အကြောင်းအရာသို့ ကရန်

ကြိမ်နှုန်းတုံ့ပြန်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု

ပြဿနာ သတ်မှတ်ချက်

ကြိမ်နှုန်းတုံ့ပြန်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု သည် ပြင်ပအား အချိန်အလိုက် ဟာမိုနစ် ပြောင်းလဲသည့်အခါ တည်ငြိမ်-အခြေအနေ ရှိ စနစ် ၏ တုံ့ပြန်မှု အမ်ပလီကျု နှင့် ဖေ့စ် ကို ကြိမ်နှုန်း ဒိုမိန်း တွင် အကဲဖြတ်သည့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု ဖြစ်သည်။ တုန်ခါမှုလျော့ချမှု မရှိသောအခြေအနေနှင့် တုန်ခါမှုလျော့ချမှု ပါသောအခြေအနေတွင် အုပ်ချုပ်ညီမျှခြင်း မူဘောင် မတူသဖြင့် ဤအခန်းတွင် ပထမဦးစွာ ဒမ်ပင်းမရှိသော လွတ်လပ်တုန်ခါမှု မှ အိုင်ဂင်မုဒ် များကို ရယူပြီး ၎င်းတို့ကို မုဒ် အခြေခံ အဖြစ် အသုံးပြုကာ တုန်ခါမှုလျော့ချမှု ပါသော ဟာမိုနစ် တုံ့ပြန်မှု ကို တည်ဆောက်သည်။

ဒမ်ပင်းမရှိသော လွတ်လပ်တုန်ခါမှု နှင့် အိုင်ဂင်မုဒ်

တုန်ခါမှုလျော့ချမှု ကို မစဉ်းစားသည့်အခါ လှုပ်ရှားမှု ညီမျှခြင်း သည် အောက်ပါ ညီမျှခြင်း အတိုင်း ဖြစ်သည်။

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

၎င်းကို အိုင်ဂင်မုဒ် တစ်ခုစီအလိုက် ချဲ့ထွင်လျှင်၊

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.6.1}\) တွင် အစားထိုးလျှင်၊

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

ကို ရသည်။ ဤ အထွေထွေပြု ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ပြဿနာ ၏ ကိန်းဂဏန်း ဖြေရှင်းချက် (ရွှေ့ထားသော ပြောင်းပြန် ထပ်ခါတလဲလဲတွက်ချက်မှု နှင့် Lanczos နည်းလမ်း) ကို မုဒ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု တွင် ကိုင်တွယ်သည်။ ဤအပိုင်းတွင် ရရှိသော သဘာဝကြိမ်နှုန်း နှင့် အိုင်ဂင်မုဒ် များထဲမှ နောက်ပိုင်း ဟာမိုနစ် တုံ့ပြန်မှု ချဲ့ထွင်မှု တွင် အသုံးပြုမည့် ဂုဏ်သတ္တိ များကို စုစည်းထားသည်။

သဘာဝကြိမ်နှုန်း ၏ အစစ်ပိုင်း-တန်ဖိုးရှိသော ဂုဏ်သတ္တိ

ဤ သဘာဝကြိမ်နှုန်း သည် အစစ်ပိုင်း နံပါတ် ဖြစ်ကြောင်း အောက်ပါအတိုင်း သက်သေပြသည်။ \(\omega_j^2 = \lambda_j\) ဟုထားပြီး ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.6.3}\) ၏ ရှုပ်ထွေးကိန်း တွဲဖက် ကို ယူလျှင် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.6.4}\) ကို ရသည်။

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

၎င်းကို \(\overline{U}_J^T\) ဖြင့် မြှောက်လျှင်၊

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

ကို ရသည်။ ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.6.5}\) မှ၊

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် ဒြပ်ထု မက်ထရစ် သည် အပေါင်းတန်ဖိုးသာရှိသော အချိုးညီ ဖြစ်သောကြောင့် သုည ဗက်တာ မဟုတ်သည့် ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ အတွက်

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

မှန်ကန်သည်။ ထို့ကြောင့်၊

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

ဖြစ်ပြီး \(\omega_j^2 = \lambda_j\) သည် အစစ်ပိုင်း နံပါတ် ဖြစ်သည်။

အိုင်ဂင်မုဒ် များ၏ ထောင့်မှန်ဖြစ်မှု နှင့် ပုံမှန်ပြုခြင်း

ဤနေရာတွင် မတူညီသော မုဒ် ၂ ခုကို စဉ်းစားသည်။

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

ဤမှ၊

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

ကို ရပြီး ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး မတူပါက၊

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ မတူညီသော အိုင်ဂင်မုဒ် များသည် ဒြပ်ထု မက်ထရစ် အပေါ် ထောင့်မှန် ဖြစ်သည်။ တူညီသော မုဒ် အတွက် ဒြပ်ထု မက်ထရစ် နှင့် ဆက်စပ်၍ ပုံမှန်ပြု လုပ်ခြင်း (ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.6.12}\)) ဖြင့် ကိုင်တွယ်ရ ပိုလွယ်ကူသည်။

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

ဟာမိုနစ် တုံ့ပြန်မှု ပါဝင်သော တုန်ခါမှုလျော့ချမှု

နောက်တစ်ဆင့်တွင် တုန်ခါမှုလျော့ချမှု ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားသော ကြိမ်နှုန်းတုံ့ပြန်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု ၏ ဖော်မြူလာဖွဲ့စည်းပုံ ကို ဖော်ပြသည်။ အုပ်ချုပ်လှုပ်ရှားမှု ညီမျှခြင်း ကို ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.6.13}\) တွင် ပြထားသည်။

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

ဤနေရာရှိ တုန်ခါမှုလျော့ချမှု အပိုင်း ကို Rayleigh အမျိုးအစား ဟု ယူဆပြီး \(\eqref{eq:2.6.14}\) အတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

မုဒ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု မှ ရရှိသော ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ များဖြင့် ရွှေ့ပြောင်းမှု ဗက်တာ ကို အချိန် t တွင် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.6.15}\) အတိုင်း ချဲ့ထွင်နိုင်သည်။

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

ဤအခါ ပြင်ပအား အပိုင်း သည် ဟာမိုနစ် တုန်ခါစနစ် ဖော်ပြချက်

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

ဖြစ်သည့်အခါ \(b_{j}(t)\) ကို ဆုံးဖြတ်သည်။ လှုပ်ရှားမှု ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.6.13}\) သည် အတင်းအကျပ်တုန်ခါမှု ပုံစံဖြစ်သောကြောင့်

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

မှန်ကန်သည်။ \(b_{j}(t)\) ၏ ချဲ့ထွင်မှု ကိန်း အစစ်ပိုင်း အပိုင်း နှင့် အင်မဂျင်နရီ အပိုင်း ကို တွက်လျှင် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.6.18}i\) နှင့် ညီမျှခြင်း \(\eqref{eq:2.6.19}\) ပုံစံ ရသည်။

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

ဖြစ်သည်။

ဆက်စပ်အကြောင်းအရာများ