Gå til innhold

Verifikasjon med modeller med enkel geometri

Elastisk statisk analyse

I denne verifikasjonen brukes en utkraget bjelke med nettet vist i figur 9.1.1. Det ble utført analyser for sju tilfeller, exA–exG, med varierende lastbetingelser som vist i figur 9.1.2. exG har samme lastbetingelser som exA, men er verifikasjonstilfellet der en direkte løser brukes.

Tabell 9.1.1–9.1.7 viser verifikasjonsresultatene for hvert tilfelle.

Eksempel på nettinndeling av en utkraget bjelke (heksaederelementer) Figur 9.1.1 Eksempel på nettinndeling av en utkraget bjelke (heksaederelementer)
(a) exA,G: konsentrert last
(b) exD: tyngdekraft
(c) exB: flatefordelt last
(d) exE: sentrifugalkraft
(e) exC: volumlast
(f) exF: termisk last
Parameter Verdi
Youngs modul \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Lengde \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Poissons tall \(\nu = 0.3\)
Tverrsnittsareal \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Massetetthet \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Arealtreghetsmoment \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Tyngdeakselerasjon \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Lineær termisk utvidelseskoeffisient \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Figur 9.1.2 Verifikasjonsbetingelser for modellen med utkraget bjelke

Tabell 9.1.1 exA: verifikasjonsresultater for problemet med konsentrert last

Tilfellenavn Antall elementer Forventet verdi:\(\delta_{max}= -1.000\) Merknader
NASTRAN Kommersiell programvare FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 noder / problem med plan spenning
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 noder / problem med plan spenning
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 noder / problem med plan spenning
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 noder / problem med plan spenning
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 noder
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 noder
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 noder
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 noder
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 noder
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 noder
A731 40 - - -0.991 33 noder / direkte metode
A741 20 - - -0.996 33 noder / direkte metode

Tabell 9.1.2 exB: verifikasjonsresultater for problemet med flatefordelt last

Tilfellenavn Antall elementer Forventet verdi:\(\delta_{max}= -3.750\) Merknader
NASTRAN Kommersiell programvare FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 noder / problem med plan spenning
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 noder / problem med plan spenning
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 noder / problem med plan spenning
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 noder / problem med plan spenning
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 noder
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 noder
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 noder
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 noder
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 noder
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 noder
B731 40 - - -3.722 33 noder / direkte metode
B741 20 - - -3.743 33 noder / direkte metode

Tabell 9.1.3 exC: verifikasjonsresultater for problemet med volumlast

Tilfellenavn Antall elementer Forventet verdi:\(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Merknader
NASTRAN Kommersiell programvare FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 noder / problem med plan spenning
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 noder / problem med plan spenning
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 noder / problem med plan spenning
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 noder / problem med plan spenning
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 noder
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 noder
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 noder
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 noder
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 noder
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 noder
C731 40 - - -2.922e-5 33 noder / direkte metode
C741 20 - - -2.938e-5 33 noder / direkte metode

Tabell 9.1.4 exD: verifikasjonsresultater for tyngdekraftsproblemet

Tilfellenavn Antall elementer Forventet verdi:\(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Merknader
NASTRAN Kommersiell programvare FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 noder / problem med plan spenning
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 noder / problem med plan spenning
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 noder / problem med plan spenning
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 noder / problem med plan spenning
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 noder
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 noder
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 noder
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 noder
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 noder
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 noder
D731 40 - - -2.922e-5 33 noder / direkte metode
D741 20 - - -2.938e-5 33 noder / direkte metode

Tabell 9.1.5 exE: verifikasjonsresultater for sentrifugalkraftsproblemet

Tilfellenavn Antall elementer Forventet verdi:\(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Merknader
NASTRAN Kommersiell programvare FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 noder / problem med plan spenning
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 noder / problem med plan spenning
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 noder / problem med plan spenning
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 noder / problem med plan spenning
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 noder
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 noder
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 noder
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 noder
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 noder
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 noder
E731 40 - - 2.619e-3 33 noder / direkte metode
E741 20 - - 2.622e-3 33 noder / direkte metode

Tabell 9.1.6 exF: verifikasjonsresultater for problemet med termisk spenningslast

Tilfellenavn Antall elementer Forventet verdi:\(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Merknader
NASTRAN Kommersiell programvare FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 noder / problem med plan spenning
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 noder / problem med plan spenning
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 noder / problem med plan spenning
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 noder / problem med plan spenning
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 noder
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 noder
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 noder
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 noder
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 noder
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 noder

Tabell 9.1.7 exG: verifikasjonsresultater for direkte metode (problem med konsentrert last)

Tilfellenavn Antall elementer Forventet verdi:δmax= -1.000 Merknader
NASTRAN Kommersiell programvare FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 noder / problem med plan spenning
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 noder / problem med plan spenning
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 noder / problem med plan spenning
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 noder / problem med plan spenning
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 noder
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 noder
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 noder
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 noder
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 noder
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 noder
G731 40 - - -0.991 33 noder / direkte metode
G741 20 - - -0.996 33 noder / direkte metode

Ikke-lineær statisk analyse

(2-1) exnl1: Geometrisk ikke-lineær analyse

Verifikasjonsmodellen for tilfelle exI er identisk med modellene for tilfellene exA–G. Figur 9.1.3 viser en skjematisk fremstilling av verifikasjonsmodellen. Det utføres en geometrisk ikke-lineær analyse av denne modellen. Verifikasjonsresultatene vises i tabell 9.1.8.

Den ikke-lineære beregningen utføres for referanselasten \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), med et lastinkrement på \(0.1P\) over 10 trinn.

Verifikasjonsmodell Figur 9.1.3 Verifikasjonsmodell

Tabell 9.1.8 exI: verifikasjonsresultater (historikk for maksimal nedbøyning)

Tilfellenavn 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Lineær løsning
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Elastoplastisk deformasjonsanalyse

Dette verifikasjonsproblemet er basert på NAFEMS-test NL1 fra National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), og det utføres elastoplastisk deformasjonsanalyse med geometrisk ikke-linearitet og flere herdingslover. Figur 9.1.4 viser analysemodellen.

Modell for elastoplastisk deformasjonsanalyse

Figur 9.1.4 Modell for elastoplastisk deformasjonsanalyse

(1) Verifikasjonsbetingelser

Parameter Verdi
Materiale Mises-elastoplastisk materiale
Youngs modul \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Poissons tall \(\nu=0.25\)
Innledende flytespenning \(5\ \mathrm{MPa}\)
Innledende flytetøyning \(0.25\times10^{-4}\)
Isotrop herdingskoeffisient \(H_i = 0\) eller \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Randbetingelser

Parameter Randbetingelse Verdi
Trinn 1 Foreskrevet forskyvning ved node 2 og 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Trinn 2 Foreskrevet forskyvning ved node 2 og 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Trinn 3 Foreskrevet forskyvning ved node 3 og 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Trinn 4 Foreskrevet forskyvning ved node 3 og 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Trinn 5 Foreskrevet forskyvning ved node 2 og 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Trinn 6 Foreskrevet forskyvning ved node 2 og 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Trinn 7 Foreskrevet forskyvning ved node 3 og 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Trinn 8 Foreskrevet forskyvning ved node 3 og 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Alle noder som ikke er oppført her, er fullstendig fastholdt. Den teoretiske løsningen for dette problemet er som følger.

Tøyning (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Ekvivalentspenning (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Til sammenligning er beregningsresultatene som følger.

Tøyning (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Ekvivalentspenning (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Kontaktanalyse (1)

Dette verifikasjonsproblemet er basert på National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): kontaktpatchtesten CGS-4, og tester funksjonaliteten for endelig glidende kontakt med friksjon. Figur 9.1.5 viser analysemodellen.

Modell for kontaktanalyse

Figur 9.1.5 Modell for kontaktanalyse

Likevektsbetingelsen for dette problemet er som følger.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

I fasen med heftfriksjon er friksjonskraften

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

og i fasen med glidefriksjon er den

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

Dette gir relasjonen ovenfor.

Sammenligningen mellom beregningsresultatene og den analytiske løsningen er som følger.

\(\mu\) Analytisk løsning for \(F/G\) Beregningsresultat for \(F/G\)
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Kontaktanalyse (2): Hertz-kontaktproblemet

I denne verifikasjonen analyseres Hertz-kontaktproblemet mellom en uendelig lang sylinder og et uendelig plan. Sylinderradiusen er \(R = 8\ \mathrm{mm}\), og Youngs modul \(E\) og Poissons tall \(\mu\) for det deformerbare legemet er henholdsvis \(1100\ \mathrm{MPa}\) og \(0.0\). Kontaktarealet antas dessuten å være tilstrekkelig lite sammenlignet med sylinderradiusen. Med hensyn til problemets symmetri analyseres derfor en kvart sylindermodell.

Analysemodell for Hertz-kontaktproblemet Figur 9.1.6 Analysemodell for Hertz-kontaktproblemet

(1) Verifikasjonsresultater for kontaktradius

Den teoretiske formelen for beregning av kontaktradiusen er som følger.

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

der

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

Dette gir uttrykket ovenfor. Under disse beregningsbetingelsene, når trykket er \(F=100\), blir kontaktradiusen \(a=1.36\).

Figur 9.1.7 viser de ekvivalente nodekreftene ved kontaktpunktene. Kontaktradiusen fås ved å ekstrapolere denne fordelingen av nodekrefter.

Fordeling av ekvivalente nodekrefter ved kontaktpunktene

Figur 9.1.7 Fordeling av ekvivalente nodekrefter ved kontaktpunktene

(2) Verifikasjonsresultater for maksimal skjærspenning

I den teoretiske løsningen, ved kontaktposisjonen

\[ z = 0.78a \]

er den maksimale skjærspenningen

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

Dette er den teoretiske maksimale skjærspenningen. Under disse beregningsbetingelsene

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

Dette er den teoretiske verdien under de aktuelle betingelsene. Til sammenligning gir beregningen

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

Dette er det beregnede resultatet.

Skjærspenningsfordeling (maksimalverdi=15.6 Figur 9.1.8 Skjærspenningsfordeling (maksimalverdi=15.6)

(3) Modalanalyse

Verifikasjonsmodellene for tilfellene exJ–K er identiske med modellene for tilfellene exA–G. Figur 9.1.9 viser en skjematisk fremstilling av verifikasjonsmodellen. Det utføres en modalanalyse av denne modellen. De tre første egenfrekvensene beregnes. exJ bruker en iterativ løser, mens exK bruker en direkte løser. Verifikasjonsresultatene vises i tabell 9.1.9–9.1.12.

Verifikasjonsmodell Figur 9.1.9 Verifikasjonsmodell

Egenfrekvensene til den utkragede bjelken beregnes med følgende ligninger.

Første egenfrekvens

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Andre egenfrekvens

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Tredje egenfrekvens

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Egenskapsverdiene for verifikasjonsmodellen er

Parameter Verdi
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

De tre første egenfrekvensene er dermed som følger.

Modusnummer Verdi
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Tabell 9.1.9 exJ: verifikasjonsresultater med iterativ metode (første egenfrekvens)

Tilfellenavn Antall elementer Forventet verdi:n1=3.609e3 Merknader
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 noder / problem med plan spenning
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 noder / problem med plan spenning
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 noder / problem med plan spenning
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 noder / problem med plan spenning
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 noder
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 noder
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 noder
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 noder
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 noder
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 noder

Tabell 9.1.10 exJ: verifikasjonsresultater med iterativ metode (andre egenfrekvens)

Tilfellenavn Antall elementer Forventet verdi:n2=2.262e4 Merknader
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 noder / problem med plan spenning
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 noder / problem med plan spenning
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 noder / problem med plan spenning
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 noder / problem med plan spenning
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 noder
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 noder
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 noder
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 noder
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 noder
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 noder

Merk) I tredimensjonale (3D) modeller er første og andre modus degenererte. Derfor oppgis den tredje beregnede egenfrekvensen i tabellen som den andre egenfrekvensen.

Tabell 9.1.11 exK: verifikasjonsresultater med direkte metode (første egenfrekvens)

Tilfellenavn Antall elementer Forventet verdi:n1=3.609e3 Merknader
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 noder / problem med plan spenning
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 noder / problem med plan spenning
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 noder / problem med plan spenning
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 noder / problem med plan spenning
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 noder
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 noder
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 noder
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 noder
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 noder
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 noder
J731 40 - 3.606e3 220 noder
J741 20 - 3.594e3 220 noder

Tabell 9.1.12 exK: verifikasjonsresultater med direkte metode (andre egenfrekvens)

Tilfellenavn Antall elementer Forventet verdi:n2=2.262e4 Merknader
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 noder / problem med plan spenning
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 noder / problem med plan spenning
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 noder / problem med plan spenning
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 noder / problem med plan spenning
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 noder
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 noder
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 noder
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 noder
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 noder
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 noder
J731 40 - 2.156e4 220 noder
J741 20 - 2.153e4 220 noder

Merk) I tredimensjonale (3D) modeller er første og andre modus degenererte. Derfor oppgis den tredje beregnede egenfrekvensen i tabellen som den andre egenfrekvensen.

(4) Varmeledningsanalyse

De felles betingelsene for stasjonære varmeledningsanalyser vises i figur 9.1.10. De individuelle betingelsene for verifikasjonstilfellene exM–exT vises i figur 9.1.11. Nettinndelingen tilsvarer den som brukes for exA.

Tabell 9.1.13–9.1.20 viser temperaturfordelingene som utgjør verifikasjonsresultatene for hvert tilfelle.

Varmeledningsanalyse
Lengde mellom A og B \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Tverrsnittsareal \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Temperaturavhengighet for varmeledningsevnen

Varmeledningsevne \(\lambda\) (W/(m·K)) Temperatur (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Figur 9.1.10 Verifikasjonsbetingelser for stasjonær varmeledningsanalyse
exM: lineært materiale
exN: problem med foreskrevet temperatur
exO: problem med konsentrert varmefluks
exP: problem med fordelt varmefluks
exQ: problem med konvektiv varmeoverføring
exR: problem med strålingsvarmeoverføring
exS: problem med volumetrisk varmeutvikling
exT: problem med internt gap

Figur 9.1.11 Analysebetingelser for hvert verifikasjonstilfelle

Tabell 9.1.13 exM: verifikasjonsresultater for stasjonær beregning med lineært materiale

Tilfellenavn Elementtype Elementer/noder Avstand fra A-enden (m)
A-ende 2.0 4.0 6.0 8,0 B-ende
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Tabell 9.1.14 exN: verifikasjonsresultater for problemet med foreskrevet temperatur

Tilfellenavn Elementtype Elementer/noder Avstand fra A-enden (m)
A-ende 2.0 4.0 6.0 8,0 B-ende
Kommersiell programvare 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Tabell 9.1.15 exO: verifikasjonsresultater for problemet med konsentrert varmefluks

Tilfellenavn Elementtype Elementer/noder Avstand fra A-enden (m)
A-ende 2.0 4.0 6.0 8,0 B-ende
Kommersiell programvare 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabell 9.1.16 exP: verifikasjonsresultater for problemet med fordelt varmefluks

Tilfellenavn Elementtype Elementer/noder Avstand fra A-enden (m)
A-ende 2.0 4.0 6.0 8,0 B-ende
Kommersiell programvare 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabell 9.1.17 exQ: verifikasjonsresultater for problemet med konvektiv varmeoverføring

Tilfellenavn Elementtype Elementer/noder Avstand fra A-enden (m)
A-ende 2.0 4.0 6.0 8,0 B-ende
Kommersiell programvare 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Tabell 9.1.18 exR: verifikasjonsresultater for problemet med strålingsvarmeoverføring

Tilfellenavn Elementtype Elementer/noder Avstand fra A-enden (m)
A-ende 2.0 4.0 6.0 8,0 B-ende
Kommersiell programvare 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Tabell 9.1.19 exS: verifikasjonsresultater for problemet med volumetrisk varmeutvikling

Tilfellenavn Elementtype Elementer/noder Avstand fra A-enden (m)
A-ende 2.0 4.0 6.0 8,0 B-ende
Kommersiell programvare 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabell 9.1.20 exT: verifikasjonsresultater for problemet med internt gap

Tilfellenavn Elementtype Elementer/noder Avstand fra A-enden (m)
A-ende 2.0 4.0 6.0 8,0 B-ende
Kommersiell programvare 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Lineær dynamisk analyse

I exW utføres en lineær dynamisk analyse av den samme utkragede bjelken som i punkt (1). Figur 9.1.12 viser verifikasjonsbetingelsene. Her verifiseres virkningen av tidsinkrementet på resultatene for den samme nettinndelingen. Både implisitt og eksplisitt metode brukes for den dynamiske analysen, med elementtype 361 og 342. Verifikasjonsresultatene vises i tabell 9.1.22 og figur 9.1.13–9.1.15.

Analysemodell Analysemodell

Tidshistorikk for ytre kraft F Tidshistorikk for ytre kraft F

Teoretisk løsning for forskyvningen ved eksitasjonspunktet:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

der

\[ \(F_0:\ \text{Konstant vektor}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Figur 9.1.12 Verifikasjonsbetingelser for lineær dynamisk analyse

Verifikasjonsbetingelser:
Lengde \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Tverrsnittsbredde \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Tverrsnittshøyde \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Youngs modul \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Poissons tall \(\nu\) \(0.3\)
Tetthet \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Tyngdeakselerasjon \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Ytre kraft \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Element Lineært heksaederelement
Andreordens tetraederelement
Løsningsmetode Implisitt metode
Newmark-\(\beta\)-metodens parameter \(\gamma\) 1/2
Newmark-\(\beta\)-metodens parameter \(\beta\) 1/4
Eksplisitt metode
Demping Ingen

Tabell 9.1.21 Verifikasjonsbetingelser for lineær dynamisk analyse (fortsettelse)

Tilfellenavn Elementtype Antall noder Antall elementer Løsningsmetode Tidsinkrement \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 implisitt metode 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 implisitt metode 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 implisitt metode 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 implisitt metode 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 implisitt metode 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 implisitt metode 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 eksplisitt metode 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 eksplisitt metode 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 eksplisitt metode 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 eksplisitt metode 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 eksplisitt metode 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 eksplisitt metode 1.0E-07

Tabell 9.1.22 exW: verifikasjonsresultater for lineær dynamisk analyse av en utkraget bjelke

Tilfellenavn Elementtype Antall noder Antall elementer Løsningsmetode Forskyvning i z-retning ved tiden \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 implisitt metode 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 implisitt metode 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 implisitt metode 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 implisitt metode 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 implisitt metode 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 implisitt metode 1.9753 Divergerte
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 eksplisitt metode 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 eksplisitt metode 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 eksplisitt metode 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 eksplisitt metode 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 eksplisitt metode 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 eksplisitt metode 1.9753 Divergerte

Deformasjon og ekvivalentspenningsfordeling for den utkragede bjelken Figur 9.1.13 Deformasjon og ekvivalentspenningsfordeling for den utkragede bjelken

(a) Elementtype 361: implisitt metode (a) Elementtype 361: implisitt metode

(b) Elementtype 361: eksplisitt metode (b) Elementtype 361: eksplisitt metode

Figur 9.1.14 Tidshistorikk for forskyvning \(u_z\) ved eksitasjonspunktet

(a) Elementtype 342: implisitt metode (a) Elementtype 342: implisitt metode

(b) Elementtype 342: eksplisitt metode (b) Elementtype 342: eksplisitt metode

Figur 9.1.15 Tidshistorikk for forskyvning \(u_z\) ved eksitasjonspunktet

Frekvensresponsanalyse

I denne verifikasjonen utføres en frekvensresponsanalyse av en utkraget bjelke, og resultatene verifiseres ved sammenligning med resultater fra generell kommersiell programvare. Analysemodellen og verifikasjonsbetingelsene vises nedenfor.

Analysebetingelser:
Youngs modul \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Poissons tall \(\nu\) \(0.3\)
Tetthet \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Tyngdeakselerasjon \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Last \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Parameter for Rayleigh-demping \(R_m\) \(0.0\)
Parameter for Rayleigh-demping \(R_k\) \(7.2E-07\)

Figur 9.1.16 Analysemodell (lineære tetraederelementer (126 elementer, 55 noder))

De fem første egenfrekvensene fra modalanalysen og frekvensresponsen ved eksitasjonspunktet vises nedenfor:

Modus FrontISTR Kommersiell programvare
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Frekvensavhengighet for forskyvningsamplituden ved eksitasjonspunktet Figur 9.1.17 Frekvensavhengighet for forskyvningsamplituden ved eksitasjonspunktet