Newton-Raphson နည်း¶

လိုင်းနီးယားခန့်မှန်းခြင်းနှင့် ထပ်ခါတွက်ချက် ဆက်နွယ်ချက်¶

ပြင်ပအားများ၏ ဗာကျူအလုပ်နှင့် အလုံးစုံညီမျှခြင်း စုစည်းမှု မှ အချိန် \(t_{n+1}\) ရှိ နိုဒ်ရွှေ့ပြောင်းမှု \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) အတွက် နွန်လိုင်းနီးယားညီမျှခြင်း ကို ရပြီး၊ ၎င်းကို Newton-Raphson နည်းဖြင့် ဖြေရှင်းသည်။ အချိန် \(t_n\) အထိ နိုဒ်ရွှေ့ပြောင်းမှု \(\boldsymbol{u}_n\) ကို သိရှိပြီးဖြစ်သည်ဟု ယူဆကာ ရွှေ့ပြောင်းမှု တိုးပမာဏ \(\Delta\boldsymbol{u}\) ကို ရှာဖွေရမည့် မသိကိန်း အဖြစ် ယူသည်။

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

အောက်တွင် ပြင်ပအားဗက်တာ ၏ နိုဒ်ရွှေ့ပြောင်းမှု ပေါ် မူတည်မှုကို လျစ်လျူရှုပြီး \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) ဟုထားလျှင်၊

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

ကို ဖြေရှင်းသည်။

လက်ရှိ ဖြေရှင်းချက် \(\Delta\boldsymbol{u}\) တွင် တန်ဂျင့် တောင့်တင်းမှု ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

ဤသည်ကို အသုံးပြု၍ နွန်လိုင်းနီးယားညီမျှခြင်း ကို လိုင်းနီးယားခန့်မှန်းပြောင်းလဲ လုပ်လျှင်

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

\(i\) ခုမြောက် ထပ်ခါတွက်ချက်မှု ရှိ ပြင်ဆင်ချက် ကို \(d\boldsymbol{u}_i\) ဟု၊ ထပ်ခါတွက်ချက်မှု စတင်ချိန်ရှိ ကျန်အားဗက်တာ ကို အောက်ပါအတိုင်း ထားသည်။

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

ထို့နောက် ထပ်ခါတွက်ချက် ဆက်နွယ်ချက် သည်

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

ထို့ကြောင့် ကျန်အား \(\boldsymbol{R}_i\) သည် အားတန်းညီမှု မှ အားမညီမျှမှု နှင့် ကိုက်ညီသော ပမာဏဖြစ်သည်။

တန်ဂျင့် တောင့်တင်းမှု မက်ထရစ် တည်ဆောက်ခြင်း¶

တန်ဂျင့် တောင့်တင်းမှု \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) ကို အတွင်းအား ဗာကျူအလုပ်၏ ဒစ်စကရက်တိုင်ဇေးရှင်း တွင် ရရှိသော အီလီမင့်အတွင်းအားဗက်တာ ကို နိုဒ်ရွှေ့ပြောင်းမှု အပေါ် တစိတ်တပိုင်းအနုတ်ယူခြင်း ပြုလုပ်၍၊ ရရှိသော အီလီမင့်အဆင့် အင်တီဂရန်ဒ် ကို အီလီမင့်နယ်ပယ် တစ်ခုစီပေါ်တွင် အင်တီဂရယ်တွက်ချက်ပြီး စုစည်းခြင်းဖြင့် တည်ဆောက်သည်။ အီလီမင့်အဆင့် အင်တီဂရန်ဒ် ကို \(\boldsymbol{K}^e_X\) (ရည်ညွှန်းအနေအထား သင်္ကေတရေးနည်း၊ TL ဖော်မြူလာပုံစံ) သို့မဟုတ် \(\boldsymbol{K}^e_x\) (လက်ရှိအနေအထား သင်္ကေတရေးနည်း၊ UL ဖော်မြူလာပုံစံ) ဟုထားလျှင် အီလီမင့် တန်ဂျင့် တောင့်တင်းမှု သည်

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

အောက်တွင် TL/UL အင်တီဂရန်ဒ် များ၏ နောက်ဆုံးပုံစံကို ဖော်ပြသည်။ နှစ်မျိုးစလုံးတွင် ပစ္စည်းတောင့်တင်းမှုအပိုင်း (ကနဦးရွှေ့ပြောင်းမှုအပိုင်း) နှင့် ဂျီဩမေတြီတောင့်တင်းမှုအပိုင်း (ကနဦးစထရက်စ်အပိုင်း) တို့၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ခွဲထားသည်။

Total Lagrange ဖော်မြူလာပုံစံ¶

Total Lagrange ဖော်မြူလာပုံစံ တွင် ဒုတိယ Piola-Kirchhoff စထရက်စ်နှုန်း \(\dot{\boldsymbol{S}}\) နှင့် Green-Lagrange စထရိန်နှုန်း \(\dot{\boldsymbol{E}}\) အကြား \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) ဟူသော လိုင်းနီးယား ဆက်နွယ်မှုကို ယူဆသည်။ ၎င်းသည် လိုင်းနီးယားအီလတ်စတစ်ပစ္စည်း (St. Venant-Kirchhoff ပစ္စည်း) နှင့် ဟိုက်ပါအီလတ်စတစ်ပစ္စည်း များ၏ ဖွဲ့စည်းပုံဆိုင်ရာဥပဒေ နှင့် ကိုက်ညီပြီး FrontISTR သည် ဤ ပစ္စည်းများအတွက် Total Lagrange ဖော်မြူလာပုံစံ ကို အသုံးပြုသည်။ အီလီမင့် တန်ဂျင့် တောင့်တင်းမှု အင်တီဂရန်ဒ် ကို တင်ဆာပုံစံ ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရေးသည်။

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

ညာဘက်ခြမ်း၏ ပထမ အပိုင်း သည် ပစ္စည်းတောင့်တင်းမှုအပိုင်း (ကနဦးရွှေ့ပြောင်းမှုအပိုင်း) ဖြစ်ပြီး ဒုတိယ အပိုင်း သည် ဂျီဩမေတြီတောင့်တင်းမှုအပိုင်း (ကနဦးစထရက်စ်အပိုင်း) ဖြစ်သည်။

FrontISTR အကောင်အထည်ဖော်မှု တွင် ဤ အင်တီဂရန်ဒ် ကို Voigt သင်္ကေတရေးနည်း အသုံးပြုသော မက်ထရစ်ပုံစံ ဖြင့် အကဲဖြတ်သည်။

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

မက်ထရစ် တစ်ခုစီမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) သည် အတွင်းအား ဗာကျူအလုပ်၏ ဒစ်စကရက်တိုင်ဇေးရှင်း တွင် မိတ်ဆက်ထားသော B မက်ထရစ် များဖြစ်ပြီး၊ \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) သည် ဖွဲ့စည်းပုံဆိုင်ရာတင်ဆာ \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) ၏ Voigt ကိုယ်စားပြုပုံ ဖြစ်သော \(6\times 6\) ပစ္စည်းတောင့်တင်းမှု မက်ထရစ် ဖြစ်သည် (တင်ဆာ သင်္ကေတရေးနည်းနှင့် သင်္ချာအခြေခံများ)။ \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) သည် ဂျီဩမေတြီတောင့်တင်းမှုအပိုင်း ကို မက်ထရစ် မြှောက်လဒ် အဖြစ် ဖော်ပြရန် အသုံးပြုသော ပြန်လည်စီစဉ် မက်ထရစ် များဖြစ်သည်။ ပထမဦးစွာ \(3\times 3\) ဒုတိယအဆင့် တင်ဆာ \(\boldsymbol{A}\) အတွက် ၎င်းကို 9-အီလီမင့် ဗက်တာ အဖြစ် ပြန်စီသော သင်္ကေတရေးနည်း \([\,\cdot\,]\) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

ဤသတ်မှတ်ချက်ဖြင့် \(\boldsymbol{F}_9\) သည် ပုံပျက်မှုဂရေဒီယင့် ၏ ပြောင်းလဲချက် ကို \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြသော \(9\times d n_e\) မက်ထရစ် ဖြစ်သည်။ အီလီမင့်နိုဒ် \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) အတွက် သက်ဆိုင်ရာ \(9\times d\) ဘလောက် သည်

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ သည် } 3\times 3 \text{ ယူနစ်မက်ထရစ် ဖြစ်သည်}) \]

ဖြစ်ပြီး အီလီမင့်-နိုဒ် အစဉ်အတိုင်း ဘလောက် များကို အလျားလိုက် စီ၍ \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) ဟု ရေးသည်။ \(\boldsymbol{S}_9\) ကို ဤ မက်ထရစ် နှင့် ပေါင်းစပ်သောအခါ ဂျီဩမေတြီတောင့်တင်းမှုအပိုင်း ကို \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်ရန် ရွေးချယ်ထားပြီး အောက်ပါ \(9\times 9\) မက်ထရစ် ဖြစ်သည်။

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

ဤသည် ရရှိသော မက်ထရစ် ဖြစ်သည်။

Updated Lagrange ဖော်မြူလာပုံစံ¶

Updated Lagrange ဖော်မြူလာပုံစံ တွင် ဆက်စပ် Kirchhoff စထရက်စ်တင်ဆာ ၏ Jaumann အလျင်နှုန်း \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) နှင့် ပုံပျက်မှုအလျင်နှုန်းတင်ဆာ \(\boldsymbol{D}\) အကြား \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) ဟူသော လိုင်းနီးယား ဆက်နွယ်မှုကို ယူဆသည်။ ၎င်းသည် လိုင်းနီးယား အီလတ်စတစ်၊ အီလတ်စတိုပလတ်စတစ် နှင့် ခရိပ်ပစ္စည်း များတွင် အသုံးများသော ဟိုက်ပိုအီလတ်စတစ် ဖွဲ့စည်းပုံဆိုင်ရာဥပဒေ ပုံစံဖြစ်ပြီး FrontISTR သည် ဤ ပစ္စည်းများအတွက် Updated Lagrange ဖော်မြူလာပုံစံ ကို အသုံးပြုသည်။ လက်ရှိအနေအထား ဖြင့် ဖော်ပြသော အီလီမင့် တန်ဂျင့် တောင့်တင်းမှု အင်တီဂရန်ဒ် ကို တင်ဆာပုံစံ ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရေးသည်။

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

ဤနေရာတွင် \(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) သည် Truesdell အလျင်နှုန်း၊ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) သည် Almansi စထရိန် ၏ လိုင်းနီးယား အပိုင်း၊ \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) သည် လက်ရှိအနေအထား အပေါ် ရွှေ့ပြောင်းမှုဂရေဒီယင့်၊ \(\boldsymbol{L}\) သည် အလျင်ဂရေဒီယင့်တင်ဆာ ဖြစ်သည်။ ညာဘက်ခြမ်း၏ ပထမ အပိုင်း သည် ပစ္စည်းတောင့်တင်းမှုအပိုင်း ဖြစ်ပြီး ဒုတိယ အပိုင်း သည် ဂျီဩမေတြီတောင့်တင်းမှုအပိုင်း ဖြစ်သည်။

FrontISTR အကောင်အထည်ဖော်မှု တွင် ဤ အင်တီဂရန်ဒ် ကို Voigt သင်္ကေတရေးနည်း အသုံးပြုသော မက်ထရစ်ပုံစံ ဖြင့် အကဲဖြတ်သည်။

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

ဤနေရာတွင် \(\boldsymbol{b}\) သည် လက်ရှိအနေအထား တွင် တည်ဆောက်သော B မက်ထရစ် ဖြစ်သည် (အတွင်းအား ဗာကျူအလုပ်၏ ဒစ်စကရက်တိုင်ဇေးရှင်း)။ \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) ကို TL ဖော်မြူလာပုံစံ အတွက် သတ်မှတ်ထားသော \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) မှ ဒုတိယ PK စထရက်စ် \(\boldsymbol{S}\) ကို Cauchy စထရက်စ် \(\boldsymbol{\sigma}\) ဖြင့်၊ ရည်ညွှန်းအနေအထား ဂရေဒီယင့် \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ကို လက်ရှိအနေအထား ဂရေဒီယင့် \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ဖြင့် အစားထိုး၍ ရရှိသည်။

\(\boldsymbol{G}\) သည် ဟိုက်ပိုအီလတ်စတစ် ဖွဲ့စည်းပုံဆိုင်ရာဥပဒေ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) ကို Truesdell အလျင်နှုန်းအခြေပြု ဖွဲ့စည်းပုံဆိုင်ရာဥပဒေ အဖြစ် တန်ဂျင့် တောင့်တင်းမှု ဘောင် နှင့် ကိုက်ညီစေရန် လိုအပ်သော Cauchy စထရက်စ်အပေါ်မူတည်သော ပြင်ဆင်ချက် မက်ထရစ် ဖြစ်သည်။ စတုတ္ထအဆင့် တင်ဆာ အီလီမင့် \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) ကို \(6\times 6\) Voigt ပုံစံ ဖြင့် စီ၍ အောက်ပါအတိုင်း ရသည်။

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

ဤသည် ရရှိသော မက်ထရစ် ဖြစ်သည်။

အလုံးစုံတောင့်တင်းမှုမက်ထရစ် စုစည်းခြင်း¶

အလုံးစုံ တန်ဂျင့် တောင့်တင်းမှု \(\boldsymbol{K}\) ကို အီလီမင့်တောင့်တင်းမှု \(\boldsymbol{K}^e\) တစ်ခုစီအား နိုဒ်အတွဲ တစ်ခုစီအတွက် \(d\times d\) ဘလောက် \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) များအဖြစ် ခွဲပြီး အီလီမင့်-နိုဒ် ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာပမာဏ စုစည်းမှု တွင် မိတ်ဆက်ထားသော ဒုတိယအဆင့်တင်ဆာ စုစည်းမှုအစု \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) ကို အသုံးပြု၍ ရသည်။

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

ရရှိသောတန်ဖိုးများကို အတန်း \(i_g\) နှင့် ကော်လံ \(i_h\) ရှိ မက်ထရစ် အဖြစ် စီသည်။ အကောင်အထည်ဖော်မှု တွင် စု \(\mathcal{E}^2\) ကို တိုက်ရိုက်မတည်ဆောက်ဘဲ သက်ဆိုင်ရာ ဘလောက် များကို အီလီမင့်လှည့်ပတ်မှု အတွင်း တိုက်ရိုက်ပေါင်းထည့်သည်။ မက်ထရစ် သည် နိုဒ် တစ်ခုလျှင် လွတ်လပ်မှုဒီဂရီ \(\times\) စုစုပေါင်း နိုဒ်အရေအတွက် \(n_g\) နှင့် ညီသော အရွယ်အစားရှိ စတုရန်းမက်ထရစ် ဖြစ်သော်လည်း အီလီမင့် ဖြင့် ချိတ်ဆက်ထားသော နိုဒ်များကြားမှအပ အီလီမင့် အားလုံး \(0\) ဖြစ်သောကြောင့် ကျဲမက်ထရစ်ပုံစံ ဖြင့် သိမ်းသည်။

TL နှင့် UL ဖော်မြူလာပုံစံ များ၏ အီလီမင့်တောင့်တင်းမှု မက်ထရစ် များသည် ရည်ညွှန်းအနေအထား (နိုဒ်ကိုဩဒိနိတ် နှင့် B မက်ထရစ် တည်ဆောက်ရန် အသုံးပြုသော အရင်းမြစ်) ပြောင်းခြင်းနှင့် \(\boldsymbol{G}\) မက်ထရစ် ရှိ/မရှိမှအပ တူညီသောပုံစံရှိသည်။ ထို့ကြောင့် FrontISTR သည် ဖော်မြူလာပုံစံ နှစ်မျိုးလုံးကို ဘုံ ဆပ်ရုတင်း တစ်ခုတွင် အကောင်အထည်ဖော်ထားသည်။

ထပ်ခါတွက်ချက် အယ်လဂိုရီသမ်¶

အထက်ပါအကြောင်းအရာကို အနှစ်ချုပ်လျှင် ထပ်ခါတွက်ချက်မှု စတင်ချိန်တွင် \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) ဟုထားပြီး ကနဦး ကျန်အား \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) ကို တွက်သည်။ ထို့နောက် \(i\) ခုမြောက် ထပ်ခါတွက်ချက်မှု တွင် အောက်ပါလုပ်ငန်းစဉ်ကို လုပ်ဆောင်သည်။

လက်ရှိ ရွှေ့ပြောင်းမှု \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) တွင် တန်ဂျင့် တောင့်တင်းမှု မက်ထရစ် တည်ဆောက်ခြင်း ၏ လုပ်ငန်းစဉ်အတိုင်း တန်ဂျင့် တောင့်တင်းမှု \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) ကို တွက်သည်။
ဂျီဩမေတြီ နယ်နိမိတ်အခြေအနေ များကို သက်ရောက်စေရန် ရွှေ့ပြောင်းမှုကန့်သတ်ချက် သက်ရောက်သော လွတ်လပ်မှုဒီဂရီများအတွက် တန်ဂျင့် တောင့်တင်းမှု မက်ထရစ် နှင့် ကျန်အားဗက်တာ ကို ပြင်ဆင်ပြီး \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ကို ရသည် (ဂျီဩမေတြီ နယ်နိမိတ်အခြေအနေများကို ကိုင်တွယ်ခြင်း)။
လိုင်းနီးယားညီမျှခြင်း \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ကို ဖြေရှင်း၍ ပြင်ဆင်ချက် \(d\boldsymbol{u}_i\) ကို ရသည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်သည် ထပ်ခါတွက်ချက်မှု ၏ တွက်ချက်မှုကုန်ကျစရိတ်အများစုကို ယူလေ့ရှိသည်။
ရွှေ့ပြောင်းမှုအတိုး ကို \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) ဖြင့် မွမ်းမံ လုပ်ပြီး၊ ထို့နှင့်အညီ အတွင်းအားဗက်တာ \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) နှင့် ကျန်အား \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) ကို တွက်သည်။
ဆုံစည်းမှု ကို စစ်ဆေးပြီး ဆုံစည်းမှု ရလျှင် ထပ်ခါတွက်ချက်မှု ကို ရပ်သည်။ ဂျီဩမေတြီ နယ်နိမိတ်အခြေအနေ သက်ရောက်သော လွတ်လပ်မှုဒီဂရီများတွင် ကန့်သတ်တုံ့ပြန်အား နှင့် သက်ဆိုင်သော အီလီမင့် များသည် ကျန်အား \(\boldsymbol{R}_i\) ထဲ ပေါ်လာသောကြောင့် ယင်း အီလီမင့် များကို ဖယ်ထုတ်ပြီးနောက် \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) မှ ဆုံစည်းမှုညွှန်းကိန်း ကို တည်ဆောက်သည်။ သတ်သတ်မှတ်မှတ် ဆုံစည်းမှုညွှန်းကိန်း နှင့် အကန့်အသတ်တန်ဖိုးများကို ဆုံစည်းမှု စံနှုန်း တွင် ဖော်ပြထားသည်။ ဆုံစည်းမှု မရဘဲ ထပ်ခါတွက်ချက်မှု အများဆုံးအကြိမ် သို့ ရောက်လျှင် ထပ်ခါတွက်ချက်မှု ကို မအောင်မြင်မှုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

ထပ်ခါတွက်ချက်မှု ပေါင်းဆုံ ဖြစ်သောအခါ ပေါင်းဆုံပြီးသော \(\Delta\boldsymbol{u}\) ကို \(\boldsymbol{u}_n\) သို့ ပေါင်း၍ အချိန် \(t_{n+1}\) ရှိ စုစုပေါင်းရွှေ့ပြောင်းမှု \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) ကို ရယူပြီး နောက် အချိန်အဆင့် သို့ ဆက်သွားသည်။

ဆက်စပ်အကြောင်းအရာများ¶

ပြင်ပအားများ၏ ဗာကျူအလုပ်နှင့် အလုံးစုံညီမျှခြင်း စုစည်းမှု — ဖြေရှင်းရမည့် နွန်လိုင်းနီးယားညီမျှခြင်း ၏ စတင်ချက်
အတွင်းအား ဗာကျူအလုပ်၏ ဒစ်စကရက်တိုင်ဇေးရှင်း — \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{b}\) တည်ဆောက်ပုံ
ဂျီဩမေတြီ နယ်နိမိတ်အခြေအနေများကို ကိုင်တွယ်ခြင်း — ရွှေ့ပြောင်းမှုကန့်သတ်ချက် သက်ရောက်စေရန် တန်ဂျင့် တောင့်တင်းမှု မက်ထရစ် နှင့် ကျန်အားဗက်တာ ကို ပြင်ဆင်ခြင်း
ဆုံစည်းမှု စံနှုန်း — ကျန်အား နော်မ် ပေါ်အခြေခံသော ရပ်တန့်စံနှုန်း
တင်ဆာ သင်္ကေတရေးနည်းနှင့် သင်္ချာအခြေခံများ — ပစ္စည်းမက်ထရစ် \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) ၏ Voigt ကိုယ်စားပြုပုံ
နွန်လိုင်းနီးယား ထပ်ခါတွက်ချက်မှုနှင့် အချိန်အင်တီဂရေးရှင်း (လုပ်ဆောင်ချက်များ) — လုပ်ဆောင်ချက် ရည်ညွှန်းချက် ရှိ အသုံးပြုပုံနှင့် ရွေးချယ်ပုံ