အကြောင်းအရာသို့ ကရန်

စထရက်စ် နှင့် ထိန်းသိမ်းမှု ဥပဒေ များ

ဤအခန်းတွင် စထရက်စ် တင်ဆာ များ၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်နှင့် အပြန်အလှန်ဆက်နွယ်မှုများကို စုစည်းပြီး၊ ဒြပ်ထု၊ မျဉ်းဖြောင့်အဟုန် နှင့် ထောင့်အဟုန် ထိန်းသိမ်းမှုမှ ဆင်းသက်သော ညီမျှတည်ငြိမ်မှု ညီမျှခြင်း နှင့် စထရက်စ် အချိုးညီမှု ကို ဖော်ပြသည်။ စထရက်စ် တင်ဆာ သုံးမျိုးဖြစ်သည့် Cauchy စထရက်စ် \(\boldsymbol{\sigma}\)၊ ပထမ Piola-Kirchhoff စထရက်စ် \(\boldsymbol{P}\) နှင့် ဒုတိယ Piola-Kirchhoff စထရက်စ် \(\boldsymbol{S}\) တို့ကို ရည်ညွှန်းမျက်နှာပြင် နှင့် အားဗက်တာ အတွက် အသုံးပြုသည့် ဖွဲ့စည်းအနေအထား အလိုက် မိတ်ဆက်ထားသည်။ ဖွဲ့စည်းအနေအထား၊ လှုပ်ရှားမှုနှင့် ပုံပျက်မှု ဂရေဒီယန့် ၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်များကို လှုပ်ရှားမှု၊ ပုံပျက်မှုနှင့် စထရိန် တွင်၊ သင်္ကေတစာရင်းကို ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ပမာဏသင်္ကေတ စာရင်း တွင် ကြည့်ပါ။

Cauchy စထရက်စ် တင်ဆာ အကြောင်း

လက်ရှိဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ အမှတ် \(\boldsymbol{x}\) တွင် အလွန်သေးငယ်သော မျက်နှာပြင် (ဧရိယာ \(d\Gamma\)၊ အပြင်ဘက်ဦးတည် ယူနစ်နော်မယ်ဗက်တာ \(\boldsymbol{n}\)) ပေါ် သက်ရောက်သောအားကို \(d\boldsymbol{f}\) ဟုထားပြီး၊ ယူနစ်ဧရိယာ တစ်ခုလျှင် အားကို မျက်နှာပြင်အားဗက်တာ \(\boldsymbol{t}\) အဖြစ် \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) ဖြင့် သတ်မှတ်သည်။ \(\boldsymbol{t}\) သည် တည်နေရာ \(\boldsymbol{x}\) နှင့် နော်မယ် \(\boldsymbol{n}\) နှစ်ခုစလုံးပေါ် မူတည်သည်။ အလွန်သေးငယ်သော တက်ထရာဟီဒရွန် တစ်ခုအပေါ် အဟုန် ထိန်းသိမ်းမှုကို အသုံးချလျှင် \(\boldsymbol{t}\) သည် \(\boldsymbol{n}\) အပေါ် လိုင်းနီးယား ဖြစ်ကြောင်း ရရှိပြီး၊ ထို့ကြောင့် အောက်ပါဆက်နွယ်မှုကို ဖြည့်ဆည်းသော ဒုတိယအဆင့် တင်ဆာ \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) ရှိသည်။

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

\(\boldsymbol{n}\) မည်သည့်တန်ဖိုးအတွက်မဆို (Cauchy စထရက်စ် သီအိုရမ်) ဖြစ်သည်။ ဤ တင်ဆာ \(\boldsymbol{\sigma}\) ကို Cauchy စထရက်စ် တင်ဆာ ဟု ခေါ်ပြီး လက်ရှိဖွဲ့စည်းအနေအထား ၏ ဂျီဩမေတြီ အပေါ် တိုင်းတာသော ယူနစ်ဧရိယာ တစ်ခုလျှင်အားကို ကိုယ်စားပြုသဖြင့် စစ်မှန်သော စထရက်စ် ဟုလည်း ခေါ်သည်။ အစိတ်အပိုင်း \(\sigma_{ij}\) သည် လက်ရှိဖွဲ့စည်းအနေအထား တွင် ကိုဩဒိနိတ်ဝင်ရိုး \(x_j\) ကို နော်မယ် ဖြစ်သော အလွန်သေးငယ်သော မျက်နှာပြင်ပေါ် သက်ရောက်သည့် ယူနစ်ဧရိယာ တစ်ခုလျှင်အား၏ \(x_i\) အစိတ်အပိုင်း ကို ကိုယ်စားပြုသည်။

ထောင့်အဟုန် ထိန်းသိမ်းမှုမှ နောက်ပိုင်းတွင် ပြသမည့်အတိုင်း Cauchy စထရက်စ် သည် အချိုးညီ တင်ဆာ ဖြစ်သည်။

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ထို့ကြောင့် သုံးဖက်မြင်တွင် လွတ်လပ်သော အစိတ်အပိုင်း ခြောက်ခု (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) ရှိသည်။ Voigt သင်္ကေတရေးနည်း ဖြင့် စထရက်စ် ကို ဗက်တာပုံစံပြောင်း လုပ်ရာတွင် ဤ အချိုးညီမှု ကို အခြေခံယူသည် (တင်ဆာ သင်္ကေတရေးနည်းနှင့် သင်္ချာအခြေခံများ ကိုကြည့်ပါ)။ FrontISTR တွင် Updated Lagrange နည်းဖြင့် ဂျီဩမေတြီ နွန်လိုင်းနီးယား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု နှင့် အသေးစားပုံပျက်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု များ၏ စထရက်စ် အထွက် အတွက် Cauchy စထရက်စ် ကို အသုံးပြုသည်။

ပထမနှင့် ဒုတိယ Piola-Kirchhoff စထရက်စ်များ

အကြီးစားပုံပျက်မှု တွင် ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ မျက်နှာပြင်နှင့် ဗက်တာ များကို ရည်ညွှန်း၍ စထရက်စ် ကို ဖော်ပြခြင်းသည် မကြာခဏ အဆင်ပြေသဖြင့် Piola-Kirchhoff စထရက်စ် တင်ဆာ နှစ်မျိုးကို မိတ်ဆက်သည်။ ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ အလွန်သေးငယ်သော မျက်နှာပြင်ဧရိယာကို \(d\Gamma_0\)၊ ၎င်း၏ အပြင်ဘက်ဦးတည် ယူနစ်နော်မယ်ဗက်တာ ကို \(\boldsymbol{N}\) ဟုထားသည်။

ပထမ Piola-Kirchhoff စထရက်စ် (ပထမ PK စထရက်စ်၊ အမည်ခံ စထရက်စ်) \(\boldsymbol{P}\) ကို လက်ရှိဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ အား \(d\boldsymbol{f}\) ကို ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ အလွန်သေးငယ်သော မျက်နှာပြင်ပေါ် သက်ရောက်စေသောအခါ ရရှိသည့် စထရက်စ် တင်ဆာ အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nanson ဖော်မြူလာ \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) ကို Cauchy စထရက်စ် သီအိုရမ် နှင့် တွဲဖက်အသုံးပြုလျှင် Cauchy စထရက်စ် နှင့် အောက်ပါဆက်နွယ်မှုကို ရသည်။

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

ပထမ PK စထရက်စ် သည် ယေဘုယျအားဖြင့် အချိုးမညီ ဖြစ်သည်။

ဒုတိယ Piola-Kirchhoff စထရက်စ် (ဒုတိယ PK စထရက်စ်) \(\boldsymbol{S}\) ကို လက်ရှိဖွဲ့စည်းအနေအထား အား \(d\boldsymbol{f}\) ကို \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ဖြင့် ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား သို့ ပြန်ဆွဲယူ လုပ်ပြီး ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ အလွန်သေးငယ်သော မျက်နှာပြင်ပေါ် သက်ရောက်စေသောအခါ ရရှိသည့် စထရက်စ် တင်ဆာ အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

အားဗက်တာ နှင့် ၎င်းသက်ရောက်သော မျက်နှာပြင် နှစ်ခုစလုံးကို ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား ပမာဏများဖြင့် ဖော်ပြထားသဖြင့် ခိုင်မာကိုယ်ထည်လည်ပတ်မှု အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဖြစ်ပြီး အချိုးညီ ဖြစ်သည်။ ပထမ PK စထရက်စ် နှင့် ဆက်နွယ်မှုနှင့် Cauchy စထရက်စ် မှ အသွင်ပြောင်းခြင်း သည်

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

ဒုတိယ PK စထရက်စ် ကို ဟိုက်ပါအီလတ်စတစ် စထရိန်-စွမ်းအင် ဖန်ရှင် \(W(\boldsymbol{C})\) မှ \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) အဖြစ် ဆင်းသက်ပြီး Total Lagrange နည်းတွင် Green-Lagrange စထရိန် \(\boldsymbol{E}\) နှင့်အတူ အလုပ်-တွဲဖက် အတွဲ \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။

ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား နှင့် အချိုးညီမှု ဂုဏ်သတ္တိများကို အောက်တွင် အနှစ်ချုပ်ထားသည်။ အသေးစားပုံပျက်မှု ကန့်သတ်ချက် (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) တွင် စထရက်စ် သုံးမျိုးသည် တူညီလာသည်။

စထရက်စ် တင်ဆာ ရည်ညွှန်းမျက်နှာပြင် အားဗက်တာ အချိုးညီမှု အသုံးချမှု
Cauchy စထရက်စ် \(\boldsymbol{\sigma}\) လက်ရှိဖွဲ့စည်းအနေအထား \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) လက်ရှိဖွဲ့စည်းအနေအထား \(d\boldsymbol{f}\) အချိုးညီ Updated Lagrange နည်း / အသေးစားပုံပျက်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု
ပထမ PK စထရက်စ် \(\boldsymbol{P}\) ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) လက်ရှိဖွဲ့စည်းအနေအထား \(d\boldsymbol{f}\) ယေဘုယျအားဖြင့် အချိုးမညီ ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ ညီမျှတည်ငြိမ်မှု ညီမျှခြင်း များ
ဒုတိယ PK စထရက်စ် \(\boldsymbol{S}\) ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) အချိုးညီ Total Lagrange နည်း / ဟိုက်ပါအီလတ်စတစ်သဘော

ဒြပ်ထုနှင့် အဟုန် ထိန်းသိမ်းမှုနှင့် ညီမျှတည်ငြိမ်မှု ညီမျှခြင်း များ

လက်ရှိဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ ဒြပ်ထုသိပ်သည်းဆ ကို \(\rho\)၊ ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ ဒြပ်ထုသိပ်သည်းဆ ကို \(\rho_0\) ဟုထားသည်။ ဒြပ်ထုထိန်းသိမ်းမှု ဥပဒေ \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) နှင့် ထုထည်အီလီမင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း \(dv = J\, dV\) တို့မှ ဒေသဆိုင်ရာပုံစံ အဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း ရသည်။

\[ \rho_0 = J \rho \]

ဤသည် ဒေသဆိုင်ရာ ဒြပ်ထုထိန်းသိမ်းမှု ဆက်နွယ်ချက်ဖြစ်သည်။

ယူနစ်ဒြပ်ထု တစ်ခုလျှင် ကိုယ်ထည်အား ကို \(\boldsymbol{g}\)၊ အရှိန် ကို \(\boldsymbol{a}\) ဟုထားသည်။ မျဉ်းဖြောင့်အဟုန် ထိန်းသိမ်းမှု (Euler ၏ ပထမလှုပ်ရှားမှုဥပဒေ) တွင် Cauchy စထရက်စ် သီအိုရမ် နှင့် Gauss ဒိုင်ဗာဂျင့် သီအိုရမ် ကို အသုံးပြုလျှင် လက်ရှိဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ ဒေသဆိုင်ရာ ညီမျှတည်ငြိမ်မှု ညီမျှခြင်း (လှုပ်ရှားမှုညီမျှခြင်း) ကို ရသည်။

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Nanson ဖော်မြူလာ နှင့် \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) ကို အသုံးပြု၍ အင်တီဂရယ် ကို ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား တွင် ပြန်ရေးလျှင် ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ ဒေသဆိုင်ရာပုံစံ ကို ရသည်။

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

စထရက်စ် အသွင်ပြောင်းစည်းမျဉ်း နှင့် \(\rho_0 = J\rho\) မှတစ်ဆင့် ပုံစံ နှစ်ခုသည် ညီမျှသည်။ အင်နာရှား တမ်း ကို လျစ်လျူရှုလျှင်

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

ဖြစ်ပြီး ဤသည် တည်ငြိမ် ညီမျှတည်ငြိမ်မှု ညီမျှခြင်း ဖြစ်ကာ FrontISTR တည်ငြိမ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု (လိုင်းနီးယား နှင့် နွန်လိုင်းနီးယား) ၏ စတင်ညီမျှခြင်းဖြစ်သည်။

ထောင့်အဟုန် ထိန်းသိမ်းမှုနှင့် စထရက်စ် အချိုးညီမှု

ထောင့်အဟုန် ထိန်းသိမ်းမှု (Euler ၏ ဒုတိယလှုပ်ရှားမှုဥပဒေ) ကို မျဉ်းဖြောင့်အဟုန် ထိန်းသိမ်းမှုမှ ရသော ညီမျှတည်ငြိမ်မှု ညီမျှခြင်း နှင့် ပေါင်းစပ်လျှင် Cauchy စထရက်စ် တင်ဆာ ၏ အချိုးညီမှု ကို ရသည်။

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ထို့ကြောင့် သုံးဖက်မြင်တွင် လွတ်လပ်သော အစိတ်အပိုင်း ခြောက်ခု ရှိသည်။ အသွင်ပြောင်းခြင်း \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) ၏ နှစ်ဖက်စလုံးကို ထရန်စပို့စ် ယူပြီး \(\boldsymbol{F}\) ၏ မဆင်ဂျူလာဖြစ်မှု ကို အသုံးပြုလျှင် ဒုတိယ PK စထရက်စ် လည်း အချိုးညီ ဖြစ်ကြောင်း ပြနိုင်သည်။

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

ထို့ကြောင့် ၎င်းတွင်လည်း လွတ်လပ်သော အစိတ်အပိုင်း ခြောက်ခု ရှိသည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် ပထမ PK စထရက်စ် \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) သည် ယေဘုယျအားဖြင့် အချိုးညီ မဟုတ်ပါ။ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) ဆက်နွယ်မှုသာ မှန်ကန်ပြီး (ဆိုလိုသည်မှာ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) သည် အချိုးညီ ဖြစ်သည်) လွတ်လပ်သော အစိတ်အပိုင်း ကိုးခု ရှိသည်။

ဤ အချိုးညီမှု များသည် Voigt သင်္ကေတရေးနည်း တွင် စထရက်စ် ကို အစိတ်အပိုင်း ခြောက်ခုပါ ဗက်တာ အဖြစ် ဖော်ပြရာ၏ အခြေခံဖြစ်သည်။ Voigt သင်္ကေတရေးနည်း စည်းမျဉ်းများနှင့် ပစ္စည်း မက်ထရစ် တည်ဆောက်ပုံကို တင်ဆာ သင်္ကေတရေးနည်းနှင့် သင်္ချာအခြေခံများ နှင့် လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ်စတီ တွင် ကြည့်ပါ။

ဆက်စပ်အကြောင်းအရာများ