အကြောင်းအရာသို့ ကရန်

ဗာကျူအလုပ် အခြေခံမူ

စထရက်စ် နှင့် ထိန်းသိမ်းမှု ဥပဒေ များ တွင် ဆင်းသက်ထားသော ညီမျှမှု ညီမျှခြင်း နှင့် နယ်နိမိတ်အခြေအနေ များကို အခြေခံ၍ ကွန်တီနျူအမ် မက္ကင်းနစ် နယ်နိမိတ်-တန်ဖိုး ပြဿနာ ၏ အားနည်းပုံစံ ဖြစ်သည့် ဗာကျူအလုပ် အခြေခံမူ ကို ဆင်းသက်သည်။ ဖိုင်နိုက် အီလီမင့် ဒစ်စကရိတိုက်ဇေးရှင်း သည် ဤ အားနည်းပုံစံ မှ စတင်သည်။ ဤအခန်းတွင် လက်ရှိ-ဖွဲ့စည်းပုံ ပုံစံ (Cauchy စထရက်စ် နှင့် Almansi စထရိန် ၏ လိုင်းနီးယား အပိုင်းဖြင့် ဖော်ပြသောပုံစံ) နှင့် ရည်ညွှန်း-ဖွဲ့စည်းပုံ ပုံစံ (ဒုတိယ Piola-Kirchhoff စထရက်စ် နှင့် Green-Lagrange စထရိန် ဖြင့် ဖော်ပြသောပုံစံ) နှစ်ခုစလုံးကို ဖော်ပြ၍ ၎င်းတို့၏ ညီမျှမှုကို ပြသပြီးနောက် အသေးစား ပုံပျက်မှု သို့ လျော့ကျသည့်ပုံကို အတည်ပြုသည်။

ညီမျှမှု ညီမျှခြင်း နှင့် နယ်နိမိတ်အခြေအနေ များ

ကွန်တီနျူအမ် ပေါ် ယူနစ် ဒြပ်ထု တစ်ခုလျှင် သက်ရောက်သော ကိုယ်ထည်အား ကို \(\boldsymbol{g}\) ဟုထားပြီး လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား တွင် ဒိုမိန်း \(\Omega\) ကို နေရာယူသော ကိုယ်ထည် တစ်ခုကို စဉ်းစားမည်။ နယ်နိမိတ် \(\Gamma\) ကို ရွှေ့ပြောင်းမှု \(\bar{\boldsymbol{u}}\) သတ်မှတ်ထားသော ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ နယ်နိမိတ် \(\Gamma_B\) နှင့် မျက်နှာပြင်အား \(\bar{\boldsymbol{t}}\) သတ်မှတ်ထားသော စက်မှုဆိုင်ရာ နယ်နိမိတ် \(\Gamma_t\) ဟူ၍ ခွဲသည်။ ထို့ကြောင့် \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) နှင့် \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\) ဖြစ်သည်။ တည်ငြိမ် ပြဿနာ အတွက် စထရက်စ် နှင့် ထိန်းသိမ်းမှု ဥပဒေ များ တွင် ပြထားသော မိုမန်တမ် ထိန်းသိမ်းမှု ဥပဒေ မှ အင်နာရှားဆိုင်ရာ အပိုင်း ကို ဖယ်ရှားခြင်းဖြင့် ညီမျှမှု ညီမျှခြင်း ကို ရသည်။

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{အတွင်း} \ \Omega \]

နယ်နိမိတ် အခြေအနေ များမှာ

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{ပေါ်တွင်} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{ပေါ်တွင်} \ \Gamma_B \]

အောက်တွင် ဗာကျူအလုပ် အခြေခံမူကို ညီမျှမှု ညီမျှခြင်း နှင့် စက်မှုဆိုင်ရာ နယ်နိမိတ်အခြေအနေ \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) တို့၏ အားနည်းပုံစံ အဖြစ် ဆင်းသက်သည်။ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ နယ်နိမိတ်အခြေအနေ \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ကို စမ်းသပ် လုပ်ဆောင်ချက် ရွေးချယ်မှုမှတစ်ဆင့် ထည့်သွင်းသည်။

လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းပုံ ရှိ အားနည်းပုံစံ

အားနည်း ပုံစံ တွင် အမည်မသိ ရွှေ့ပြောင်းမှု အတွက် ခွင့်ပြုနိုင်သော နေရာ နှင့် စမ်းသပ်-လုပ်ဆောင်ချက် နေရာ ကို အသီးသီး အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{ပေါ်တွင်} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{ပေါ်တွင်} \ \Gamma_B \} \]

ဤနေရာတွင် \(d\) သည် နေရာဆိုင်ရာ အတိုင်းအတာ ဖြစ်ပြီး၊ \(H^1(\Omega)\) သည် လုပ်ဆောင်ချက် ကိုယ်တိုင်နှင့် ပထမ အားနည်း ဒေရီဗေးတစ် များ စတုရန်း-အင်တီဂရိတ်နိုင်သော ဖြစ်သော Sobolev နေရာ ဖြစ်သည်။ \(\delta\) သည် ပြောင်းလဲမှု ကို ဆိုလိုသည်။ လက်ရှိ-ဖွဲ့စည်းပုံ ကိုယ်စားပြုပုံ တွင် \(\Omega\) သည် ပုံပျက်ထားသော ဖွဲ့စည်းပုံ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့ ကိန်းဂဏန်း ဖြေရှင်းချက် တွင် ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား သို့မဟုတ် သိရှိပြီးသော ကြားခံ ဖွဲ့စည်းပုံ သို့ ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းပုံသို့ ပြန်လည်ပြောင်းခြင်း ပြုလုပ်သည်။

ညီမျှမှု ညီမျှခြင်း ကို အလေးချိန် \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ဖြင့် မြှောက်ပြီး Gauss ဒိုင်ဗာဂျင့်စ် သီအိုရမ် နှင့် စက်မှုဆိုင်ရာ နယ်နိမိတ်အခြေအနေ ကို အသုံးချလျှင် လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ အောက်ပါ ဗာကျူအလုပ် အခြေခံမူကို ရသည်။

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

ဤနေရာတွင် \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) သည် Almansi စထရိန် တင်ဆာ ၏ လိုင်းနီးယား အပိုင်း ဖြစ်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

၎င်း၏ ပြောင်းလဲမှု သည် \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) တိုင်းအတွက် ဗာကျူအလုပ် ညီမျှခြင်း ကို ဖြည့်ဆည်းသော \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ကို ရှာသည်။ ဘယ်ဘက်ခြမ်းသည် အတွင်းအား များ၏ ဗာကျူအလုပ် ဖြစ်ပြီး ညာဘက်ခြမ်းသည် သတ်မှတ်ထားသော မျက်နှာပြင်အား နှင့် ကိုယ်ထည်အား ကြောင့် ဖြစ်သော ပြင်ပအား များ၏ ဗာကျူအလုပ် ဖြစ်သည်။

ဤညီမျှခြင်းကို ပုံပျက်ထားသော (လက်ရှိ-ဖွဲ့စည်းပုံ) ဒိုမိန်း ပေါ်တွင် ရေးထားသောကြောင့် လက်တွေ့ ဖြေရှင်းချက် လုပ်ငန်းစဉ် တွင် ကနဦး ဖွဲ့စည်းပုံ \(\Omega_0\) (ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား) သို့မဟုတ် သိရှိပြီးသော ကြားခံ ဖွဲ့စည်းပုံ ကို ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား အဖြစ် ပြန်ရွေးပြီး၊ ညီမျှခြင်းကို တိုးကိန်းဆိုင်ရာ ပုံစံ ဖြင့် ပြန်ရေးကာ ဖြေရှင်းသည်။ ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းပုံ ၏ သတ်သတ်မှတ်မှတ် ရွေးချယ်မှု (စုစုပေါင်း Lagrange / မွမ်းမံထားသော Lagrange) နှင့် တိုးကိန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းခြင်း ကို တိုးကိန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု မူဘောင် တွင် ကြည့်ပါ။

ကနဦး ဖွဲ့စည်းပုံ ရှိ အားနည်းပုံစံ

ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းပုံ တွင် ဒိုမိန်း \(\Omega_0\) ကို နေရာယူသော ကိုယ်ထည် တစ်ခုကို စဉ်းစားပြီး နယ်နိမိတ် \(\Gamma_0\) ကို \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) ဟူ၍ ခွဲမည်။ လက်ရှိ-ဖွဲ့စည်းပုံ ကိုယ်စားပြုပုံ ကို ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား သို့ ရည်ညွှန်းဖွဲ့စည်းပုံသို့ ပြန်လည်ပြောင်းခြင်း ပြုလုပ်လျှင် ဒုတိယ Piola-Kirchhoff စထရက်စ် \(\boldsymbol{S}\) နှင့် Green-Lagrange စထရိန် \(\boldsymbol{E}\) တို့၏ တွဲဖက် စထရက်စ်-စထရိန် အတွဲ ကို ရသည်။ ထို့နောက် ကနဦး ဖွဲ့စည်းပုံ ရှိ ဗာကျူအလုပ် အခြေခံမူသည်

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

ဤနေရာတွင် \(\rho_0\) သည် ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ ဒြပ်ထု သိပ်သည်းဆ ဖြစ်ပြီး ဒြပ်ထု-ထိန်းသိမ်းမှု ဆက်နွယ်မှု \(\rho_0 = J\rho\) ကြောင့် လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ ကိုယ်ထည်-အား ကိုယ်စားပြုပုံ နှင့် ညီမျှသည်။

လက်ရှိ- နှင့် ကနဦး-ဖွဲ့စည်းပုံ ကိုယ်စားပြုပုံ များ၏ ညီမျှမှု

ကိုယ်စားပြုပုံ နှစ်ခုရှိ အတွင်းအား များ၏ ဗာကျူအလုပ် သည် ပုံပျက်မှု ဂရေဒီယင့် \(\boldsymbol{F}\) နှင့် ထုထည် အချိုး \(J = \det \boldsymbol{F}\) ဖြင့် ပြောင်းလဲခြင်း ပြုလုပ်ရာမှ တူညီသည်။ အတိအကျအားဖြင့်

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

ပြင်ပ-အား အပိုင်း များသည်လည်း ဒြပ်ထု ထိန်းသိမ်းမှု နှင့် မျက်နှာပြင်အား ပြောင်းလဲခြင်း ကြောင့် ညီမျှသည်။ ထို့ကြောင့် လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား ရှိ ဗာကျူအလုပ် ညီမျှခြင်း နှင့် ကနဦး ဖွဲ့စည်းပုံ ရှိ ညီမျှခြင်း တို့သည် တူညီသော အခြေခံမူကို မတူညီသော ဖွဲ့စည်းပုံ များတွင် ဖော်ပြထားခြင်းဖြစ်သည်။ ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းပုံ ကို ရည်ညွှန်းသော ဖြေရှင်းချက် နည်းလမ်း သည် စုစုပေါင်း Lagrange နည်းနှင့် ကိုက်ညီပြီး၊ လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား (ချက်ချင်းယခင် စုစည်းနီးကပ်ပြီးသော ဖွဲ့စည်းပုံ) ကို ရည်ညွှန်းသော ဖြေရှင်းချက် နည်းလမ်း သည် မွမ်းမံထားသော Lagrange နည်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။

အသေးစား ပုံပျက်မှု သို့ လျော့ကျခြင်း

အသေးစား-ပုံပျက်မှု ယူဆချက် \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) နှင့် \(J \approx 1\) အောက်တွင် လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းအနေအထား နှင့် ရည်ညွှန်း ဖွဲ့စည်းအနေအထား ကြား ကွာခြားချက် ပျောက်ကွယ်ပြီး ဒုတိယ PK စထရက်စ် သည် Cauchy စထရက်စ် နှင့် တူညီလာသည် (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\))။ Green-Lagrange စထရိန် နှင့် Almansi စထရိန် ၏ လိုင်းနီးယား အပိုင်း နှစ်ခုစလုံးသည် အလွန်သေးငယ်သော စထရိန် \(\boldsymbol{\varepsilon}\) သို့ လျော့ကျသည်။

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

ထို့နောက် ဗာကျူအလုပ် အခြေခံမူသည် Cauchy စထရက်စ် \(\boldsymbol{\sigma}\) နှင့် အလွန်သေးငယ်သော စထရိန် \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ဖြင့် ဖော်ပြသော အားနည်းပုံစံ သို့ လျော့ကျသည်။

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{ပေါ်တွင်} \ \Gamma_B \]

ဤသည် အသေးစား-ပုံပျက်မှု လိုင်းနီးယား-အီလတ်စတစ် တည်ငြိမ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု တွင် ဒစ်စကရိတိုက်ဇေးရှင်း အတွက် တိုက်ရိုက်အသုံးပြုသော အားနည်းပုံစံ ဖြစ်သည် (လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ် တည်ငြိမ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု (နိဒါန်း နှင့် နောက်ဆက်တွဲ) သည် ဤ ပုံစံ မှ စတင်၍ အလုံးစုံ ညီမျှခြင်း \(\boldsymbol{K}^e\) ၏ စုစည်းခြင်း မှတစ်ဆင့် အီလီမင့် တောင့်တင်းမှု \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) တည်ဆောက်ပုံကို ဖော်ပြသည်)။

လိုင်းနီးယား-အီလတ်စတစ် ဖွဲ့စည်းဆက်နွယ်မှု ဥပဒေ \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ကို အစားထိုးပြီး Voigt သင်္ကေတစနစ် ဖြင့် \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ဟု ရေးလျှင် အားနည်းပုံစံ သည်

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

ဟူသော ပုံစံရသည်။

ဆက်စပ်အကြောင်းအရာများ