Translation update pending
The Norwegian Bokmål translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.
Liste over symboler for fysiske størrelser¶
Denne siden viser symbolene for fysiske størrelser som brukes i FrontISTR-teorimanualen. For notasjonssregler (fet skrift for vektorer og tensorer, Einsteins summekonvensjon og Voigt-notasjon), se Tensornotasjon og matematisk grunnlag.
Konfigurasjoner og koordinatsystemer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\boldsymbol{X}\) | Posisjonsvektor for et materialpunkt i referansekonfigurasjonen (initialkonfigurasjonen) (materialkoordinater) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Posisjonsvektor for et materialpunkt i gjeldende konfigurasjon (romkoordinater) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Bevegelsesavbildning: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Området som legemet opptar i referansekonfigurasjonen |
| \(\Omega\) | Området som legemet opptar i gjeldende konfigurasjon |
| \(\Gamma_0\) | Randen til \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Randen til \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrisk (forskyvnings-)rand: rand i gjeldende/referansekonfigurasjon der \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) er foreskrevet |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mekanisk rand: rand i gjeldende/referansekonfigurasjon der \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (eller \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) er foreskrevet |
| \(\boldsymbol{n}\) | Utadrettet enhetsnormalvektor til en flate i gjeldende konfigurasjon |
| \(\boldsymbol{N}\) | Utadrettet enhetsnormalvektor til en flate i referansekonfigurasjonen |
| \(t\) | Tid |
Konvensjon: Fysiske størrelser i referansekonfigurasjonen betegnes med store bokstaver eller senket indeks \(0\), mens størrelser i gjeldende konfigurasjon betegnes med små bokstaver.
Tid og inkrementer (inkrementell analyse)¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\Delta t\) | Tidsinkrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fysisk størrelse ved tidspunkt \(t\) (venstrestilt hevet indeks). Eksempel: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) er Cauchy-spenningen ved tidspunkt \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Område for gjeldende konfigurasjon ved tidspunkt \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Rand for gjeldende konfigurasjon ved tidspunkt \(t\) |
Konvensjon: I inkrementell analyse behandles tilstanden frem til tidspunkt \(t\) som kjent, og tilstanden ved tidspunkt \(t + \Delta t\) løses som ukjent. Den venstrestilte hevede indeksen utelates når tidspunktet ikke trenger å angis eksplisitt. En formulering som bruker referansekonfigurasjonen \(\Omega_0\) som referanse, kalles Total Lagrange-formulering, mens en formulering som bruker gjeldende konfigurasjon \(^{t}\Omega\) ved starten av inkrementet som referanse, kalles Updated Lagrange-formulering.
Forskyvning, hastighet, akselerasjon og volumkraft¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\boldsymbol{u}\) | Forskyvningsvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Forskyvning foreskrevet på den geometriske randen \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuell forskyvning (testfunksjon): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) på \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Hastighetsvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Akselerasjonsvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Volumkraft (per masseenhet) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Traksjonsvektor (per arealenhet): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Traksjon foreskrevet på den mekaniske randen \(\Gamma_t\) (Neumann-data) |
Differensialoperatorer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiell tidsderivert (tidsderivert som følger samme materialpunkt): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradient i referansekonfigurasjonen (gradient med hensyn på materialkoordinatene \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradient i gjeldende konfigurasjon (gradient med hensyn på romkoordinatene \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Symmetrisk gradientoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Merknad: \(\nabla_X\) og \(\nabla_x\) er relatert ved \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). En gradient uten senket indeks, \(\nabla\), brukes når konfigurasjonen fremgår av sammenhengen, eller når skillet forsvinner, som ved små deformasjoner.
Deformasjonstensorer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\boldsymbol{F}\) | Deformasjonsgradienttensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Volumforhold: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Høyre Cauchy-Green-deformasjonstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Venstre Cauchy-Green-deformasjonstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Hastighetsgradienttensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Deformasjonshastighetstensor (symmetrisk del av \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Spinntensor (antisymmetrisk del av \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Tøyningstensorer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange-tøyningstensor (referansekonfigurasjon): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi-tøyningstensor (gjeldende konfigurasjon): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Lineær del av Almansi-tøyningstensoren (symmetrisk forskyvningsgradient i gjeldende konfigurasjon): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitesimal tøyningstensor (lineær approksimasjon): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Merknad: \(\boldsymbol{E}\) brukes hovedsakelig i Total Lagrange-formuleringen, mens \(\boldsymbol{D}\) brukes hovedsakelig i Updated Lagrange-formuleringen.
Spenningstensorer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy-spenningstensor (sann spenning, gjeldende konfigurasjon): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Første Piola-Kirchhoff-spenningstensor (nominell spenning): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Andre Piola-Kirchhoff-spenningstensor (referansekonfigurasjon, symmetrisk): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Omregningsrelasjoner mellom spenningstensorene:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konvensjon: Total Lagrange-formuleringen bruker paret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), mens Updated Lagrange-formuleringen bruker paret \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Tetthet og masse¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\rho\) | Massetetthet i gjeldende konfigurasjon |
| \(\rho_0\) | Massetetthet i referansekonfigurasjonen |
Massebevaring: \(\rho_0 = J\rho\).
Materialkonstanter (lineær elastisitet)¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(E\) | Youngs modul |
| \(\nu\) | Poissons tall |
| \(\lambda\) | Første Lamé-konstant: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Andre Lamé-konstant (skjærmodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elastisitetstensor (fjerde orden): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponenter \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (eller \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materialmatrise (Voigt-notasjon, \(6\times6\) i 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Komponenter i elastisitetstensoren for et isotropt lineært elastisk materiale:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hyperelastiske materialer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Elastisk potensialfunksjon (tøyningsenergitetsfunksjon) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Hovedinvarianter til høyre Cauchy-Green-tensor \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Reduserte invarianter av \(\boldsymbol{C}\) (volumendringen er separert) |
| \(C_1, C_2\) | Materialkonstanter for Mooney-Rivlin-modellen |
| \(D\) | Materialkonstant knyttet til volumelastisitet |
Elastoplastiske materialer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastisk komponent av deformasjonshastighetstensoren |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastisk komponent av deformasjonshastighetstensoren |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Flytefunksjon |
| \(\kappa\) | Intern variabel som representerer den plastiske tilstanden (isotrop herdingsvariabel) |
| \(\lambda^p\) | Plastisk multiplikator (multiplikator for plastisk tøyningshastighet): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastisk potensial (\(\Theta = F\) for en assosiert flyteregel) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ekvivalentspenning (f.eks. von Mises-spenning) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ekvivalent plastisk tøyning |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Isotrop herdingsfunksjon |
Komplementaritetsbetingelse: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Elementmetoden¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Områder i gjeldende og referansekonfigurasjon approksimert ved endelig-element-diskretisering: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elementområde i gjeldende og referansekonfigurasjon |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Del av elementranden som tilhører den mekaniske randen |
| \(\boldsymbol{r}\) | Naturlige koordinater (elementlokale koordinater) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punkt i naturlige koordinater som svarer til node \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Formfunksjon som svarer til node \(\alpha\) i element \(e\) |
| \(n_e\) | Antall noder som utgjør et element |
| \(n_g\) | Totalt antall globale noder |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Koordinater og forskyvning for elementnode \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vektorer for elementnodekoordinater og -forskyvninger: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), osv. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globale vektorer for nodekoordinater og -forskyvninger (ordnet etter nodenummer og deretter frihetsgrad) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Tøynings-forskyvningsmatrise (B-matrise) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Formfunksjonsmatrise: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) er en \(d \times d\)-blokk med formfunksjonen \(N_\alpha^e\) for node \(\alpha\) på diagonalen, og \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elementstivhetsmatrise |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrander i elementstivhetsmatrisen (uttrykt i referanse- og gjeldende konfigurasjon): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulering), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulering) | Elementets indre kraftvektor |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Ytre nodekraft som virker på elementnode \(\alpha\), og elementets vektor for ytre nodekrefter: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Global indre kraftvektor og global ytre kraftvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); tilsvarende for \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Indre nodekraft og ytre nodekraft ved global node \(i_g\) (nodeblokker i \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Global tangentstivhetsmatrise: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrise dannet ved å plassere \(3\times 3\)-blokken \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) i rad \(i_g\), kolonne \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Residualvektor i Newton-Raphson-iterasjon: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korreksjon i Newton-Raphson-iterasjonen (oppnådd ved å løse den lineære ligningen \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) ved iterasjon \(i\)) |
| \(i_g\) | Globalt nodenummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Globalt nodenummer som svarer til lokalt nodenummer \(\alpha\) i element \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Mengde av \((e, \alpha)\)-par som svarer til globalt nodenummer \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Brukes ved sammenstilling |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Mengde av \((e, \alpha, \beta)\)-tupler som svarer til paret av globale nodenumre \((i_g, i_h)\); brukes ved sammenstilling av stivhetsmatrisen |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indekser for noder som utgjør et element |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indekser for frihetsgrader (\(1, 2, 3\) i 3D) |
Avanserte elementer og strukturelementer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Tøynings-forskyvningsmatrise der volumdelen er modifisert med B-bar-metoden (volumkomponenten erstattes av B-matrisen evaluert i elementsenteret) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Deformasjonsgradient der volumdelen er modifisert med F-bar-metoden: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Volumforhold for deformasjonsgradienten evaluert i elementsenteret \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Intern frihetsgradsvektor for et element med inkompatibel modus (koeffisienter for ekstra forskyvningsmodi som ikke sikrer kontinuitet på elementranden) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Formfunksjoner for inkompatible modi: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Tykkelse på skallelement |
| \(A\) | Tverrsnittsareal for et bjelkeelement |
| \(I\) | Andre arealmoment for tverrsnittet til et bjelkeelement (skrevet \(I_y\) og \(I_z\) om de lokale \(y\)- og \(z\)-aksene) |
| \(G\) | Skjærmodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
| \(L\) | Elementlengde for et bjelkeelement |
| \(A_s\) | Skjærareal for tverrsnittet til et bjelkeelement (FrontISTR bruker \(A_s = A\)) |
| \(\Phi_y, \Phi_z\) | Koeffisienter som uttrykker bidraget fra skjærdeformasjon i en Timoshenko-bjelke: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\) |
Relaterte emner¶
- Tensornotasjon og matematisk grunnlag — Regler for fet skrift, Einsteins summekonvensjon og Voigt-notasjon
- Bevegelse, deformasjon og tøyning — Definisjoner av konfigurasjoner, deformasjonsgradient og tøyning
- Bevegelse, deformasjon og tøyning — Utledning av de styrende ligningene
- Lineær elastisitet — Eksplisitte komponenter i materialmatrisen \(D\)