Gå til innhold

Translation update pending

The Norwegian Bokmål translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Numerisk integrasjon

Elementets indre kraftvektorer \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) og elementets stivhetsmatrise \(\boldsymbol{K}^e\), som ble utledet i Diskretisering av virtuelt indre arbeid og Virtuelt arbeid fra ytre krefter og sammenstilling av de globale ligningene, har form av integraler over elementområdet \(\Omega^e\) eller \(\Omega^e_0\). FrontISTR evaluerer disse numerisk med Gauss-kvadratur.

Gauss-kvadratur og variabelskifte

Gauss-kvadratur approksimerer et integral over referanseområdet \(\Xi\) med en lineær kombinasjon av integrandverdiene i integrasjonspunktene \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) og vektene \(w_i\). Anvendelse på elementområdet \(\Omega^e\) innebærer et variabelskifte via avbildningen \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), slik at

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

der \(n_q\) er antall integrasjonspunkter og \(J_{\xi_i}\) er determinanten til transformasjons-Jacobianen. Referanseområdet \(\Xi\) defineres for hver elementtype (for et heksaeder er det \([-1,1]^3\); for trekanter, tetraedre og kiler brukes de tilsvarende referanseformene), og integrasjonspunktene \(\boldsymbol{\xi}_i\) og vektene \(w_i\) gis som numeriske tabeller. Flateintegraler behandles på samme måte ved å avbilde en elementflate fra et todimensjonalt referanseområde.

Representative antall integrasjonspunkter som brukes av FrontISTR, vises nedenfor (se Elementnummereringssystem og bibliotek for formfunksjoner for sammenhengen med elementtypene).

Elementtype Kvadraturregel Antall integrasjonspunkter
4-knuters tetraeder (tet4n) 1-punktsregel 1
10-knuters tetraeder (tet10n) 4-punktsregel 4
6-knuters trekantprisme (prism6n) 2-punktsregel 2
15-knuters trekantprisme (prism15n) 9-punktsregel 9
8-knuters heksaeder (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20-knuters heksaeder (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4-knuters firkant (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8-knuters firkant (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3-knuters trekant (tri3n) 1-punktsregel 1
6-knuters trekant (tri6n) 3-punktsregel 3

For heksaeder-, firkant- og linjeelementer brukes tensorprodukter av Gauss-Legendre-regelen i hver koordinatretning. Trekanter, tetraedre og trekantprismer bruker egne regler tilpasset simpleksgeometrier (punktplasseringer som integrerer polynomer eksakt over selve trekanten).

Anvendelse på elementintegrasjon

Ved elementintegrasjon brukes de naturlige koordinatene \(\boldsymbol{r}\) som koordinater i referanseområdet (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), og avbildningen til fysiske koordinater gis ved interpolasjon av knutepunktskoordinatene med formfunksjonene. Avhengig av valg av referansekonfigurasjon (Rammeverk for inkrementell analyse) brukes følgende formuleringer.

Total Lagrange-metoden (integrasjon over referansekonfigurasjonen \(\Omega^e_0\)): Avbildningen og Jacobianen er

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

og elementets indre kraft og stivhetsmatrise approksimeres som

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Alle \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) evalueres i integrasjonspunktet \(\boldsymbol{r}_i\).

Updated Lagrange-metoden (integrasjon over den gjeldende konfigurasjonen \(\Omega^e\)): Avbildningen og Jacobianen er

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

og

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

brukes som approksimasjoner.

Den eneste forskjellen mellom de to formuleringene er om knutepunktskoordinatene som gis til avbildningen, er \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) eller \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integrasjonspunktene, vektene og strukturen til løkken over integrasjonspunktene er felles.

Full integrasjon og redusert integrasjon

Integrasjon som bruker tilstrekkelig mange integrasjonspunkter til å integrere integrandens polynomgrad eksakt, kalles full integrasjon, mens integrasjon med ett nivå færre integrasjonspunkter kalles redusert integrasjon. Redusert integrasjon brukes for å redusere skjær- og volumlåsing, men krever håndtering av kunstige deformasjonsmoder som timeglassmoder. Antall integrasjonspunkter for hver elementtype og valget mellom full og redusert integrasjon behandles i Elementnummereringssystem og bibliotek for formfunksjoner og påfølgende avsnitt samt i Avanserte elementformuleringer.

Relaterte emner