ဒိုင်းနမစ် (Dynamic) ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု နည်းလမ်းများ¶

ဤအပိုင်းတွင် တိုက်ရိုက်အချိန်ပေါင်းစည်းနည်း (direct time integration method) ကို အသုံးပြုသည့် ဒိုင်းနမစ်ပြဿနာများ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု နည်းလမ်းများကို ဖော်ပြထားသည်။ အောက်တွင် သွယ်ဝှက်ဖြေရှင်းနည်း (implicit method) နှင့် ထင်ရှားဖြေရှင်းနည်း (explicit method) တို့၏ ဖော်မြူလာချမှတ်ချက်များကို ဖော်ပြထားသည်။

လှုပ်ရှားမှုညီမျှခြင်း၏ ခွဲခြမ်းသတ်မှတ်ခြင်း (ဘုံဘောင်)¶

TBD (နောက်အဆင့်တွင် အပြည့်အစုံ ရေးသားမည်)။

သွယ်ဝှက်ဖြေရှင်းနည်း (Newmark-β နည်း)¶

ဒိုင်းနမစ်ပြဿနာများကို ရည်မှန်း၍ အောက်ဖော်ပြပါ လှုပ်ရှားမှုညီမျှခြင်းကို ဖြေရှင်းရာတွင် တိုက်ရိုက်အချိန်ပေါင်းစည်းနည်းကို အသုံးပြုခဲ့သည်။

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

ဤနေရာတွင် \(M\) သည် ဒြပ်ထုမက်ထရစ် (mass matrix)၊ \(C\) သည် ဒမ်ပင်းမက်ထရစ် (damping matrix)၊ \(Q\) သည် အတွင်းအားဗက်တာ (internal force vector)၊ \(F\) သည် ပြင်ပအားဗက်တာ (external force vector) ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဒြပ်ထုမက်ထရစ်ကို မလိုင်နာ (nonlinear) ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုတွင်ပင် ပုံပျက်ခြင်း ဖြစ်ပါစေ တစ်သမတ်တည်း ထားသည်။

အချိန်တိုးပွားပမာဏ \(\Delta t\) အတွင်းရှိ အရွေ့၊ အလျင်နှင့် အရှိန်တို့၏ ပြောင်းလဲမှုကို Newmark-\(\beta\) နည်းဖြင့် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.2}\) နှင့် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.3}\) တွင် ပြထားသည့်အတိုင်း ခန့်မှန်းပြုလုပ်ထားသည်။

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

ဤတွင် \(\gamma\)，\(\beta\) တို့သည် Newmark-\(\beta\) နည်း၏ ပါရာမီတာများ ဖြစ်သည်။

လူသိများသည့်အတိုင်း \(\gamma\) နှင့် \(\beta\) တို့ကို အောက်ပါတန်ဖိုးများသို့ သတ်မှတ်ပါက လိုင်နာအရှိန်နည်း (linear acceleration method) သို့မဟုတ် ထရာပီဇွိုက်ဒယ်စည်းမျဉ်း (trapezoidal rule) နှင့် ကိုက်ညီသွားသည်။

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (လိုင်နာအရှိန်နည်း)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (ထရာပီဇွိုက်ဒယ်စည်းမျဉ်း)

ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.2}\) နှင့် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.3}\) တို့ကို ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.1}\) ထဲသို့ အစားထိုးပါက အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

အထူးသဖြင့် လိုင်နာပြဿနာများအတွက် \(K_L\) ကို လိုင်နာတောင့်တင်းမှုမက်ထရစ် (linear stiffness matrix) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) ဖြစ်ပြီး၊ ဤညီမျှခြင်းကို အထက်ပါညီမျှခြင်းထဲသို့ အစားထိုးပါက အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

မှတ်သားရန်၊ ဂျီဩမေတြီနယ်နိမိတ်အခြေအနေ (geometric boundary condition) အနေဖြင့် အရှိန်ကို သတ်မှတ်ထားသည့် နေရာများတွင် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.2}\) မှတစ်ဆင့် အောက်ပါအရွေ့ကို ရရှိသည်။

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

ထိုနည်းတူစွာ အလျင်ကို သတ်မှတ်ထားသည့် နေရာများတွင် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.6}\) မှတစ်ဆင့် အောက်ပါအရွေ့ကို ရရှိသည်။

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

ဤတွင် \(u_{is}(t+\Delta{t})\) သည် အချိန် \(t+\Delta{t}\) တွင်ရှိသော နိုဒ်အရွေ့ (nodal displacement)၊ \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) သည် အချိန် \(t+\Delta{t}\) တွင်ရှိသော နိုဒ်အလျင်၊ \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) သည် အချိန် \(t+\Delta{t}\) တွင်ရှိသော နိုဒ်အရှိန်၊ \(i\) သည် နိုဒ်၏ လွတ်လပ်မှုဒီဂရီနံပါတ်၊ \(s\) သည် နိုဒ်နံပါတ် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဒြပ်ထုပိုင်းနှင့် ဒမ်ပင်းပိုင်းတို့ကို ကိုင်တွယ်ပုံမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

ဒြပ်ထုပိုင်းကို ကိုင်တွယ်ခြင်း¶

ဒြပ်ထုမက်ထရစ်ကို မူလသတ်မှတ်ချက် (default) အရ စုစည်းဒြပ်ထုမက်ထရစ် (lumped mass matrix) အဖြစ် ကိုင်တွယ်သည်။ သွယ်ဝှက်ဖြေရှင်းနည်းတွင် !DYNAMIC ၏ idx_mas ဖြင့် ကိုက်ညီဒြပ်ထုမက်ထရစ် (consistent mass matrix) ကို ရွေးချယ်နိုင်သည်။ ထင်ရှားဖြေရှင်းနည်းသည် စုစည်းဒြပ်ထုမက်ထရစ်ကို အခြေခံထားသည်။

ဒမ်ပင်းပိုင်းကို ကိုင်တွယ်ခြင်း¶

ဒမ်ပင်းပိုင်းနှင့် ပတ်သက်၍မူ ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.8}\) ဖြင့် ဖော်ပြထားသော Rayleigh ဒမ်ပင်းအဖြစ် ကိုင်တွယ်ထားသည်။

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

ဤတွင် \(R_m\)၊ \(R_k\) တို့သည် Rayleigh ဒမ်ပင်း၏ ပါရာမီတာများ ဖြစ်သည်။

!DYNAMIC ကတ်တွင် သတ်မှတ်သော \(R_m\)၊ \(R_k\) တို့ကို မော်ဒယ်တစ်ခုလုံးသို့ တစ်ပုံစံတည်း အသုံးချသည်။ ပစ္စည်း (material) တစ်ခုချင်းစီအတွက် ကွဲပြားသော \(R_m\)၊ \(R_k\) တန်ဖိုးများ ပေးလိုပါက ထိုပစ္စည်း၏ !MATERIAL ဘလောက်အတွင်းတွင် !DAMPING ကတ်ကို သတ်မှတ်ပါ။ !DAMPING သတ်မှတ်ထားသော ပစ္စည်းတွင် ပါဝင်သည့် အီလီမန် (element) များသည် ထိုအီလီမန်၏ ဒြပ်ထုမက်ထရစ် \(M_i\) နှင့် တင်ဂျင့်တောင့်တင်းမှုမက်ထရစ် \(K_i\) (tangent stiffness matrix) တို့မှ \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) အဖြစ် အီလီမန် ဒမ်ပင်းမက်ထရစ်ကို တွက်ချက်ပြီး ဂလိုဘယ် (global) ဒမ်ပင်းမက်ထရစ်ထဲသို့ ထည့်သွင်းသည်။ ဤလုပ်ဆောင်ချက်သည် သွယ်ဝှက်ဖြေရှင်းနည်းတွင်သာ အသုံးဝင်သည်။

ထင်ရှားဖြေရှင်းနည်း (အလယ်ကွာခြားနည်း)¶

ထင်ရှားဖြေရှင်းနည်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချိန် t ရှိ လှုပ်ရှားမှုညီမျှခြင်းကို အခြေပြုသည်။

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

ဤတွင် အချိန် \(t + \Delta t\) နှင့် အချိန် \(t - \Delta t\) တို့ရှိ အရွေ့များကို အချိန် \(t\) ရှိ Taylor တိုးချဲ့ခြင်းဖြင့် ဖော်ပြပြီး၊ \(\Delta t\) နှင့် ဆိုင်သော ဒုတိယအဆင့်ကိန်းလုံးအထိ ယူပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.3}\) နှင့် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.4}\) တို့၏ ကွာခြားလဒ် (difference) နှင့် ပေါင်းလဒ် (sum) တို့မှ အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.12}\) နှင့် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.13}\) တို့ကို ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.9}\) ထဲသို့ အစားထိုးပါက အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

အထူးသဖြင့် လိုင်နာပြဿနာများအတွက် \(Q(t) = K_L U(t)\) ဖြစ်ပြီး၊ အထက်ပါညီမျှခြင်းသည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

ဤတွင် ဒြပ်ထုမက်ထရစ် \(M\) ကို စုစည်းဒြပ်ထုမက်ထရစ်အဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဒမ်ပင်းမက်ထရစ်ကို အချိုးကျဒမ်ပင်းမက်ထရစ် \(C = R_m M\) ကဲ့သို့လည်းကောင်း ထားသည့်အခါ၊ ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.15}\) သည် တစ်ပြိုင်တည်း ညီမျှခြင်းများ (simultaneous equations) ကို ဖြေရှင်းသည့် လုပ်ဆောင်ချက်ကို မလိုအပ်တော့ဘဲ ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.15}\) မှ \(U(t+\Delta t)\) ကို အောက်ပါညီမျှခြင်းဖြင့် ရှာယူနိုင်သည်။

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

ဆက်စပ်အကြောင်းအရာများ¶

解析タイプ — ဒိုင်းနမစ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု၏ လုပ်ဆောင်နိုင်စွမ်းအကြဉာနှင့် နည်းလမ်းရွေးချယ်ပုံ
参考文献