မုဒ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု¶

ယေဘုယျ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ပြဿနာ¶

စဉ်ဆက်မပြတ်အရာဝတ္ထု၏ လွတ်လပ်တုန်ခါမှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရာတွင် အာကာသအလိုက် အပိုင်းပိုင်းခွဲပြီး ပုံ 2.3.1 တွင် ပြထားသကဲ့သို့ စုစည်းဒြပ်ထုများပါသော လွတ်လပ်မှုဒီဂရီများစနစ်အဖြစ် မော်ဒယ် လုပ်သည်။ ဒမ်ပင်းမရှိသော လွတ်လပ်တုန်ခါမှု ပြဿနာအတွက် အုပ်ချုပ်ညီမျှခြင်း (လှုပ်ရှားမှုညီမျှခြင်း) သည် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

ဤနေရာတွင် $u$ သည် ယေဘုယျရွှေ့ပြောင်းမှုဗက်တာ၊ $M$ သည် ဒြပ်ထုမက်ထရစ်နှင့် $K$ သည် တောင့်တင်းမှုမက်ထရစ် ဖြစ်သည်။ သဘာဝထောင့်ကြိမ်နှုန်းကို $\omega$ ဟုထားပြီး၊ $a$ နှင့် $b$ ကို နှစ်ခုလုံးတစ်ပြိုင်နက် သုညမဖြစ်သော မည်သည့်ကိန်းသေများဟုလည်းကောင်း၊ $x$ ကို ဗက်တာဟုလည်းကောင်း ထား၍ ဖန်ရှင်

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

ကို သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ ဒုတိယဆင့် အနုဖြတ်သည်

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

ညီမျှခြင်း $\eqref{eq:2.3.2}$ နှင့် ညီမျှခြင်း $\eqref{eq:2.3.3}$ ကို ညီမျှခြင်း $\eqref{eq:2.3.1}$ ထဲသို့ အစားထိုးလျှင်

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။

သုညမဟုတ်သော တုန်ခါမှုအတွက် $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ သည် အမြဲတမ်း သုညဖြစ်နေခြင်းမဟုတ်သောကြောင့်

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

အထက်ပါဆက်နွယ်မှုကို ရရှိသည်။ ထို့နောက် $\lambda=\omega^2$ ဟုထားလျှင်

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။

ကိန်းမြှောက် $\lambda$ ကို ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး၊ ဗက်တာ $x$ ကို ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာဟု ခေါ်ပြီး၊ ညီမျှခြင်း $\eqref{eq:2.3.5}$ ဖြင့် ဖော်ပြသော ပြဿနာကို ယေဘုယျ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ပြဿနာဟု ခေါ်သည်။

ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး $\lambda=\omega^2$ မှ သဘာဝထောင့်ကြိမ်နှုန်း $\omega$ ကို ရရှိပြီး၊ သက်ဆိုင်ရာ ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ $x$ သည် မုဒ်ပုံသဏ္ဌာန်ကို ကိုယ်စားပြုသည်။

ဒမ်ပင်းမရှိသော လွတ်လပ်တုန်ခါမှုအတွက် လွတ်လပ်မှုဒီဂရီများစနစ် ဥပမာ

ပုံ 2.3.1 ဒမ်ပင်းမရှိသော လွတ်လပ်တုန်ခါမှုအတွက် လွတ်လပ်မှုဒီဂရီများစနစ် ဥပမာ

မက်ထရစ်ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ယူဆချက်များ¶

ယခင်အပိုင်းမှ ရရှိသော ယေဘုယျ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ပြဿနာ $Kx=\lambda Mx$ အတွက် ဤလက်စွဲတွင် သက်ဆိုင်ရာမက်ထရစ်များသည် အချိုးညီသည်ဟု ယူဆသည်။ ကွန်ပလက်စ်မက်ထရစ်တွင် ယင်းသည် Hermitian မက်ထရစ်နှင့်ညီမျှပြီး၊ အစစ်မက်ထရစ်တွင် အချိုးညီမက်ထရစ်နှင့်ညီမျှသည်။

မက်ထရစ် $K$ ၏ $ij$ အီလီမင့်ကို $k_{ij}$ ဟုထားလျှင် Hermitian ဂုဏ်သတ္တိကို

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

အထက်ပါညီမျှခြင်းဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် $\bar{k}_{ji}$ သည် $k_{ji}$ ၏ ကွန်ပလက်စ်ကွန်ဂျူဂိတ် ဖြစ်သည်။ အစစ်မက်ထရစ်အတွက် ဤဆက်နွယ်မှုသည် $k_{ij}=k_{ji}$ ဖြစ်လာသည်။

အစစ်အချိုးညီမက်ထရစ် $H$ သည် သုညမဟုတ်သော မည်သည့်ဗက်တာ $x$ အတွက်မဆို

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

အထက်ပါမညီမျှမှု မှန်ကန်ပါက အပေါင်းသတ်မှတ်ဟု ခေါ်သည်။ ထိုအခါ $H$ ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးအားလုံးသည် အပေါင်းဖြစ်သည်။

ဖွဲ့စည်းပုံဆိုင်ရာ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ပြဿနာတွင် ဒြပ်ထုမက်ထရစ် $M$ ကို ပုံမှန်အားဖြင့် အပေါင်းသတ်မှတ်အဖြစ် ကိုင်တွယ်သည်။ တောင့်တင်းမှုမက်ထရစ် $K$ သည် အကန့်အသတ်အခြေအနေများပေါ်မူတည်၍ အပေါင်းတစ်ပိုင်းသတ်မှတ် ဖြစ်နိုင်ပြီး၊ တောင့်တင်းကိုယ်ထည်မုဒ်များနှင့် သက်ဆိုင်သော သုညကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ ရှိနိုင်သည်။

ရွှေ့ထားသော ပြောင်းပြန်ထပ်ခါတွက်ချက်နည်း¶

ဖိုင်နိုက် အီလီမင့် နည်းလမ်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းပုံခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရာတွင် လက်တွေ့အားဖြင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးအားလုံးကို မလိုအပ်ဘဲ အဆင့်နိမ့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး အနည်းငယ်သာ လုံလောက်လေ့ရှိသည်။ HEC-MW သည် အရွယ်အစားကြီး ပြဿနာများအတွက် ရည်ရွယ်ထားသဖြင့် မက်ထရစ်များသည် အရွယ်အစားကြီးပြီး သုညအီလီမင့်များစွာပါသော အလွန်ကျဲမက်ထရစ်များ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဤဂုဏ်သတ္တိများကို ထည့်သွင်းစဉ်းစား၍ အဆင့်နိမ့်မုဒ်များ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများကို ထိရောက်စွာ တွက်ချက်ရန် အရေးကြီးသည်။

ရွှေ့တန်ဖိုးကို $\sigma$ ဟုထားသောအခါ $-\sigma$ သည် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးမဟုတ်ဘဲ $K+\sigma M$ သည် စင်ဂျူလာမဟုတ်ပါက ညီမျှခြင်း $\eqref{eq:2.3.5}$ ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြောင်းလဲနိုင်သည်။

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

ဤပြောင်းလဲမှုသည် ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ $x$ ကို မပြောင်းလဲစေဘဲ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး $\lambda$ ကို $1/(\lambda+\sigma)$ သို့ ပြောင်းပေးသည်။

ထို့ကြောင့် $\lambda$ သည် $-\sigma$ နှင့် နီးလေလေ၊ ပြောင်းလဲပြီးနောက် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး၏ ပကတိတန်ဖိုး ကြီးလေလေ ဖြစ်သည်။ ဖွဲ့စည်းပုံဆိုင်ရာ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ပြဿနာတွင် $\lambda \geq 0$ နှင့် $\sigma \geq 0$ ဖြစ်သဖြင့် အနိမ့်ဆုံးကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးသည် ပကတိတန်ဖိုးအကြီးဆုံး ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးသို့ ပြောင်းသွားသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုပြီး ပကတိတန်ဖိုးကြီးသော ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသို့ ဦးစွာပေါင်းဆုံလေ့ရှိသည့် ထပ်ခါတွက်ချက်နည်းကို ညီမျှခြင်း $\eqref{eq:2.3.8}$ တွင် အသုံးချခြင်းဖြင့် အဆင့်နိမ့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများကို အစဉ်လိုက် ထိရောက်စွာ ရှာနိုင်သည်။

ဤနည်းကို ရွှေ့ထားသော ပြောင်းပြန်ထပ်ခါတွက်ချက်နည်းဟု ခေါ်သည်။

အကန့်အသတ်အခြေအနေများရှိသော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုတွင် FrontISTR သည် $\sigma = 0$ ဟု သတ်မှတ်ပြီး၊ ညီမျှခြင်း $\eqref{eq:2.3.8}$ သည် $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$ ဖြစ်လာသည်။ ယင်းမှာ ရွှေ့တန်ဖိုးမပါသော ပြောင်းပြန်ထပ်ခါတွက်ချက်မှု ဖြစ်သည်။ အကန့်အသတ်အခြေအနေမရှိသော ဖရီး–ဖရီး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုတွင် $K$ သည် တောင့်တင်းကိုယ်ထည်မုဒ်များနှင့် သက်ဆိုင်သော သုညကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများရှိသဖြင့် စင်ဂျူလာဖြစ်သည်။ $\sigma$ ကို အပေါင်းတန်ဖိုးပေးခြင်းဖြင့် $K+\sigma M$ ကို စင်ဂျူလာမဟုတ်အောင် ပြုလုပ်သည်။ ဤအခါ $\sigma$ ၏ တန်ဖိုးကို !EIGEN အတွင်းရှိ SIGMA ဖြင့် သတ်မှတ်သည်။

Lanczos နည်းလမ်း¶

အသုံးပြုရသည့်အကြောင်းရင်း (Jacobi နည်းနှင့် နှိုင်းယှဉ်ခြင်း)¶

ရိုးရာနည်းများအနက် Jacobi နည်းကို လူသိများသည်။

ဤနည်းသည် မက်ထရစ်အရွယ်အစားသေးပြီး သိပ်သည်းမက်ထရစ်ဖြစ်သောအခါ ထိရောက်သည်။ သို့သော် HEC-MW က ကိုင်တွယ်သည့် မက်ထရစ်များသည် အရွယ်အစားကြီးပြီး ကျဲသောကြောင့် Jacobi နည်းကို မသုံးဘဲ Lanczos ထပ်ခါတွက်ချက်နည်းကို အသုံးပြုသည်။

အယ်လဂိုရီသမ်နှင့် လက္ခဏာများ¶

1950 ပြည့်နှစ်များတွင် C. Lanczos က အဆိုပြုခဲ့သော ဤနည်းသည် မက်ထရစ်ကို သုံးထောင့်ဖြတ်ပုံစံသို့ ပြောင်းသည့် အယ်လဂိုရီသမ်ဖြစ်ပြီး အောက်ပါလက္ခဏာများ ရှိသည်။

ထပ်ခါတွက်ချက်နည်းဖြစ်ပြီး မက်ထရစ်ကို ကျဲအဖြစ် ထိန်းထားလျက် တွက်ချက်နိုင်သည်။
လုပ်ဆောင်ချက်များသည် အဓိကအားဖြင့် မက်ထရစ်–ဗက်တာ မြှောက်ခြင်းများဖြစ်သဖြင့် အပြိုင်တွက်ချက်မှုအတွက် သင့်လျော်သည်။
ကန့်သတ်အီလီမင့်မက်ရှ်နှင့် ဆက်စပ်သော ဂျီဩမေတြီ ဒိုမိန်းခွဲခြမ်းခြင်းအတွက် သင့်လျော်သည်။
ရှာဖွေမည့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးအရေအတွက် သို့မဟုတ် မုဒ်အပိုင်းအခြားကို ကန့်သတ်ခြင်းဖြင့် ထိရောက်စွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။

Lanczos နည်းသည် ကနဦးဗက်တာမှ စတင်၍ ထောင့်မှန်ဗက်တာများကို အစဉ်လိုက် ဖန်တီးကာ Krylov အပိုင်းခွဲအာကာသ၏ အခြေခံဗက်တာစုကို ရရှိစေသည်။

ကန့်သတ်တိကျမှုရှိသော တွက်ချက်မှုတွင် ဂဏန်းလုံးချမှုအမှားကြောင့် ဗက်တာများ၏ ထောင့်မှန်ဖြစ်မှု ဆုံးရှုံးနိုင်သည်။ ဤသက်ရောက်မှုကို လျှော့ချရန် FrontISTR ၏ အကောင်အထည်ဖော်မှုတွင် ဗက်တာတစ်ခုစီကို ရရှိပြီးသား Lanczos အခြေခံဗက်တာများနှင့် ပြန်လည်ထောင့်မှန်ပြုသည်။

ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ဖော်ပြချက် (Krylov အပိုင်းခွဲအာကာသ)¶

ညီမျှခြင်း $\eqref{eq:2.3.8}$ တွင် အောက်ပါ ကိန်းရှင်ပြောင်းလဲမှုများကို အသုံးပြုလျှင်

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

ပြဿနာကို အောက်ပါအတိုင်း ပြန်ရေးနိုင်သည်။

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။

သုညမဟုတ်သော မည်သည့်ဗက်တာ $q_0$ အတွက်မဆို

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

ဤဗက်တာများ ဖြန့်ကျက်ဖွဲ့စည်းသော အာကာသကို

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov အပိုင်းခွဲအာကာသဟု ခေါ်သည်။

Lanczos နည်းသည် ဤ Krylov အပိုင်းခွဲအာကာသ၏ အခြေခံဗက်တာစုကို အစဉ်လိုက် တည်ဆောက်သည်။

FrontISTR သည် ဒြပ်ထုမက်ထရစ် $M$ နှင့် ဆက်စပ်သော အောက်ပါ အတွင်းမြှောက်လဒ်ကို အသုံးပြု၍

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

အခြေခံဗက်တာစုကို ထောင့်မှန်ယူနစ်အလျား ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်သည်။ အောက်ပါပုံများတွင် ပြထားသော အတွင်းမြှောက်လဒ် $\langle x,y\rangle$ နှင့် နော်မ် $\|x\|$ ကို FrontISTR ၏ တွက်ချက်မှုများတွင် ဤ $M$-အတွင်းမြှောက်လဒ်နှင့် သက်ဆိုင်ရာ $M$-နော်မ်အဖြစ်

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

အသီးသီး အဓိပ္ပာယ်ဖော်သည်။

မည်သည့်ဗက်တာ $q_0$ ကိုမဆို မက်ထရစ် $A$ ဖြင့် သတ်မှတ်သော မျဉ်းဖြောင့်ပြောင်းလဲမှု ပြုလုပ်သည်။ ပုံ 2.3.2 တွင် ကြည့်ပါ။

$မက်ထရစ် $A$ ဖြင့် $q_0$ ၏ မျဉ်းဖြောင့်ပြောင်းလဲမှု$

ပုံ 2.3.2 မက်ထရစ် $A$ ဖြင့် $q_0$ ၏ မျဉ်းဖြောင့်ပြောင်းလဲမှု

ပြောင်းလဲထားသော ဗက်တာကို မူလဗက်တာနှင့်အတူ ဖြန့်ကျက်ဖွဲ့စည်းသော အာကာသအတွင်း ထောင့်မှန်ပြုသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ပုံ 2.3.3 တွင် ပြထားသကဲ့သို့ Gram-Schmidt ထောင့်မှန်ပြုခြင်းကို လုပ်ဆောင်သည်။ ရရှိသောဗက်တာကို $r_1$ ဟုထားပြီး ယင်းကို ယူနစ်အလျားဖြစ်အောင် ပုံမှန်ပြု၍ $q_1$ ကို ရရှိသည်။

$q_0\) နှင့် ထောင့်မှန်ဖြစ်သော ဗက်တာ \(q_1$

ပုံ 2.3.3 $q_0$ နှင့် ထောင့်မှန်ဖြစ်သော ဗက်တာ $q_1$

တူညီသောနည်းလမ်းဖြင့် $q_1$ မှ $q_2$ ကို ရရှိသည်။ ဤအခါ $q_2$ သည် $q_1$ နှင့် $q_0$ နှစ်ခုစလုံးနှင့် ထောင့်မှန်ဖြစ်သည်။ ပုံ 2.3.4 တွင် ကြည့်ပါ။

$q_1\) နှင့် $q_0$ တို့နှင့် ထောင့်မှန်ဖြစ်သော ဗက်တာ \(q_2$

ပုံ 2.3.4 $q_1$ နှင့် $q_0$ တို့နှင့် ထောင့်မှန်ဖြစ်သော ဗက်တာ $q_2$

ဤနည်းဖြင့် Lanczos နည်းသည် Krylov အပိုင်းခွဲအာကာသ၏ ထောင့်မှန်ယူနစ်အလျား အခြေခံဗက်တာစုကို အစဉ်လိုက် တည်ဆောက်သည်။ သီအိုရီအရ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ပြဿနာ၏ အချိုးညီမှုကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် ဤထပ်ခါတွက်ချက်မှုကို နောက်ဆုံးရ အခြေခံဗက်တာများပါဝင်သော သုံးချက်ပြန်လည်ဆက်စပ်ညီမျှခြင်းအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။

သို့သော် FrontISTR ၏ အကောင်အထည်ဖော်မှုတွင် ကန့်သတ်တိကျမှုရှိသော တွက်ချက်မှုကြောင့် ထောင့်မှန်ဖြစ်မှု ဆုံးရှုံးခြင်းကို လျှော့ချရန် ဗက်တာတစ်ခုစီကို ရရှိပြီးသား Lanczos အခြေခံဗက်တာများနှင့် $M$-အတွင်းမြှောက်လဒ်ဖြင့် ပြန်လည်ထောင့်မှန်ပြုသည်။

သုံးထောင့်ဖြတ်မက်ထရစ်ပြုလုပ်ခြင်း¶

FrontISTR ၏ Lanczos ထပ်ခါတွက်ချက်မှုတွင် ယခင်အပိုင်း၌ ဖော်ပြခဲ့သော $M$-အတွင်းမြှောက်လဒ်နှင့်အညီ အခြေခံဗက်တာများကို ထောင့်မှန်ယူနစ်အလျား ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ထားသဖြင့်

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

အထက်ပါဆက်နွယ်မှု မှန်ကန်သည်။

ညီမျှခြင်း $\eqref{eq:2.3.10}$ မှ မက်ထရစ် $A$ ကို အသုံးပြုလျှင် သီအိုရီဆိုင်ရာ Lanczos ထပ်ခါတွက်ချက်မှုသည်

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

အထက်ပါ သုံးချက်ပြန်လည်ဆက်စပ်ညီမျှခြင်းဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။

ပထမဦးစွာ $\alpha_i$ ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

ထို့နောက် ယာယီအကြွင်းကို

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

အထက်တွင် ပြထားသည့်အတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

ကန့်သတ်တိကျမှုရှိသော တွက်ချက်မှုကြောင့် ထောင့်မှန်ဖြစ်မှု ဆုံးရှုံးခြင်းကို လျှော့ချရန် FrontISTR ၏ အကောင်အထည်ဖော်မှုတွင် $\tilde{r}_{i+1}$ ကို ရရှိပြီးသား Lanczos အခြေခံဗက်တာများနှင့် $M$-အတွင်းမြှောက်လဒ်ဖြင့် ပြန်လည်ထောင့်မှန်ပြုသည်။ ပြန်လည်ထောင့်မှန်ပြုပြီးနောက် အကြွင်းကို $r_{i+1}$ ဟုထားလျှင်

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

အထက်ပါဆက်နွယ်မှုများကို ရရှိသည်။

Lanczos ထပ်ခါတွက်ချက်မှုမှ ရရှိသော အခြေခံဗက်တာ $m$ ခုကို

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

ဟု စုစည်းထားလျှင် ကန့်သတ်အကြိမ် Lanczos ထပ်ခါတွက်ချက်မှုအပြီးတွင်

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

အထက်ပါဆက်နွယ်မှု မှန်ကန်သည်။

ဤနေရာတွင် $e_m$ သည် $m$ ခုမြောက် အစိတ်အပိုင်းသာ 1 ဖြစ်သော $m$ အတိုင်းအတာရှိ ယူနစ်ဗက်တာဖြစ်ပြီး

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

သည် အချိုးညီ သုံးထောင့်ဖြတ်မက်ထရစ် ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် သုံးထောင့်ဖြတ်မက်ထရစ် $T_m$ ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများကို တွက်ချက်ခြင်းဖြင့် မူလအရွယ်အစားကြီး ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ပြဿနာ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများကို ခန့်မှန်းနိုင်သည်။

ဆက်စပ်အကြောင်းအရာများ¶

ကြိမ်နှုန်းတုံ့ပြန်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု — မုဒ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု ရလဒ်များကို အသုံးပြုသော ကြိမ်နှုန်းတုံ့ပြန်မှု
ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုအမျိုးအစားများ — မုဒ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု၏ လုပ်ဆောင်ချက်အကျဉ်းချုပ်