Ikke-lineær iterasjon og tidsintegrasjon¶

FrontISTR fører løsningen fremover ved å kombinere ikke-lineære iterasjoner og tidsintegrasjon i hvert delsteg innenfor inkrementkontrollen for hvert steg. Denne siden beskriver iterasjonsstrukturene mellom den ytre stegkontrollen og den indre lineære løseren: Newton-Raphson-iterasjoner, kontaktiterasjoner, tidsintegrasjon for dynamisk analyse samt rammeverket for tidsfremføring og ikke-lineær iterasjon i transient varmeledning.

Funksjonsoversikt¶

Ikke-lineær løsning og tidsintegrasjon innenfor et steg har en nestet struktur med flere løkker fra ytterst til innerst. Hvert lag har følgende rolle.

Hvilke av disse lagene som forekommer, avhenger av analysetypen.

Se Kontakt og innbygging for hvordan selve kontakttypen og algoritmen velges. Denne siden beskriver hvordan den valgte algoritmen organiseres som en iterasjonsløkke.

Valg av løsningsopplegg¶

Iterasjonsstrukturen bestemmes automatisk av den valgte analysetypen (Analysetyper), om ikke-linearitet forekommer (geometrisk ikke-linearitet, materialikke-linearitet eller kontakt), og kontaktalgoritmen (SLAGRANGE eller ALAGRANGE). Det brukeren justerer direkte, er øvre grenser for antall iterasjoner og konvergenskriteriene.

Følgende retningslinjer gjelder ved justering.

• For standardanalyser er standardverdien for øvre grense på antall iterasjoner vanligvis tilstrekkelig. Hvis et problem som er vanskelig å konvergere når maksimalt antall iterasjoner uten konvergens, bruk først cutback (Trinnstyring); øk grensen bare hvis dette ikke forbedrer konvergensen.
• Juster konvergenskriteriene for å balansere analysestabilitet og beregningstid. Strengere kriterier øker nøyaktigheten i likevekten, men øker antall iterasjoner. I kontaktanalyser og analyser med Lagrange-multiplikatorer kan stabiliteten forbedres ved å kombinere kriteriet for residual med kriterier for forskyvningsinkrement eller Lagrange-multiplikator.
• For tidsintegrasjonsparametrene i dynamisk analyse (Newmark-β-koeffisientene) bør man starte med en standard kombinasjon av verdier og justere dem når de numeriske dempingsegenskapene til vibrasjonsresponsen skal endres.
• For tidsintegrasjon i transient varmeledning brukes Crank-Nicolson for problemer med jevne temperaturendringer, og Backward Euler når brå endringer eller langvarig stabilitet er viktigere.

Newton-Raphson-iterasjon i statisk analyse¶

I ikke-lineær statisk analyse løses likevektsligninger som inneholder geometrisk ikke-linearitet eller materialikke-linearitet iterativt med Newton-Raphson-metoden. Hver iterasjon går gjennom følgende trinn.

1. Evaluer residualvektoren \(\boldsymbol{R}\) for den gjeldende løsningen.
2. Sammenstill tangentstivhetsmatrisen \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Løs det lineære systemet \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) for å finne forskyvningskorreksjonen \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Oppdater løsningen som \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Sammenlign med konvergenskriteriene. Hvis konvergens er oppnådd, avsluttes iterasjonen; ellers gå tilbake til trinn 1.

Det lineære systemet (trinn 3) løses av den lineære løseren. Se Løser og prekondisjonering for valg av løser og prekondisjonering.

Iterasjonen styres med stegkontrollparametrene i !STEP. De viktigste kontrollverdiene er som følger.

Det maksimale antallet Newton-iterasjoner som brukes ved beslutninger om automatisk inkrement og cutback i Trinnstyring, betyr antallet Newton-iterasjoner som beskrives på denne siden. Automatisk inkrementkontroll øker tidsinkrementet etter et delsteg som konvergerte med få iterasjoner, og reduserer det etter et delsteg som krevde mange iterasjoner.

Kontaktiterasjon i statisk analyse¶

I kontaktanalyse endres kontakttilstanden under iterasjonen på grunn av kontakt, separasjon og glidning på kontaktflatene. Newton-iterasjonen kombineres derfor med oppdatering av kontakttilstanden. Strukturen avhenger av kontaktløsningsalgoritmen.

Begge algoritmene har en løkke for søk etter kontakttilstand ytterst. I hver gjennomgang av denne løkken revurderes kontakttilstanden (kontakt/separasjon) etter at den indre Newton-iterasjonen har konvergert. Hvis tilstanden har endret seg, oppdateres strukturen til stivhetsmatrisen og den indre iterasjonen kjøres på nytt. Løkken avsluttes når kontakttilstanden er uendret fra forrige gjennomgang og konvergenskriteriene for kontakt (kriterier for kontaktkraft og Lagrange-multiplikator) er oppfylt. Øvre grense for antall gjennomganger angis med MAXCONTITER i !STEP.

Ved SLAGRANGE-kontakt innlemmes kontaktfrihetsgradene i det lineære systemet med den vanlige Lagrange-multiplikatormetoden. Dette gir en tolagsstruktur der Newton-iterasjonen ligger direkte innenfor løkken for søk etter kontakttilstand. Ingen iterasjon med utvidet Lagrange inngår.

Ved ALAGRANGE-kontakt legges en iterasjon med utvidet Lagrange innenfor løkken for søk etter kontakttilstand, og Newton-iterasjonen utføres innenfor denne igjen. Resultatet er en trelagsstruktur. Ved hver iterasjon med utvidet Lagrange revurderes kontaktbetingelsen med en kombinasjon av straffeledd og Lagrange-multiplikator, slik at nøyaktigheten til betingelsen forbedres trinnvis. Øvre grense for antall iterasjoner med utvidet Lagrange angis med AUGITER i !CONTACT_ALGO.

Kontrollverdiene for kontaktiterasjon er som følger.

Antallet kontaktiterasjoner som brukes ved vurdering av automatisk inkrement i Trinnstyring, betyr antallet iterasjoner som beskrives på denne siden, inkludert oppdatering av kontakttilstanden. Analyser der kontakt og separasjon oppstår ofte, har en tendens til å kreve flere kontaktiterasjoner, noe som også påvirker beslutninger om automatisk inkrement og cutback. Se Kontakt og innbygging for selve kontakttypene, pardefinisjonene og valg av algoritme. Se Løser og prekondisjonering for hvordan det lineære systemet med kontaktfrihetsgrader løses.

Tidsintegrasjon i dynamisk analyse (implisitt metode)¶

Den implisitte metoden for dynamisk analyse bruker Newmark-β-metoden til å knytte sammen forskyvning, hastighet og akselerasjon ved neste tidspunkt i hvert tidssteg, og kombinerer disse relasjonene med bevegelsesligningen for å bestemme tilstanden ved tiden \(t + \Delta t\). Stabilitetsbegrensningen på tidssteget \(\Delta t\) er mild, slik at strukturelle responser dominert av lavfrekvente komponenter kan løses effektivt.

Følgende 2 tidsintegrasjonsparametere brukes.

Kombinasjonen \(\beta = 1/4\) og \(\gamma = 1/2\) kalles gjennomsnittsakselerasjonsmetoden og er et standardvalg som er ubetinget stabilt og uten numerisk demping. Hvis numerisk demping skal innføres, velges \(\gamma\) større enn \(1/2\). Se teorihåndboken for matematiske detaljer om parameterkombinasjoner, stabilitet og feilegenskaper.

Når analysen inneholder ikke-linearitet (geometrisk ikke-linearitet, materialikke-linearitet eller kontakt), utføres Newton-iterasjon innenfor hvert tidssteg. Det lineære systemet løses innenfor iterasjonen, og tilstanden oppdateres. Som konvergenskriterier brukes CONVERG og relaterte verdier som er felles med statisk analyse. I dynamisk analyse med kontakt innlemmes den samme iterasjonsstrukturen som i Kontaktiterasjon i statisk analyse i hvert tidssteg.

Tidssteget i dynamisk analyse styres primært av tidsbetingelsene i !STEP. Ved faste inkrementer angir !STEP DTIME som tidssteg og ETIME som stegets tidslengde. Verdiene n_step og t_delta i !DYNAMIC behandles som standardverdier når !STEP utelates og av hensyn til bakoverkompatibilitet. I den ikke-lineære implisitte metoden kan automatiske inkrementer og cutback aktiveres i !STEP med INC_TYPE=AUTO, slik at tidssteget økes eller reduseres etter tilstanden til Newton- og kontaktiterasjonene. Enten faste eller automatiske inkrementer brukes, bør tidssteget settes med både konvergens og nødvendig nøyaktighet i mente.

Tidsintegrasjon i dynamisk analyse (eksplisitt metode)¶

Den eksplisitte metoden for dynamisk analyse bruker sentraldifferansemetoden til å beregne tilstanden ved neste tidspunkt direkte fra informasjonen om forskyvning, hastighet og akselerasjon ved forrige tidspunkt. Siden det ikke løses noe simultant ligningssystem, er beregningskostnaden per 1 steg lav. Selv når ikke-linearitet inngår, består hvert tidssteg av en ett-trinns oppdatering uten Newton-iterasjon.

Tidssteget har en øvre grense som bestemmes av en stabilitetsbetingelse basert på systemets minste egenperiode (CFL-betingelsen). Et tidssteg over denne grensen gjør at den numeriske løsningen divergerer, så det er ikke mulig å bruke store tidssteg slik som med den implisitte metoden. Den eksplisitte metoden er gunstig for fenomener som støt, bølgeutbredelse og høyhastighetskontakt, der små tidssteg uansett er nødvendige.

Når kontakt inngår, behandles kontaktbetingelsene med Forward Increment Lagrange-metoden. Kontaktkreftene evalueres på en måte som er konsistent med ett-trinnsoppdateringen i den eksplisitte metoden.

Løsningsmetode for frekvensresponsanalyse¶

Frekvensresponsanalyse bestemmer den periodiske stasjonære responsen direkte i frekvensdomenet med modalsuperposisjonsmetoden. Responsen evalueres mens eksitasjonsfrekvensen varieres, og det er ikke nødvendig å følge en tidshistorikk iterativt. Verken ikke-lineære iterasjoner eller tidsintegrasjon utføres.

Før frekvensresponsanalyse kan utføres, må det gjennomføres en modalanalyse for det samme systemet, og det nødvendige antallet egenmoder må være hentet ut. Bare lineære modeller støttes; analysen kan ikke kjøres når geometrisk eller materialmessig ikke-linearitet er aktivert. Se Analysetyper for plasseringen av denne analysetypen.

Tidsfremføring og ikke-lineær iterasjon i transient varmeledning¶

Transient varmeledning har sin egen tidsløkke som er fullstendig definert i !HEAT. Tidssteget styres gjennom en annen mekanisme enn !STEP og !AUTOINC_PARAM for strukturanalyse, og når materialegenskapene avhenger av temperaturen, utføres ikke-lineær iterasjon innenfor hvert tidssteg.

Tidsintegrasjonsskjemaet velges med parameteren \(\beta\) i !HEAT.

Tidssteget styres adaptivt ved å kombinere innledende tidssteg, minste tidssteg og maksimal temperaturendring per 1 steg. Hvis temperaturendringen etter beregningen i et tidssteg overskrider DELTMX, reduseres tidssteget og steget beregnes på nytt. Analysen avbrytes hvis tidssteget blir mindre enn minimumstidssteget DTMIN.

Når materialegenskapene avhenger av temperaturen, utføres ikke-lineær iterasjon innenfor hvert tidssteg. Iterasjonen styres som følger.

Ved stasjonær varmeledning brukes ingen tidssteg; bare ikke-lineær iterasjon utføres når materialegenskapene avhenger av temperaturen. Siden tidskontrollen for varmeledningsanalysen er uavhengig av !STEP for strukturanalyse, må innstillingene i !HEAT kontrolleres når tidssteget justeres.

Relaterte emner¶

• Analysetyper — plassering av hver analysetype.
• Kontakt og innbygging — valg av kontakttyper, pardefinisjoner og løsningsalgoritmer.
• Løser og prekondisjonering — løsning av de lineære simultanligningene som kalles innenfor Newton-iterasjonen.
• Trinnstyring — ytre steg-/delstegskontroll og automatiske inkrementer/cutback.
• Newton-Raphson-metoden (teori) — formulering av den iterative løsningsmetoden.
• Konvergenskriterier (teori) — matematiske definisjoner av konvergensindikatorer.
• Dynamiske analysemetoder (teori) — formulering av Newmark-β-metoden og sentraldifferansemetoden.
• Transient varmeledningsanalyse (teori) — formulering av tidsintegrasjon for varmeledning.
• Kontaktanalyse (teori) — formulering av Lagrange-multiplikatormetoden.
• Nøkkelordreferanse: !STEP,!CONTACT_ALGO,!DYNAMIC,!HEAT.