်းမံထားသော Lagrange နည်းအတွက် လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား ကို ရည်ညွှန်းသော ပုံပျက်မှုနှုန်း တင်ဆာ \(\boldsymbol{D}\) ကို အသုံးပြုသည်။