Liste over symboler for fysiske størrelser
Denne siden viser symbolene for fysiske størrelser som brukes i FrontISTR-teorimanualen. For notasjonssregler (fet skrift for vektorer og tensorer, Einsteins summekonvensjon og Voigt-notasjon), se Tensornotasjon og matematisk grunnlag.
Konfigurasjoner og koordinatsystemer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\boldsymbol{X}\) | Posisjonsvektor for et materialpunkt i referansekonfigurasjonen (initialkonfigurasjonen) (materialkoordinater) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Posisjonsvektor for et materialpunkt i gjeldende konfigurasjon (romkoordinater) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Bevegelsesavbildning: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Området som legemet opptar i referansekonfigurasjonen |
| \(\Omega\) | Området som legemet opptar i gjeldende konfigurasjon |
| \(\Gamma_0\) | Randen til \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Randen til \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrisk (forskyvnings-)rand: rand i gjeldende/referansekonfigurasjon der \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) er foreskrevet |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mekanisk rand: rand i gjeldende/referansekonfigurasjon der \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (eller \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) er foreskrevet |
| \(\boldsymbol{n}\) | Utadrettet enhetsnormalvektor til en flate i gjeldende konfigurasjon |
| \(\boldsymbol{N}\) | Utadrettet enhetsnormalvektor til en flate i referansekonfigurasjonen |
| \(t\) | Tid |
Konvensjon: Fysiske størrelser i referansekonfigurasjonen betegnes med store bokstaver eller senket indeks \(0\), mens størrelser i gjeldende konfigurasjon betegnes med små bokstaver.
Tid og inkrementer (inkrementell analyse)
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\Delta t\) | Tidsinkrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fysisk størrelse ved tidspunkt \(t\) (venstrestilt hevet indeks). Eksempel: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) er Cauchy-spenningen ved tidspunkt \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Område for gjeldende konfigurasjon ved tidspunkt \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Rand for gjeldende konfigurasjon ved tidspunkt \(t\) |
Konvensjon: I inkrementell analyse behandles tilstanden frem til tidspunkt \(t\) som kjent, og tilstanden ved tidspunkt \(t + \Delta t\) løses som ukjent. Den venstrestilte hevede indeksen utelates når tidspunktet ikke trenger å angis eksplisitt. En formulering som bruker referansekonfigurasjonen \(\Omega_0\) som referanse, kalles Total Lagrange-formulering, mens en formulering som bruker gjeldende konfigurasjon \(^{t}\Omega\) ved starten av inkrementet som referanse, kalles Updated Lagrange-formulering.
Forskyvning, hastighet, akselerasjon og volumkraft
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\boldsymbol{u}\) | Forskyvningsvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Forskyvning foreskrevet på den geometriske randen \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuell forskyvning (testfunksjon): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) på \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Hastighetsvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Akselerasjonsvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Volumkraft (per masseenhet) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Traksjonsvektor (per arealenhet): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Traksjon foreskrevet på den mekaniske randen \(\Gamma_t\) (Neumann-data) |
Differensialoperatorer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiell tidsderivert (tidsderivert som følger samme materialpunkt): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradient i referansekonfigurasjonen (gradient med hensyn på materialkoordinatene \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradient i gjeldende konfigurasjon (gradient med hensyn på romkoordinatene \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Symmetrisk gradientoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Merknad: \(\nabla_X\) og \(\nabla_x\) er relatert ved \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). En gradient uten senket indeks, \(\nabla\), brukes når konfigurasjonen fremgår av sammenhengen, eller når skillet forsvinner, som ved små deformasjoner.
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\boldsymbol{F}\) | Deformasjonsgradienttensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Volumforhold: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Høyre Cauchy-Green-deformasjonstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Venstre Cauchy-Green-deformasjonstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Hastighetsgradienttensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Deformasjonshastighetstensor (symmetrisk del av \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Spinntensor (antisymmetrisk del av \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Tøyningstensorer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange-tøyningstensor (referansekonfigurasjon): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi-tøyningstensor (gjeldende konfigurasjon): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Lineær del av Almansi-tøyningstensoren (symmetrisk forskyvningsgradient i gjeldende konfigurasjon): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitesimal tøyningstensor (lineær approksimasjon): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Merknad: \(\boldsymbol{E}\) brukes hovedsakelig i Total Lagrange-formuleringen, mens \(\boldsymbol{D}\) brukes hovedsakelig i Updated Lagrange-formuleringen.
Spenningstensorer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy-spenningstensor (sann spenning, gjeldende konfigurasjon): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Første Piola-Kirchhoff-spenningstensor (nominell spenning): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Andre Piola-Kirchhoff-spenningstensor (referansekonfigurasjon, symmetrisk): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Omregningsrelasjoner mellom spenningstensorene:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konvensjon: Total Lagrange-formuleringen bruker paret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), mens Updated Lagrange-formuleringen bruker paret \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Tetthet og masse
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\rho\) | Massetetthet i gjeldende konfigurasjon |
| \(\rho_0\) | Massetetthet i referansekonfigurasjonen |
Massebevaring: \(\rho_0 = J\rho\).
Materialkonstanter (lineær elastisitet)
| Symbol | Beskrivelse |
| \(E\) | Youngs modul |
| \(\nu\) | Poissons tall |
| \(\lambda\) | Første Lamé-konstant: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Andre Lamé-konstant (skjærmodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elastisitetstensor (fjerde orden): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponenter \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (eller \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materialmatrise (Voigt-notasjon, \(6\times6\) i 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Komponenter i elastisitetstensoren for et isotropt lineært elastisk materiale:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hyperelastiske materialer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Elastisk potensialfunksjon (tøyningsenergitetsfunksjon) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Hovedinvarianter til høyre Cauchy-Green-tensor \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Reduserte invarianter av \(\boldsymbol{C}\) (volumendringen er separert) |
| \(C_1, C_2\) | Materialkonstanter for Mooney-Rivlin-modellen |
| \(D\) | Materialkonstant knyttet til volumelastisitet |
Elastoplastiske materialer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastisk komponent av deformasjonshastighetstensoren |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastisk komponent av deformasjonshastighetstensoren |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Flytefunksjon |
| \(\kappa\) | Intern variabel som representerer den plastiske tilstanden (isotrop herdingsvariabel) |
| \(\lambda^p\) | Plastisk multiplikator (multiplikator for plastisk tøyningshastighet): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastisk potensial (\(\Theta = F\) for en assosiert flyteregel) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ekvivalentspenning (f.eks. von Mises-spenning) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ekvivalent plastisk tøyning |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Isotrop herdingsfunksjon |
Komplementaritetsbetingelse: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Elementmetoden
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Områder i gjeldende og referansekonfigurasjon approksimert ved endelig-element-diskretisering: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elementområde i gjeldende og referansekonfigurasjon |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Del av elementranden som tilhører den mekaniske randen |
| \(\boldsymbol{r}\) | Naturlige koordinater (elementlokale koordinater) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punkt i naturlige koordinater som svarer til node \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Formfunksjon som svarer til node \(\alpha\) i element \(e\) |
| \(n_e\) | Antall noder som utgjør et element |
| \(n_g\) | Totalt antall globale noder |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Koordinater og forskyvning for elementnode \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vektorer for elementnodekoordinater og -forskyvninger: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), osv. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globale vektorer for nodekoordinater og -forskyvninger (ordnet etter nodenummer og deretter frihetsgrad) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Tøynings-forskyvningsmatrise (B-matrise) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Formfunksjonsmatrise: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) er en \(d \times d\)-blokk med formfunksjonen \(N_\alpha^e\) for node \(\alpha\) på diagonalen, og \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elementstivhetsmatrise |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrander i elementstivhetsmatrisen (uttrykt i referanse- og gjeldende konfigurasjon): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulering), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulering) | Elementets indre kraftvektor |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Ytre nodekraft som virker på elementnode \(\alpha\), og elementets vektor for ytre nodekrefter: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Global indre kraftvektor og global ytre kraftvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); tilsvarende for \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Indre nodekraft og ytre nodekraft ved global node \(i_g\) (nodeblokker i \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Global tangentstivhetsmatrise: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrise dannet ved å plassere \(3\times 3\)-blokken \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) i rad \(i_g\), kolonne \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Residualvektor i Newton-Raphson-iterasjon: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korreksjon i Newton-Raphson-iterasjonen (oppnådd ved å løse den lineære ligningen \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) ved iterasjon \(i\)) |
| \(i_g\) | Globalt nodenummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Globalt nodenummer som svarer til lokalt nodenummer \(\alpha\) i element \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Mengde av \((e, \alpha)\)-par som svarer til globalt nodenummer \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Brukes ved sammenstilling |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Mengde av \((e, \alpha, \beta)\)-tupler som svarer til paret av globale nodenumre \((i_g, i_h)\); brukes ved sammenstilling av stivhetsmatrisen |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indekser for noder som utgjør et element |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indekser for frihetsgrader (\(1, 2, 3\) i 3D) |
Avanserte elementer og strukturelementer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Tøynings-forskyvningsmatrise der volumdelen er modifisert med B-bar-metoden (volumkomponenten erstattes av B-matrisen evaluert i elementsenteret) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Deformasjonsgradient der volumdelen er modifisert med F-bar-metoden: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Volumforhold for deformasjonsgradienten evaluert i elementsenteret \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Intern frihetsgradsvektor for et element med inkompatibel modus (koeffisienter for ekstra forskyvningsmodi som ikke sikrer kontinuitet på elementranden) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Formfunksjoner for inkompatible modi: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Tykkelse på skallelement |
| \(A\) | Tverrsnittsareal for et bjelkeelement |
| \(I\) | Andre arealmoment for tverrsnittet til et bjelkeelement (skrevet \(I_y\) og \(I_z\) om de lokale \(y\)- og \(z\)-aksene) |
| \(G\) | Skjærmodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
| \(L\) | Elementlengde for et bjelkeelement |
| \(A_s\) | Skjærareal for tverrsnittet til et bjelkeelement (FrontISTR bruker \(A_s = A\)) |
| \(\Phi_y, \Phi_z\) | Koeffisienter som uttrykker bidraget fra skjærdeformasjon i en Timoshenko-bjelke: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\) |
Relaterte emner