Gå til innhold

Dynamiske analysemetoder

Dette avsnittet beskriver analysemetoder for dynamiske problemer ved bruk av direkte tidsintegrasjon. Formuleringene for implisitt og eksplisitt metode vises nedenfor.

Diskretisering av bevegelsesligningen (felles rammeverk)

TBD (skal ferdigstilles i neste fase).

Implisitt metode (Newmark-β-metoden)

For dynamiske problemer brukes direkte tidsintegrasjon til å løse bevegelsesligningen nedenfor.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Her er \(M\) massematrisen, \(C\) dempingsmatrisen, \(Q\) den indre kraftvektoren og \(F\) den ytre kraftvektoren. Massematrisen antas å være konstant uavhengig av deformasjonen, også i ikke-lineær analyse.

Endringene i forskyvning, hastighet og akselerasjon over tidsinkrementet \(\Delta t\) approksimeres med Newmark-\(\beta\)-metoden som vist i ligning \(\eqref{eq:2.5.2}\) og ligning \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Her er \(\gamma\) og \(\beta\) parametere i Newmark-\(\beta\)-metoden.

Som kjent tilsvarer følgende verdier for \(\gamma\) og \(\beta\) henholdsvis den lineære akselerasjonsmetoden og trapesregelen.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (lineær akselerasjonsmetode)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapesregelen)

Når ligning \(\eqref{eq:2.5.2}\) og ligning \(\eqref{eq:2.5.3}\) settes inn i ligning \(\eqref{eq:2.5.1}\), fås følgende ligning.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

For et lineært problem er særlig \(K_L\) den lineære stivhetsmatrisen og \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Når dette settes inn i ligningen ovenfor, fås følgende ligning.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

På steder der akselerasjon er foreskrevet som en geometrisk randbetingelse, fås forskyvningen fra ligning \(\eqref{eq:2.5.2}\) som følger.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

På samme måte fås forskyvningen på steder der hastighet er foreskrevet, fra ligning \(\eqref{eq:2.5.6}\) som følger.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Her er \(u_{is}(t+\Delta{t})\) knutepunktsforskyvningen ved tiden \(t+\Delta{t}\), og \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) knutepunktshastigheten ved tiden \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) knutepunktsakselerasjonen ved tiden \(t+\Delta{t}\), \(i\) knutepunktets frihetsgradsnummer og \(s\) knutepunktsnummeret. Masse- og dempingsleddene behandles som følger.

Behandling av masseleddet

Massematrisen behandles i utgangspunktet som en lumpet massematrise.

Behandling av dempingsleddet

Dempingsleddet behandles som Rayleigh-demping uttrykt ved ligning \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Her er \(R_m\) og \(R_k\) parametere for Rayleigh-dempingen.

På !DYNAMIC-kortet angis \(R_m\) og \(R_k\), som brukes ensartet på hele modellen. Hvis det skal angis forskjellige \(R_m\)- og \(R_k\)-verdier for hvert materiale, angis det i det aktuelle materialets !MATERIAL-blokk et !DAMPING-kort. For elementer som tilhører et materiale med !DAMPING, beregnes elementets dempingsmatrise fra elementets massematrise \(M_i\) og tangentstivhetsmatrise \(K_i\) som \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\), og sammenstilles i den globale dempingsmatrisen. Denne funksjonen er bare gyldig for den implisitte metoden.

Eksplisitt metode (sentraldifferansemetoden)

Den eksplisitte metoden bygger på bevegelsesligningen ved tiden t som vises nedenfor.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Når forskyvningene ved tidene \(t + \Delta t\) og \(t - \Delta t\) uttrykkes ved Taylor-utvikling rundt tiden \(t\) og ledd til og med andre orden i \(\Delta t\) beholdes, fås følgende.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Ved å ta differansen og summen av ligning \(\eqref{eq:2.5.3}\) og ligning \(\eqref{eq:2.5.4}\) fås følgende ligninger.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Når ligning \(\eqref{eq:2.5.12}\) og ligning \(\eqref{eq:2.5.13}\) settes inn i ligning \(\eqref{eq:2.5.9}\), fås følgende ligning.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

For et lineært problem er særlig \(Q(t) = K_L U(t)\), og ligningen ovenfor blir

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Hvis massematrisen \(M\) tas som en lumpet massematrise og dempingsmatrisen som en proporsjonal dempingsmatrise \(C = R_m M\), krever ligning \(\eqref{eq:2.5.15}\) ingen løsning av et ligningssystem.

Dermed kan ligning \(\eqref{eq:2.5.15}\) brukes til å beregne \(U(t+\Delta t)\) med følgende ligning.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Relaterte emner