Gå til innhold

Kontaktanalyse

Når to legemer kommer i kontakt, overføres en kontaktkraft \(t_c\) gjennom kontaktflaten. Prinsippet om virtuelt arbeid skrives om som følger.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}v}\,^{t'} \sigma : \delta^{t'} A_{(L)} d^{t'}v = \int^{t'}_{^{t'}S_{t}}\,^{t'} \overline{t} \cdot \delta u d^{t'}s+ \int^{t'}_{V} \overline{b} \cdot \delta u d^{t'}v + \int^{t'}_{^{t'} S _{c}}t_{c}[\delta u^{(1)} - u^{(2)}] \label{eq:2.2.70} \end{equation}\]

Her betegner \(S_c\) kontaktarealet, mens \(u^{(1)}\) og \(u^{(2)}\) betegner forskyvningene til henholdsvis kontaktlegeme 1 og kontaktlegeme 2.

I kontaktanalyse angis flater som kan komme i kontakt, som et par. Den ene flaten i paret betegnes som masterflate og den andre som slaveflate. I denne master-slave-metoden antas følgende kontaktbetingelser.

  1. En slavenode trenger ikke gjennom masterflaten.
  2. Når kontakt oppstår, befinner slavenoden seg i kontaktposisjonen, og master- og slaveflaten overfører kontaktkraft og friksjonskraft til hverandre gjennom dette kontaktpunktet.

Ved å diskretisere det siste leddet i ligning \(\eqref{eq:2.2.70}\) med elementmetoden fås følgende ligning.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}S_{c}} t_c [\delta u^{(1)} - \delta u^{(2)}] \approx \delta UK_c \Delta U + \delta UF_c \label{eq:2.2.71} \end{equation}\]

Her betegner \(K_c\) og \(F_c\) henholdsvis kontaktstivhetsmatrisen og kontaktkraften. Elementformuleringene for total Lagrange-metoden og updated Lagrange-metoden med kontaktbetingelser blir som følger.

\[\begin{equation} \delta U^T ( ^t_0 K_L + ^t_0 K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_0^{t'} F} - \partial U^T {^t_0 Q} + \delta UF_c \label{eq:2.2.72} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta U^T (^t_t K_L + ^t_t K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_{t} ^{t'} F} - \partial U^T {^t_t Q}+ \delta UF_c \label{eq:2.2.73} \end{equation}\]

Relaterte emner