Gå til innhold

Frekvensresponsanalyse

Problemformulering

Frekvensresponsanalyse evaluerer responsamplituden og fasen til et system i stasjonær tilstand i frekvensdomenet når den ytre kraften varierer harmonisk med tiden. Siden bevegelsesligningen behandles i ulike rammeverk med og uten demping, utledes først egenmodene fra udempet fri svingning i dette kapitlet, og disse brukes deretter som modalbasis for å utvikle den dempede harmoniske responsen.

Udempet fri svingning og egenmoder

Når demping neglisjeres, blir bevegelsesligningen som følger.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Når dette utvikles for hver egenmodus, fås

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Når dette settes inn i ligning \(\eqref{eq:2.6.1}\), fås

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Dette gir et generalisert egenverdiproblem. Numeriske løsningsmetoder for dette (skiftet invers iterasjon og Lanczos-metoden) behandles i Modalanalyse. Her oppsummeres egenskapene til de resulterende egenfrekvensene og egenmodene som brukes i den etterfølgende utviklingen av den harmoniske responsen.

Egenfrekvensenes realitet

Det kan bevises som følger at denne egenfrekvensen er reell. Sett \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Når det komplekskonjugerte av ligning \(\eqref{eq:2.6.3}\) tas, fås ligning \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Når dette multipliseres med \(\overline{U}_J^T\), fås

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Fra ligning \(\eqref{eq:2.6.5}\) fås

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Siden massematrisen er symmetrisk positivt definit, gjelder følgende for en egenvektor som ikke er nullvektoren:

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Derfor

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

og dermed er \(\omega_j^2 = \lambda_j\) reell.

Ortogonalitet og normalisering av egenmoder

Betrakt nå 2 forskjellige moder.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Herav følger

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

og når egenverdiene er forskjellige, fås

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Dermed er forskjellige egenmoder ortogonale med hensyn på massematrisen. For samme modus gjør normalisering med hensyn på massematrisen (ligning \(\eqref{eq:2.6.12}\)) den videre behandlingen enklere.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmonisk respons med demping

Deretter vises formuleringen av frekvensresponsanalyse når demping tas med. Bevegelsesligningen som behandles, vises i ligning \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Dempingsleddet antas her å være av Rayleigh-type og kan uttrykkes som i \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Ved hjelp av egenvektorene som er oppnådd fra modalanalysen, kan forskyvningsvektoren ved tidspunkt t utvikles som i ligning \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Anta nå at leddet for ytre kraft har den harmoniske formen

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Da bestemmes \(b_{j}(t)\). Siden bevegelsesligningen \(\eqref{eq:2.6.13}\) har form som tvungen svingning, gjelder

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

Reell- og imaginærdelen av utviklingskoeffisienten \(b_{j}(t)\) får formen i henholdsvis ligning \(\eqref{eq:2.6.18}i\) og ligning \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Dermed fås de harmoniske responskoeffisientene.

Relaterte emner