Modalanalyse¶

Generalisert egenverdiproblem¶

Ved analyse av frie svingninger i et kontinuum diskretiseres strukturen romlig og modelleres som et system med flere frihetsgrader og konsentrerte masser, som vist i figur 2.3.1. For et udempet problem med frie svingninger er den styrende ligningen (bevegelsesligningen) som følger.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Her er $u$ den generaliserte forskyvningsvektoren, $M$ massematrisen og $K$ stivhetsmatrisen. La $\omega$ være egenvinkelfrekvensen, la $a$ og $b$ være vilkårlige konstanter som ikke begge er null, og la $x$ være en vektor. Definer funksjonen

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Den andrederiverte er

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Innsetting av ligning $\eqref{eq:2.3.2}$ og ligning $\eqref{eq:2.3.3}$ i ligning $\eqref{eq:2.3.1}$ gir

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Dermed fås ligningen ovenfor.

For en ikke-triviell svingning er $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ ikke identisk null.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Derfor fås relasjonen ovenfor. Ved å sette $\lambda=\omega^2$ fås

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Dermed fås ligningen ovenfor.

Skalaren $\lambda$ kalles en egenverdi, vektoren $x$ kalles en egenvektor, og problemet uttrykt ved ligning $\eqref{eq:2.3.5}$ kalles et generalisert egenverdiproblem.

Egenvinkelfrekvensen $\omega$ fås fra egenverdien $\lambda=\omega^2$, og den tilhørende egenvektoren $x$ representerer en svingningsform.

Eksempel på et system med flere frihetsgrader ved udempede frie svingninger

Figur 2.3.1 Eksempel på et system med flere frihetsgrader ved udempede frie svingninger

Matriseegenskaper og antakelser¶

For det generaliserte egenverdiproblemet $Kx=\lambda Mx$, som ble utledet i forrige avsnitt, antar denne håndboken at matrisene er symmetriske. For komplekse matriser tilsvarer dette hermitiske matriser; for reelle matriser tilsvarer det symmetriske matriser.

La $k_{ij}$ være $ij$-elementet i matrisen $K$. Den hermitiske egenskapen er

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

uttrykt ved ligningen ovenfor, der $\bar{k}_{ji}$ er den komplekskonjugerte av $k_{ji}$. For reelle matriser blir denne relasjonen $k_{ij}=k_{ji}$.

En reell symmetrisk matrise $H$ er positivt definit dersom, for enhver vektor $x$ som ikke er null,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

ulikheten ovenfor gjelder. I så fall er alle egenverdiene til $H$ positive.

I et strukturelt egenverdiproblem behandles massematrisen $M$ normalt som positivt definit. Stivhetsmatrisen $K$ kan derimot være positivt semidefinit, avhengig av randbetingelsene, og kan ha nullegneverdier som svarer til stivlegememoder.

Skiftet invers iterasjon¶

I praktisk strukturanalyse med elementmetoden er det vanligvis ikke behov for alle egenverdiene; ofte er høyst noen få egenverdier av lav orden tilstrekkelige. HEC-MW er beregnet på storskala problemer, der matrisene er store og svært spredte, med mange nullelementer. Det er derfor viktig å beregne egenverdiene for lavordensmoder effektivt med disse egenskapene i mente.

For et skift $\sigma$ kan ligning $\eqref{eq:2.3.5}$, dersom $-\sigma$ ikke er en egenverdi og $K+\sigma M$ er ikke-singulær, transformeres som følger.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Denne transformasjonen lar egenvektoren $x$ være uendret og avbilder egenverdien $\lambda$ på $1/(\lambda+\sigma)$.

Jo nærmere $\lambda$ ligger $-\sigma$, desto større blir absoluttverdien til den transformerte egenverdien. I et strukturelt egenverdiproblem er $\lambda \geq 0$ og $\sigma \geq 0$, slik at den laveste egenverdien avbildes på egenverdien med størst absoluttverdi. Ved å utnytte denne egenskapen og anvende en iterativ metode som tenderer til først å konvergere mot egenverdier med stor absoluttverdi, på ligning $\eqref{eq:2.3.8}$, kan egenverdiene av lav orden beregnes effektivt i stigende rekkefølge.

Denne metoden kalles skiftet invers iterasjon.

For analyser med randbetingelser setter FrontISTR $\sigma = 0$, og ligning $\eqref{eq:2.3.8}$ blir $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, altså uskiftet invers iterasjon. I en ubundet fri-fri-analyse er $K$ singulær fordi den har nullegneverdier som svarer til stivlegememoder; ved å gi $\sigma$ en positiv verdi regulariseres $K+\sigma M$. Verdien av $\sigma$ angis med SIGMA i !EIGEN.

Lanczos-metoden¶

Begrunnelse (sammenligning med Jacobi-metoden)¶

Jacobi-metoden er en velkjent klassisk metode.

Den er effektiv når matrisen er liten og tett. Fordi matrisene som HEC-MW behandler, er store og spredte, brukes Jacobi-metoden imidlertid ikke; i stedet brukes den iterative Lanczos-metoden.

Algoritme og egenskaper¶

Denne metoden, som ble foreslått av C. Lanczos på 1950-tallet, er en algoritme for å tridiagonalisere en matrise og har følgende egenskaper.

Det er en iterativ metode som kan utføre beregningen mens matrisen holdes spredt.
Operasjonene består hovedsakelig av matrise-vektor-produkter, noe som gjør metoden godt egnet for parallellisering.
Den er godt egnet for geometrisk domenedekomponering knyttet til elementnett.
Den kan utføre effektive beregninger ved å begrense antallet egenverdier eller modeområdet som skal bestemmes.

Lanczos-metoden starter fra en initialvektor, konstruerer suksessivt ortogonale vektorer og finner en basis for et Krylov-underrom.

Ved aritmetikk med endelig presisjon kan avrundingsfeil føre til at vektorene mister ortogonaliteten. For å dempe denne virkningen reortogonaliserer FrontISTR-implementasjonen hver vektor mot de Lanczos-basisvektorene som allerede er beregnet.

Geometrisk tolkning (Krylov-underrom)¶

Ved å anvende følgende variabeltransformasjoner på ligning $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

kan problemet omskrives som

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Dermed fås ligningen ovenfor.

For en vilkårlig vektor $q_0$ som ikke er null,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

rommet som utspennes av disse vektorene,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

kalles et Krylov-underrom.

Lanczos-metoden konstruerer suksessivt en basis for dette Krylov-underrommet.

FrontISTR bruker følgende indreprodukt knyttet til massematrisen $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

for å ortonormalisere basisvektorene. Indreproduktet $\langle x,y\rangle$ og normen $\|x\|$ som vises i de følgende figurene, tolkes i FrontISTR-beregninger som dette $M$-indreproduktet og den tilsvarende $M$-normen

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

henholdsvis.

Anvend den lineære transformasjonen definert av matrisen $A$ på en vilkårlig vektor $q_0$, som vist i figur 2.3.2.

$Lineær transformasjon av $q_0$ ved matrisen $A$$

Figur 2.3.2 Lineær transformasjon av $q_0$ ved matrisen $A$

Den transformerte vektoren ortogonaliseres i rommet som den utspenner sammen med den opprinnelige vektoren. Mer presist utføres Gram-Schmidt-ortogonalisering som vist i figur 2.3.3. La den resulterende vektoren være $r_1$; ved å normalisere den fås $q_1$.

$Vektor $q_1$ som er ortogonal på $q_0$$

Figur 2.3.3 Vektor $q_1$ som er ortogonal på $q_0$

Med samme fremgangsmåte fås $q_2$ fra $q_1$. Her er $q_2$ ortogonal på både $q_1$ og $q_0$, som vist i figur 2.3.4.

$Vektor $q_2$ som er ortogonal på $q_1$ og $q_0$$

Figur 2.3.4 Vektor $q_2$ som er ortogonal på $q_1$ og $q_0$

På denne måten konstruerer Lanczos-metoden suksessivt en ortonormal basis for Krylov-underrommet. Teoretisk gjør symmetrien til egenverdiproblemet det mulig å uttrykke denne iterasjonen som en treleddet rekurrensrelasjon som omfatter de sist beregnede basisvektorene.

FrontISTR-implementasjonen reortogonaliserer imidlertid hver vektor mot de Lanczos-basisvektorene som allerede er beregnet, ved hjelp av $M$-indreproduktet, for å dempe tap av ortogonalitet som følge av aritmetikk med endelig presisjon.

Tridiagonalisering¶

I FrontISTRs Lanczos-iterasjon ortonormaliseres basisvektorene med hensyn til $M$-indreproduktet som er beskrevet i forrige avsnitt, slik at

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

relasjonen ovenfor gjelder.

Med matrisen $A$ fra ligning $\eqref{eq:2.3.10}$ er den teoretiske Lanczos-iterasjonen

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

uttrykt ved den treleddede rekurrensrelasjonen ovenfor.

Først defineres $\alpha_i$ som følger.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Deretter defineres det foreløpige residualet som

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

vist ovenfor.

For å dempe tap av ortogonalitet som følge av aritmetikk med endelig presisjon reortogonaliserer FrontISTR-implementasjonen $\tilde{r}_{i+1}$ mot de Lanczos-basisvektorene som allerede er beregnet, ved hjelp av $M$-indreproduktet. Hvis $r_{i+1}$ er residualet etter reortogonalisering, gjelder

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

relasjonene ovenfor.

Samle de $m$ basisvektorene som er beregnet ved Lanczos-iterasjonen, i

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Etter et endelig antall Lanczos-iterasjoner gjelder da

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

relasjonen ovenfor.

Her er $e_m$ den $m$-dimensjonale enhetsvektoren der den $m$-te komponenten er 1 og de øvrige komponentene er null, og

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

er en symmetrisk tridiagonal matrise.

Egenverdiene til det opprinnelige storskala egenverdiproblemet kan dermed tilnærmes ved å beregne egenverdiene til den tridiagonale matrisen $T_m$.

Relaterte emner¶

Frekvensresponsanalyse — Frekvensrespons ved bruk av resultater fra modalanalyse
Analysetyper — Funksjonsoversikt over modalanalyse