Gå til innhold

Tensornotasjon og matematisk grunnlag

Dette kapitlet samler reglene for tensornotasjon, indeksnotasjon og Voigt-notasjon som brukes i de etterfølgende kapitlene i FrontISTR-teorimanualen. Her beskrives bare rene notasjonsregler som ikke avhenger av definisjonen av en bestemt fysisk størrelse. Notasjonsregler som avhenger av konfigurasjonen i kontinuumsbevegelsen (referansekonfigurasjon/gjeldende konfigurasjon), som bruk av store og små bokstaver og skillet mellom materielle og romlige deriverte, behandles i Bevegelse, deformasjon og tøyning, der konfigurasjonsbegrepet introduseres.

Tensornotasjon

Fet skrift for vektorer og tensorer

Som hovedregel for skrift brukes normal skrift for skalarer og komponenter av vektorer og tensorer (for eksempel \(\rho\) og \(x_i\)), mens selve vektor- og tensorstørrelsene skrives med fet skrift (for eksempel \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) og \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einsteins summasjonskonvensjon

Med mindre annet er uttrykkelig angitt, brukes Einsteins summasjonskonvensjon: dersom samme indeks forekommer to ganger i samme ledd, summeres det over denne indeksen. For eksempel

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

og \(i,j\)-komponenten av produktet \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) av tensorene \(\boldsymbol{A}\) og \(\boldsymbol{B}\) er

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Som indekskonvensjon betyr \(i, j, k, l, \ldots\), når de brukes som indekser uten nærmere angivelse, indekser knyttet til frihetsgrader (\(1, 2, 3\) i tre dimensjoner), mens greske små bokstaver \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) som indekser betegner elementets konstituerende noder.

Indre produkt, transponering og tensorprodukt

Den transponerte av tensoren \(\boldsymbol{A}\) skrives \(\boldsymbol{A}^T\). Det indre produktet (dobbel kontraksjon) av andreordens tensorene \(\boldsymbol{A}\) og \(\boldsymbol{B}\) skrives

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Det indre produktet av vektorene \(\boldsymbol{a}\) og \(\boldsymbol{b}\) er \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), og tensorproduktet er \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt-notasjon

Spenning og tøyning er symmetriske andreordens tensorer med hensyn til frihetsgradene, og koeffisienten som uttrykker den lineære relasjonen mellom dem, er en fjerdeordens tensor. Å håndtere dette direkte i et program er ugunstig både med hensyn til beregningsmengde og programmering (flerdimensjonale arrayer og dypt nestede løkker). I vanlige FEM-programmer utnyttes derfor symmetrien slik at spenning og tøyning komprimeres til kolonnevektorer, mens den fjerdeordens elastisitetstensoren komprimeres til en todimensjonal matrise. Dette kalles Voigt-notasjon.

I det følgende betegnes matrise-/vektorrepresentasjonen av tensorstørrelsen \(\boldsymbol{A}\) med \(\hat{A}\) for å skille den fra den opprinnelige tensoren.

Vektorrepresentasjon av spenning og tøyning

For den symmetriske spenningstensoren \(\boldsymbol{\sigma}\) og tøyningstensoren \(\boldsymbol{\varepsilon}\) brukes i to dimensjoner

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

og i tre dimensjoner

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

som kolonnevektorer. Den samme regelen brukes også på avledede størrelser som variasjoner og deriverte. Merk at skjærkomponentene på tøyningssiden har faktoren 2 (mens spenningssiden ikke har det). Denne asymmetrien gjør at tensorens indre produkt kan skrives kompakt som et vektorprodukt:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

I implementasjonen er det lett å blande sammen faktoren 2 for skjærtøyningskomponentene, så konvensjonen «ingen faktor for spenning / faktor 2 for tøyning» må alltid holdes klart for øye. Nøyaktig samme Voigt-konvensjon brukes også for størrelser i referansekonfigurasjonen (andre Piola-Kirchhoff-spenning \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-tøyning \(\boldsymbol{E}\)).

Matriserepresentasjon av en fjerdeordens tensor

For den lineære relasjonen mellom spenning og tøyning \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (komponentvis \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), kan symmetrien til \(\boldsymbol{\varepsilon}\) brukes til å omskrive uttrykket som

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

I tre dimensjoner kan \(\tilde{C}\) ordnes som en 6×6-materialmatrise \(\hat{\tilde{C}}\), og den opprinnelige tensorrelasjonen blir da

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

I resten av denne manualen betegnes materialmatrisen med \(D\) (eller \(\hat{C}\)), med mindre annet er angitt. Se Lineær elastisitet for de konkrete komponentene ved isotrop lineær elastisitet.

Konvensjoner for differensialoperatorer

Symmetrisk gradientoperator

Den symmetriske gradientoperatoren \(\nabla_S\) for vektorfeltet \(\boldsymbol{u}\) defineres som

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Komponentvis er \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Tøyningen ved små deformasjoner, \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\), kan uttrykkes kompakt med denne operatoren. Skillet mellom hvilken konfigurasjon (referanse/gjeldende) gradienten tas i ved endelige deformasjoner, behandles i Bevegelse, deformasjon og tøyning.

Materiell tidsderivert

Den materielle tidsderiverte av en størrelse \(A\) (tidsderivert når man følger samme materialpunkt) betegnes med en prikk over symbolet, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Hastighet og akselerasjon følger denne konvensjonen.

Relaterte emner