အကြောင်းအရာသို့ ကရန်

တင်ဆာ သင်္ကေတရေးနည်းနှင့် သင်္ချာအခြေခံများ

ဤအခန်းတွင် FrontISTR သီအိုရီ လက်စွဲ ၏ နောက်ပိုင်းအခန်းများ၌ အသုံးပြုမည့် တင်ဆာ သင်္ကေတရေးနည်း၊ အညွှန်း သင်္ကေတရေးနည်း နှင့် Voigt သင်္ကေတရေးနည်း ဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများကို စုစည်းဖော်ပြထားသည်။ ဤနေရာတွင် ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာပမာဏများ၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်နှင့် မသက်ဆိုင်သော သင်္ကေတရေးနည်းဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းသက်သက် ကိုသာ ဖော်ပြသည်။ ဆက်တိုက်မီဒီယမ် လှုပ်ရှားမှု၏ ဖွဲ့စည်းပုံ (ကိုးကား/လက်ရှိဖွဲ့စည်းပုံ) ပေါ် မူတည်သော စာလုံးအကြီး/အသေး ခွဲခြားပုံ၊ ပစ္စည်း ဆင့်ပွား နှင့် အာကာသဆိုင်ရာ ဆင့်ပွား ခွဲခြားပုံကဲ့သို့သော သင်္ကေတရေးနည်း စည်းမျဉ်းများကို ဖွဲ့စည်းပုံ အယူအဆကို မိတ်ဆက်သည့် လှုပ်ရှားမှု၊ ပုံပျက်မှုနှင့် စထရိန် တွင် ဖော်ပြထားသည်။

တင်ဆာ သင်္ကေတရေးနည်း

ဗက်တာ နှင့် တင်ဆာ များအတွက် စာလုံးအထူ သင်္ကေတ

စာစီစာရိုက်ဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းအရ စကေလာ ပမာဏများနှင့် ဗက်တာ/တင်ဆာ တို့၏ အစိတ်အပိုင်း များကို ပုံမှန်စာလုံးဖြင့် (ဥပမာ \(\rho\) နှင့် \(x_i\)) ရေးပြီး၊ ဗက်တာ နှင့် တင်ဆာ ပမာဏကိုယ်တိုင် ကို စာလုံးအထူ ဖြင့် (ဥပမာ \(\boldsymbol{a}\)၊ \(\boldsymbol{E}\) နှင့် \(\boldsymbol{\sigma}\)) ရေးသည်။

Einstein ပေါင်းလဒ် စည်းမျဉ်း

အခြားသတ်မှတ်ချက်မရှိပါက Einstein ပေါင်းလဒ်စည်းမျဉ်း ကို အသုံးပြုသည်။ တူညီသော အညွှန်း တစ်ခုသည် အခေါ် တစ်ခုအတွင်း နှစ်ကြိမ်ပေါ်လာပါက ထို အညွှန်း အပေါ် ပေါင်းလဒ် ပြုလုပ်သည်။ ဥပမာ၊

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

ထို့ပြင် တင်ဆာ \(\boldsymbol{A}\) နှင့် \(\boldsymbol{B}\) တို့၏ မြှောက်လဒ် \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) ၏ \(i,j\) အစိတ်အပိုင်း သည်

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

အညွှန်း စည်းမျဉ်းအရ ထပ်မံသတ်မှတ်ချက်မရှိဘဲ \(i, j, k, l, \ldots\) ကို အညွှန်း အဖြစ် အသုံးပြုပါက ၎င်းတို့သည် လွတ်လပ်မှုဒီဂရီနှင့် သက်ဆိုင်သော အညွှန်း များ (သုံးဖက်မြင်တွင် \(1, 2, 3\)) ကို ဆိုလိုသည်။ အက္ခရာအသေး ဂရိ စာလုံး \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ကို အညွှန်း အဖြစ် အသုံးပြုပါက အီလီမင့်ကို ဖွဲ့စည်းသော နိုဒ် များနှင့် သက်ဆိုင်သော အညွှန်း များကို ဆိုလိုသည်။

အတွင်းမြှောက်လဒ်၊ ထရန်စပို့စ် နှင့် တင်ဆာ မြှောက်လဒ်

တင်ဆာ \(\boldsymbol{A}\) ၏ ထရန်စပို့စ် ကို \(\boldsymbol{A}^T\) ဖြင့် ရေးသည်။ ဒုတိယအဆင့် တင်ဆာ \(\boldsymbol{A}\) နှင့် \(\boldsymbol{B}\) တို့၏ အတွင်းမြှောက်လဒ် (နှစ်ထပ်ကျုံ့မြှောက်လဒ်) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသည်။

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

ဗက်တာ \(\boldsymbol{a}\) နှင့် \(\boldsymbol{b}\) တို့၏ အတွင်းမြှောက်လဒ် သည် \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) ဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းတို့၏ တင်ဆာမြှောက်လဒ် သည် \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) ဖြစ်သည်။

Voigt သင်္ကေတရေးနည်း

စထရက်စ် နှင့် စထရိန် တို့သည် လွတ်လပ်မှုဒီဂရီအပေါ် အချိုးညီ ဖြစ်သော ဒုတိယအဆင့် တင်ဆာ များဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းတို့အကြား လိုင်းနီးယား ဆက်နွယ်မှုကို ဖော်ပြသော ကိန်း များသည် စတုတ္ထအဆင့် တင်ဆာ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းတို့ကို ပရိုဂရမ် အတွင်း တိုက်ရိုက်ကိုင်တွယ်ခြင်းသည် တွက်ချက်မှုကုန်ကျစရိတ်နှင့် ကုဒ်ရေးခြင်း (အတိုင်းအတာမျိုးစုံ အာရေး များနှင့် အလွန်နက်သော ထပ်ဆင့်လှည့်ပတ်မှု များ) အရ အားနည်းချက်ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် ယေဘုယျ ဖိုင်နိုက် အီလီမင့် ပရိုဂရမ် များသည် အချိုးညီမှု ကို အသုံးချ၍ စထရက်စ် နှင့် စထရိန် ကို ကော်လံဗက်တာ များအဖြစ်၊ စတုတ္ထအဆင့် အီလတ်စတစ် တင်ဆာ ကို နှစ်ဖက်မြင် မက်ထရစ် အဖြစ် ချုံ့ရေးသားသည်။ ယင်းကို Voigt သင်္ကေတရေးနည်း ဟု ခေါ်သည်။

အောက်တွင် တင်ဆာ ပမာဏ \(\boldsymbol{A}\) ၏ မက်ထရစ် သို့မဟုတ် ဗက်တာ ကိုယ်စားပြုပုံကို မူရင်း တင်ဆာ နှင့် ခွဲခြားနိုင်ရန် \(\hat{A}\) ဖြင့် ရေးမည်။

စထရက်စ် နှင့် စထရိန် ၏ ဗက်တာ ကိုယ်စားပြုပုံ

အချိုးညီ စထရက်စ် တင်ဆာ \(\boldsymbol{\sigma}\) နှင့် စထရိန် တင်ဆာ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) အတွက် နှစ်ဖက်မြင်တွင်

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

သုံးဖက်မြင်တွင်၊

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

အထက်ပါအတိုင်း ကော်လံဗက်တာ များအဖြစ် ကိုင်တွယ်သည်။ ဗေရီအေးရှင်း နှင့် ဆင့်ပွား ကဲ့သို့ ဆင်းသက်လာသော ပမာဏများတွင်လည်း တူညီသော စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြုသည်။ စထရိန် ဘက်ရှိ ရှီးယားအစိတ်အပိုင်း များတွင် ကိန်း 2 ပါဝင်သည် (စထရက်စ် ဘက်တွင် မပါ) ဆိုသည်ကို သတိပြုရမည်။ ဤ မညီမျှမှု ကြောင့် တင်ဆာ အတွင်းမြှောက်လဒ် ကို ဗက်တာ အတွင်းမြှောက်လဒ် အဖြစ် ကျစ်လစ်စွာ အောက်ပါအတိုင်း ရေးနိုင်သည်။

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

အကောင်အထည်ဖော်မှု တွင် ရှီးယားစထရိန် အစိတ်အပိုင်း များ၏ ကိန်း 2 ကို မှားယွင်းကိုင်တွယ်ရန် လွယ်ကူသောကြောင့် “စထရက်စ် တွင် မပါ / စထရိန် တွင် ပါ” ဟူသော စည်းမျဉ်းကို အမြဲသတိထားရမည်။ ကိုးကားဖွဲ့စည်းပုံ ရှိ ပမာဏများ (ဒုတိယ Piola-Kirchhoff စထရက်စ် \(\boldsymbol{S}\) နှင့် Green-Lagrange စထရိန် \(\boldsymbol{E}\)) တွင်လည်း အတိအကျ တူညီသော Voigt စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြုသည်။

စတုတ္ထအဆင့် တင်ဆာ၏ မက်ထရစ် ကိုယ်စားပြုပုံ

စထရက်စ် နှင့် စထရိန် အကြား လိုင်းနီးယား ဆက်နွယ်မှု \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (အစိတ်အပိုင်း ပုံစံဖြင့် \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) အတွက် \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ၏ အချိုးညီမှု ကို အသုံးပြုလျှင်

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

သုံးဖက်မြင်တွင် \(\tilde{C}\) ကို 6×6 ပစ္စည်းမက်ထရစ် \(\hat{\tilde{C}}\) အဖြစ် စီစဉ်ခြင်းဖြင့် မူရင်း တင်ဆာ ဆက်နွယ်မှုကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

ဤလက်စွဲ၏ နောက်ပိုင်းတွင် အခြားသတ်မှတ်ချက်မရှိပါက ပစ္စည်းမက်ထရစ် ကို \(D\) (သို့မဟုတ် \(\hat{C}\)) ဖြင့် ရေးမည်။ အိုင်ဆိုထရော့ပစ် လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ်စတီ အတွက် သတ်သတ်မှတ်မှတ် အစိတ်အပိုင်း များကို လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ်စတီ တွင် ကြည့်ပါ။

ဆင့်ပွား အော်ပရေတာ စည်းမျဉ်းများ

အချိုးညီ ဂရေဒီယန့် အော်ပရေတာ

ဗက်တာ ကွင်း \(\boldsymbol{u}\) အတွက် အချိုးညီ ဂရေဒီယန့် အော်ပရေတာ \(\nabla_S\) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

အစိတ်အပိုင်း ပုံစံတွင် \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) ဖြစ်သည်။ အသေးစားပုံပျက်မှု စထရိန် \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) ကို ဤ အော်ပရေတာ ဖြင့် ကျစ်လစ်စွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကန့်အသတ်ပုံပျက်မှု တွင် ဂရေဒီယန့် ယူသည့် ဖွဲ့စည်းပုံ (ကိုးကား/လက်ရှိ) ခွဲခြားပုံကို လှုပ်ရှားမှု၊ ပုံပျက်မှုနှင့် စထရိန် တွင် ဖော်ပြထားသည်။

ပစ္စည်းအချိန် ဆင့်ပွား

ပမာဏ \(A\) ၏ ပစ္စည်းအချိန်ဆင့်ပွား (တူညီသော ပစ္စည်းအမှတ် ကို လိုက်၍ ယူသော အချိန် ဆင့်ပွား) ကို အပေါ်စာ အစက် \(\dot{A}\) ဖြင့် ရေးသည်။

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

အလျင် နှင့် အရှိန် တို့တွင်လည်း ဤစည်းမျဉ်းကို အသုံးပြုသည်။

ဆက်စပ်အကြောင်းအရာများ