အကြောင်းအရာသို့ ကရန်

ဒိုင်နမစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု နည်းလမ်းများ

ဤအပိုင်းတွင် တိုက်ရိုက်အချိန်ပေါင်းစည်းနည်းကို အသုံးပြုသော ဒိုင်နမစ်ပြဿနာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုနည်းလမ်းကို ဖော်ပြသည်။ အောက်တွင် အင်ပလစ်စစ်နည်းနှင့် အက်စ်ပလစ်စစ်နည်းတို့၏ ဖော်မြူလာဖွဲ့စည်းပုံကို ပြထားသည်။

လှုပ်ရှားမှုညီမျှခြင်း၏ ဒစ်စကရစ်တိုင်ဇေးရှင်း (ဘုံမူဘောင်)

TBD (နောက်အဆင့်တွင် စာသားဖြည့်မည်)။

အင်ပလစ်စစ်နည်းလမ်း (Newmark-β နည်းလမ်း)

ဒိုင်နမစ်ပြဿနာအတွက် အောက်ပါ လှုပ်ရှားမှုညီမျှခြင်းကို ဖြေရှင်းရာတွင် တိုက်ရိုက်အချိန်ပေါင်းစည်းနည်းကို အသုံးပြုထားသည်။

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

ဤနေရာတွင် \(M\) သည် ဒြပ်ထုမက်ထရစ်၊ \(C\) သည် တုန်ခါမှုလျော့ချမက်ထရစ်၊ \(Q\) သည် အတွင်းအားဗက်တာနှင့် \(F\) သည် ပြင်ပအားဗက်တာ ဖြစ်သည်။ ဒြပ်ထုမက်ထရစ်ကို နွန်လိုင်းနီးယား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုတွင်လည်း ပုံပျက်မှုနှင့် မသက်ဆိုင်ဘဲ ကိန်းသေအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

အချိန်တိုးကာလ \(\Delta t\) အတွင်း ရွှေ့ပြောင်းမှု၊ အလျင်နှင့် အရှိန် ပြောင်းလဲမှုများကို Newmark-\(\beta\) နည်းလမ်းအသုံးပြု၍ ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.2}\) နှင့် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.3}\) တွင် ပြထားသည့်အတိုင်း ခန့်မှန်းသည်။

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

ဤနေရာတွင် \(\gamma\) နှင့် \(\beta\) သည် Newmark-\(\beta\) နည်းလမ်း၏ ပါရာမီတာများဖြစ်သည်။

လူသိများသည့်အတိုင်း \(\gamma\) နှင့် \(\beta\) ကို အောက်ပါတန်ဖိုးများထားပါက လိုင်းနီးယားအရှိန်နည်းလမ်း သို့မဟုတ် ထရပ်ပီဇိုက်စည်းမျဉ်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (လိုင်းနီးယားအရှိန် နည်းလမ်း)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (ထရပ်ပီဇွိုက် စည်းမျဉ်း)

ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.2}\) နှင့် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.3}\) ကို ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.1}\) တွင် အစားထိုးပါက အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရသည်။

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

အထူးသဖြင့် လိုင်းနီးယားပြဿနာအတွက် \(K_L\) ကို လိုင်းနီးယားတောင့်တင်းမှုမက်ထရစ်ဟုယူပြီး \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) ဖြစ်သဖြင့် ဤဆက်နွယ်မှုကို အထက်ပါညီမျှခြင်းတွင် အစားထိုးလျှင် အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရသည်။

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

ဂျီဩမေတြီ နယ်နိမိတ်အခြေအနေအဖြစ် အရှိန်သတ်မှတ်ထားသော နေရာများတွင် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.2}\) မှ အောက်ပါရွှေ့ပြောင်းမှုကို ရသည်။

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

အလားတူ အလျင်သတ်မှတ်ထားသော နေရာများတွင် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.6}\) မှ အောက်ပါရွှေ့ပြောင်းမှုကို ရသည်။

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

ဤနေရာတွင်၊ \(u_{is}(t+\Delta{t})\) သည် အချိန် \(t+\Delta{t}\) ရှိ နိုဒ်ရွှေ့ပြောင်းမှုဖြစ်ပြီး \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) သည် အချိန် \(t+\Delta{t}\) ရှိ နိုဒ်အလျင်ဖြစ်သည်။ \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) သည် အချိန် \(t+\Delta{t}\) ရှိ နိုဒ်အရှိန်၊ \(i\) သည် နိုဒ်လွတ်လပ်မှုဒီဂရီနံပါတ်နှင့် \(s\) သည် နိုဒ်နံပါတ် ဖြစ်သည်။ ဒြပ်ထုအပိုင်းနှင့် တုန်ခါမှုလျော့ချအပိုင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ကိုင်တွယ်သည်။

ဒြပ်ထုအပိုင်းကို ကိုင်တွယ်ပုံ

ဒြပ်ထုမက်ထရစ်ကို မူအားဖြင့် စုစည်းဒြပ်ထုမက်ထရစ်အဖြစ် ကိုင်တွယ်သည်။

တုန်ခါမှုလျော့ချအပိုင်းကို ကိုင်တွယ်ပုံ

တုန်ခါမှုလျော့ချအပိုင်းကို ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.8}\) ဖြင့် ဖော်ပြသော Rayleigh တုန်ခါမှုလျော့ချခြင်းအဖြစ် ကိုင်တွယ်သည်။

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

ဤနေရာတွင် \(R_m\) နှင့် \(R_k\) သည် Rayleigh တုန်ခါမှုလျော့ချခြင်း၏ ပါရာမီတာများဖြစ်သည်။

!DYNAMIC ကတ်တွင် သတ်မှတ်သော \(R_m\) နှင့် \(R_k\) ကို မော်ဒယ်တစ်ခုလုံးတွင် တူညီစွာ အသုံးပြုသည်။ ပစ္စည်းတစ်ခုချင်းစီအတွက် မတူညီသော \(R_m\) နှင့် \(R_k\) ပေးလိုပါက သက်ဆိုင်ရာပစ္စည်း၏ !MATERIAL ဘလောက်အတွင်း !DAMPING ကတ်ကို သတ်မှတ်သည်။ !DAMPING သတ်မှတ်ထားသောပစ္စည်းနှင့် သက်ဆိုင်သည့် အီလီမင့်များသည် ၎င်းတို့၏ ဒြပ်ထုမက်ထရစ် \(M_i\) နှင့် တန်ဂျင့်တောင့်တင်းမှုမက်ထရစ် \(K_i\) မှ \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) အဖြစ် အီလီမင့်တုန်ခါမှုလျော့ချမက်ထရစ်ကို တွက်ချက်ပြီး စနစ်တစ်ခုလုံး၏ တုန်ခါမှုလျော့ချမက်ထရစ်ထဲသို့ စုစည်းထည့်သွင်းသည်။ ဤလုပ်ဆောင်ချက်သည် အင်ပလစ်စစ်နည်းလမ်းတွင်သာ အကျိုးသက်ရောက်သည်။

အက်စ်ပလစ်စစ်နည်းလမ်း (ဗဟိုခြားနားချက်နည်းလမ်း)

အက်စ်ပလစ်စစ်နည်းလမ်းသည် အောက်တွင်ပြထားသော အချိန် t ရှိ လှုပ်ရှားမှုညီမျှခြင်းကို အခြေခံသည်။

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

ဤနေရာတွင် အချိန် \(t + \Delta t\) နှင့် အချိန် \(t - \Delta t\) ရှိ ရွှေ့ပြောင်းမှုကို အချိန် \(t\) အနီး Taylor ချဲ့ထွင်မှုဖြင့် ဖော်ပြပြီး \(\Delta t\) ၏ ဒုတိယအဆင့်အပိုင်းအထိ ယူလျှင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.3}\) နှင့် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.4}\) တို့၏ အနှုတ်နှင့် အပေါင်းမှ အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရသည်။

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.12}\) နှင့် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.13}\) ကို ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.9}\) တွင် အစားထိုးလျှင် အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရသည်။

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

အထူးသဖြင့် လိုင်းနီးယားပြဿနာအတွက် \(Q(t) = K_L U(t)\) ဖြစ်ပြီး အထက်ပါညီမျှခြင်းသည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

ဤနေရာတွင် ဒြပ်ထုမက်ထရစ် \(M\) ကို စုစည်းဒြပ်ထုမက်ထရစ်အဖြစ်၊ တုန်ခါမှုလျော့ချမက်ထရစ်ကို အချိုးကျတုန်ခါမှုလျော့ချမက်ထရစ် \(C = R_m M\) အဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.15}\) ကို ဖြေရှင်းရာတွင် တပြိုင်နက်ညီမျှခြင်းစနစ်ကို ဖြေရှင်းရန် မလိုအပ်တော့ပါ။

ထို့ကြောင့် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.5.15}\) မှ \(U(t+\Delta t)\) ကို အောက်ပါညီမျှခြင်းဖြင့် တွက်နိုင်သည်။

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

ဆက်စပ်အကြောင်းအရာများ