गैररैखिक पुनरावृत्ति र समय समाकलन¶
FrontISTR को विश्लेषणमा प्रत्येक चरणको वृद्धिशील नियन्त्रणभित्र, प्रत्येक उपचरणमा गैररैखिक पुनरावृत्ति र समय समाकलनलाई संयोजन गरी समाधान अगाडि बढाइन्छ। यस पृष्ठले बाहिरी चरण नियन्त्रण र भित्री रैखिक सोल्भरबीच रहेको पुनरावृत्ति संरचना अर्थात् न्यूटन–राफ्सन पुनरावृत्ति, सम्पर्क पुनरावृत्ति, गतिशील विश्लेषणको समय समाकलन, तथा क्षणिक ताप चालनको समय प्रगति र गैररैखिक पुनरावृत्तिको रूपरेखा समेट्छ।
कार्यक्षमताको समग्र चित्र¶
चरणभित्र गरिने गैररैखिक समाधान र समय समाकलनमा बाहिरबाट भित्रतिर धेरै लूपहरू एक-अर्काभित्र रहेका हुन्छन्। प्रत्येक तहको भूमिका निम्न छ।
| तह | भूमिका | मुख्य सम्बन्धित पृष्ठ |
|---|---|---|
| चरण लूप | सम्पूर्ण विश्लेषणलाई धेरै चरणमा विभाजन गरी सीमा सर्त, भार, सम्पर्क र तत्त्व सक्रियण बदल्छ। | चरण नियन्त्रण |
| उपचरण लूप | एउटा चरणलाई समय वृद्धिमा विभाजन गरी स्थिर वृद्धि वा स्वचालित वृद्धि र cutback द्वारा अगाडि बढाउँछ। | चरण नियन्त्रण |
| समय समाकलनको अवस्था अग्रसरण | गतिशील विश्लेषण र क्षणिक ताप चालनमा अघिल्लो चरणको अवस्थाबाट अर्को समयको अवस्था निकाल्छ। | यो पृष्ठ |
| सम्पर्क अवस्था खोज लूप | सम्पर्क विश्लेषणमा सम्पर्क अवस्था (टाँसिनु/अलग हुनु) को परिवर्तन खोजी गरी कठोरता आव्यूहको संरचना अद्यावधिक गर्छ। | यो पृष्ठ |
| संवर्धित लाग्रान्ज बाहिरी पुनरावृत्ति | ALAGRANGE सम्पर्कमा सम्पर्क बन्धनको शुद्धता क्रमशः सुधार गर्छ। | यो पृष्ठ |
| न्यूटन पुनरावृत्ति | गैररैखिक सन्तुलन समीकरणलाई न्यूटन–राफ्सन विधिबाट पुनरावृत्त रूपमा समाधान गर्छ। | यो पृष्ठ |
| रैखिक समकालीन समीकरण समाधान | प्रत्येक न्यूटन पुनरावृत्तिमा स्पर्शरेखीय कठोरता आव्यूहमा आधारित रैखिक प्रणाली समाधान गर्छ। | सोल्भर र पूर्वसर्तकरण |
विश्लेषण प्रकारअनुसार यी तहमध्ये कति तह प्रयोग हुन्छन् भन्ने फरक हुन्छ।
| विश्लेषण प्रकार | समय समाकलन | सम्पर्क अवस्था खोज | बाहिरी पुनरावृत्ति | न्यूटन पुनरावृत्ति |
|---|---|---|---|---|
| रैखिक स्थैतिक विश्लेषण | — | — | — | — |
| गैररैखिक स्थैतिक विश्लेषण (सम्पर्क बिना) | — | — | — | हुन्छ |
गैररैखिक स्थैतिक विश्लेषण (SLAGRANGE सम्पर्क) | — | हुन्छ | — | हुन्छ |
गैररैखिक स्थैतिक विश्लेषण (ALAGRANGE सम्पर्क) | — | हुन्छ | हुन्छ | हुन्छ |
| गतिशील विश्लेषन, निहित विधि | न्यूमार्क-β | — | — | हुन्छ (गैररैखिक हुँदा) |
| गतिशील विश्लेषन, स्पष्ट विधि | केन्द्रीय अन्तर | — | — | — |
| आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण | मोड अध्यारोपण | — | — | — |
| क्षणिक ताप चालन | क्राङ्क–निकोल्सन / पश्चगामी युलर | — | — | हुन्छ (सामग्री तापक्रम-निर्भर हुँदा) |
| स्थिर-अवस्था ताप चालन | — | — | — | हुन्छ (सामग्री तापक्रम-निर्भर हुँदा) |
सम्पर्क प्रकार र एल्गोरिदम कसरी छनोट गर्ने भन्ने विषयका लागि सम्पर्क र इम्बेडिङ हेर्नुहोस्। यस पृष्ठमा छनोट गरिएको एल्गोरिदम पुनरावृत्ति लूपका रूपमा कसरी बनाइन्छ भन्ने कुरा समेटिएको छ।
समाधान विधि छनोट¶
पुनरावृत्ति संरचना विश्लेषण प्रकारको छनोट (विश्लेषण प्रकार), गैररैखिकताको उपस्थिति (ज्यामितीय गैररैखिकता, सामग्री गैररैखिकता, सम्पर्क), र सम्पर्क एल्गोरिदम (SLAGRANGE वा ALAGRANGE) बाट स्वचालित रूपमा निर्धारण हुन्छ। प्रयोगकर्ताले प्रत्यक्ष समायोजन गर्ने मुख्य कुराहरू पुनरावृत्ति सङ्ख्याको माथिल्लो सीमा र अभिसरण निर्णय मान हुन्।
समायोजनका दिशानिर्देश निम्न छन्।
- सामान्य विश्लेषणमा पुनरावृत्ति सङ्ख्याको पूर्वनिर्धारित माथिल्लो सीमा प्रायः पर्याप्त हुन्छ। अभिसरण गाह्रो भएर “अधिकतम पुनरावृत्तिमा पुगे पनि अभिसरण भएन” भन्ने अवस्था आएमा पहिले cutback (चरण नियन्त्रण) प्रयोग गर्नुहोस्; त्यसबाट पनि सुधार नभएमा मात्र सीमा बढाउनुहोस्।
- अभिसरण निर्णय मानलाई विश्लेषणको स्थिरता र गणना समयबीच सन्तुलन राखेर समायोजन गर्नुहोस्। कडा मानले सन्तुलनको शुद्धता बढाउँछ तर पुनरावृत्ति सङ्ख्या बढ्छ। सम्पर्क विश्लेषण वा लाग्रान्ज गुणक समावेश भएको विश्लेषणमा अवशेष निर्णयसँगै विस्थापन वृद्धि निर्णय र लाग्रान्ज निर्णय प्रयोग गर्दा स्थिरता सुधार हुन सक्छ।
- गतिशील विश्लेषणका समय समाकलन प्यारामिटर (न्यूमार्क-β गुणांक) का लागि पहिले मानक संयोजन प्रयोग गर्नुहोस् र कम्पन प्रतिक्रियाको सङ्ख्यात्मक अवमन्दन विशेषता बदल्नुपर्ने अवस्थामा मात्र समायोजन गर्नुहोस्।
- क्षणिक ताप चालनको समय समाकलन योजनामा तापक्रम परिवर्तन मृदु भएको समस्याका लागि क्राङ्क–निकोल्सन, र तीव्र परिवर्तन वा दीर्घकालीन स्थिरतालाई प्राथमिकता दिने अवस्थामा पश्चगामी युलर छनोट गर्नुहोस्।
स्थैतिक विश्लेषणको न्यूटन–राफ्सन पुनरावृत्ति¶
गैररैखिक स्थैतिक विश्लेषणमा ज्यामितीय गैररैखिकता वा सामग्री गैररैखिकता समावेश भएको सन्तुलन समीकरणलाई न्यूटन–राफ्सन विधिद्वारा पुनरावृत्त रूपमा समाधान गरिन्छ। प्रत्येक पुनरावृत्ति निम्न प्रक्रियामा अगाडि बढ्छ।
- हालको समाधानमा अवशेष सदिश \(\boldsymbol{R}\) मूल्याङ्कन गरिन्छ।
- स्पर्शरेखीय कठोरता आव्यूह \(\boldsymbol{K}_T\) संयोजन गरिन्छ।
- रैखिक प्रणाली \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) समाधान गरी विस्थापन सुधार \(\Delta \boldsymbol{u}\) निकालिन्छ।
- समाधानलाई \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) द्वारा अद्यावधिक गरिन्छ।
- अभिसरण निर्णय मानसँग तुलना गरिन्छ। अभिसरण भएमा पुनरावृत्ति समाप्त हुन्छ; नभए चरण 1 मा फर्किन्छ।
रैखिक प्रणालीको समाधान (चरण 3) रैखिक सोल्भरले गर्छ। सोल्भर र पूर्वसर्तकरणको छनोटका लागि सोल्भर र पूर्वसर्तकरण हेर्नुहोस्।
पुनरावृत्ति नियन्त्रण !STEP का चरण नियन्त्रण प्यारामिटरद्वारा गरिन्छ। मुख्य नियन्त्रण मानहरू निम्न छन्।
| भूमिका | प्यारामिटर |
|---|---|
| पुनरावृत्ति सङ्ख्याको माथिल्लो सीमा। सीमामा पुगेर पनि अभिसरण नभए cutback को विषय बन्छ। | MAXITER |
| अवशेष नर्मको सापेक्ष मानमा आधारित अभिसरण निर्णय मान। | CONVERG |
| विस्थापन सुधारको नर्म अनुपातमा आधारित अभिसरण निर्णय मान। अवशेष निर्णयसँग संयुक्त प्रयोग गर्दा स्थिरता सुधार हुन्छ। | CONVERG_DDISP |
| अवशेष नर्मको अपसरण निर्णय मान। यो मान नाघ्नेबित्तिकै पुनरावृत्ति रोकिन्छ। | MAXRES |
चरण नियन्त्रण मा स्वचालित वृद्धि र cutback निर्णयका लागि प्रयोग हुने न्यूटन पुनरावृत्ति सङ्ख्याको अधिकतम मानले यही पृष्ठमा वर्णित न्यूटन पुनरावृत्तिको सङ्ख्या जनाउँछ। स्वचालित वृद्धिले कम पुनरावृत्ति लागेको उपचरणपछि समय वृद्धि बढाउँछ र धेरै पुनरावृत्ति लागेको उपचरणपछि समय वृद्धि घटाउँछ।
स्थैतिक विश्लेषणको सम्पर्क पुनरावृत्ति¶
सम्पर्क विश्लेषणमा सम्पर्क सतहको टाँसिने, अलग हुने र चिप्लिने अवस्था पुनरावृत्तिका क्रममा बदलिन सक्ने भएकाले न्यूटन पुनरावृत्तिलाई सम्पर्क अवस्था अद्यावधिकसँग संयोजन गरेर बनाइन्छ। संरचना सम्पर्क समाधान एल्गोरिदमअनुसार फरक हुन्छ।
दुवै एल्गोरिदममा सबैभन्दा बाहिर सम्पर्क अवस्था खोज लूप हुन्छ। यस लूपको प्रत्येक चक्रमा भित्री न्यूटन पुनरावृत्तिलाई अभिसरण गराएपछि सम्पर्क अवस्था (टाँसिनु/अलग हुनु) पुनः मूल्याङ्कन गरिन्छ। अवस्था बदलिएको छ भने कठोरता आव्यूहको संरचना अद्यावधिक गरी भित्री पुनरावृत्ति फेरि चलाइन्छ। सम्पर्क अवस्था अघिल्लो चक्रसँग नबदलेको र सम्पर्क अभिसरण निर्णय (सम्पर्क बल तथा लाग्रान्ज गुणकको निर्णय) पनि पूरा भएको अवस्थामा लूप समाप्त हुन्छ। अधिकतम चक्र सङ्ख्या !STEP को MAXCONTITER ले निर्दिष्ट गर्छ।
SLAGRANGE सम्पर्कमा मानक लाग्रान्ज गुणक विधिबाट सम्पर्क स्वतन्त्रता अंशलाई रैखिक प्रणालीमा समावेश गरिन्छ र सम्पर्क अवस्था खोज लूपभित्र न्यूटन पुनरावृत्ति प्रत्यक्ष राखिने दुई-तह संरचना हुन्छ। संवर्धित लाग्रान्ज पुनरावृत्ति हुँदैन।
ALAGRANGE सम्पर्कमा सम्पर्क अवस्था खोज लूपभित्र थप संवर्धित लाग्रान्ज पुनरावृत्ति राखिन्छ र त्यसको भित्र न्यूटन पुनरावृत्ति चल्ने तीन-तह संरचना हुन्छ। संवर्धित लाग्रान्ज पुनरावृत्तिको प्रत्येक चक्रमा सम्पर्क बन्धनलाई पेनाल्टी पद र लाग्रान्ज गुणकको संयोजनबाट पुनः मूल्याङ्कन गरी बन्धनको शुद्धता क्रमशः सुधारिन्छ। संवर्धित लाग्रान्ज पुनरावृत्तिको अधिकतम सङ्ख्या !CONTACT_ALGO को AUGITER ले निर्दिष्ट गर्छ।
सम्पर्क पुनरावृत्तिका नियन्त्रण मानहरू निम्न छन्।
| भूमिका | निर्दिष्ट गर्ने स्थान |
|---|---|
सम्पर्क अवस्था खोज लूपको अधिकतम चक्र सङ्ख्या। SLAGRANGE / ALAGRANGE दुवैमा प्रयोग हुन्छ। | !STEP को MAXCONTITER |
संवर्धित लाग्रान्ज पुनरावृत्तिको अधिकतम सङ्ख्या। ALAGRANGE मा मात्र प्रयोग हुन्छ। | !CONTACT_ALGO को AUGITER |
| लाग्रान्ज गुणकको सुधार परिमाणको अभिसरण निर्णय मान। सम्पर्क भएको विश्लेषणमा अवशेष निर्णयसँग संयुक्त रूपमा प्रयोग हुन्छ। | !STEP को CONVERG_LAG |
चरण नियन्त्रण को स्वचालित वृद्धि निर्णयमा सन्दर्भ गरिने सम्पर्क पुनरावृत्ति सङ्ख्याले यही पृष्ठमा वर्णित सम्पर्क अवस्था अद्यावधिकसहितको पुनरावृत्ति सङ्ख्या जनाउँछ। टाँसिने/अलग हुने अवस्था बारम्बार बदलिने विश्लेषणमा सम्पर्क पुनरावृत्ति बढ्ने प्रवृत्ति हुन्छ र त्यसले स्वचालित वृद्धि तथा cutback निर्णयलाई पनि असर गर्छ। सम्पर्कको प्रकार, जोडी परिभाषा र एल्गोरिदम छनोटका लागि सम्पर्क र इम्बेडिङ हेर्नुहोस्। सम्पर्क स्वतन्त्रता अंश समावेश भएको रैखिक प्रणाली समाधान गर्ने तरिकाका लागि सोल्भर र पूर्वसर्तकरण हेर्नुहोस्।
गतिशील विश्लेषणको समय समाकलन (निहित विधि)¶
गतिशील विश्लेषणको निहित विधिले न्यूमार्क-β विधिद्वारा प्रत्येक समय चरणमा अर्को समयको विस्थापन, वेग र त्वरणलाई सम्बन्धित गरी गति समीकरणसँग संयोजन गरेर समय \(t + \Delta t\) को अवस्था निकाल्छ। समय कदम \(\Delta t\) माथिको स्थिरता सीमा अपेक्षाकृत खुकुलो हुन्छ र न्यून आवृत्ति अवयव प्रमुख हुने संरचनात्मक प्रतिक्रिया प्रभावकारी रूपमा समाधान गर्न सकिन्छ।
समय समाकलनका प्यारामिटर दुईवटा छन्।
| प्यारामिटर | भूमिका |
|---|---|
| \(\beta\) | विस्थापनको समय अन्तर्वेशनसँग सम्बन्धित गुणांक। |
| \(\gamma\) | वेगको समय अन्तर्वेशनसँग सम्बन्धित गुणांक। |
\(\beta = 1/4\) र \(\gamma = 1/2\) को संयोजनलाई औसत त्वरण विधि भनिन्छ। यो निशर्त स्थिर र सङ्ख्यात्मक अवमन्दन नभएको मानक छनोट हो। सङ्ख्यात्मक अवमन्दन थप्नुपरेमा \(\gamma\) लाई \(1/2\) भन्दा ठूलो राखिन्छ। प्यारामिटर संयोजन, स्थिरता र त्रुटि विशेषताको गणितीय विवरणका लागि सैद्धान्तिक मार्गदर्शिका हेर्नुहोस्।
गैररैखिकता (ज्यामितीय गैररैखिकता, सामग्री गैररैखिकता, सम्पर्क) समावेश हुँदा प्रत्येक समय चरणभित्र न्यूटन पुनरावृत्ति चलाइन्छ, र पुनरावृत्तिभित्र रैखिक प्रणाली समाधान गरी अवस्था अद्यावधिक गरिन्छ। अभिसरण निर्णयका लागि स्थैतिक विश्लेषनसँग साझा CONVERG आदि प्रयोग हुन्छन्। सम्पर्कसहितको गतिशील विश्लेषणमा स्थैतिक विश्लेषणको सम्पर्क पुनरावृत्ति मा वर्णित उही पुनरावृत्ति संरचना समय चरणभित्र समावेश हुन्छ।
गतिशील विश्लेषणको समय कदम मूलतः !STEP का समय सर्तद्वारा नियन्त्रण हुन्छ। स्थिर वृद्धिमा !STEP को DTIME लाई समय कदम र ETIME लाई चरणको समय चौडाइका रूपमा निर्दिष्ट गरिन्छ। !DYNAMIC का n_step र t_delta लाई !STEP नदिएको अवस्थामा वा पश्च-सङ्गतिका लागि पूर्वनिर्धारित मानका रूपमा व्यवहार गरिन्छ। गैररैखिक निहित विधिमा !STEP को INC_TYPE=AUTO द्वारा स्वचालित वृद्धि र cutback सक्षम गर्न सकिन्छ, जसले न्यूटन पुनरावृत्ति र सम्पर्क पुनरावृत्तिको स्थितिअनुसार समय कदम बढाउँछ वा घटाउँछ। स्थिर वृद्धि वा स्वचालित वृद्धि जुन प्रयोग गरे पनि समय कदम अभिसरण क्षमता र आवश्यक शुद्धता दुवै हेरेर सेट गर्नुपर्छ।
गतिशील विश्लेषणको समय समाकलन (स्पष्ट विधि)¶
गतिशील विश्लेषणको स्पष्ट विधिले केन्द्रीय अन्तर विधि प्रयोग गरी अघिल्लो समयका विस्थापन, वेग र त्वरणको जानकारीबाट मात्र अर्को समयको अवस्था प्रत्यक्ष गणना गर्छ। समकालीन समीकरण प्रणाली समाधान नगर्ने भएकाले प्रति चरण गणना लागत कम हुन्छ। गैररैखिकता समावेश भए पनि प्रत्येक समय चरणमा न्यूटन पुनरावृत्ति नगरी एकल-चरण अद्यावधिक हुन्छ।
समय कदममा प्रणालीको न्यूनतम प्राकृतिक अवधिमा आधारित स्थिरता सर्त (CFL सर्त) को माथिल्लो सीमा हुन्छ। यस सीमा नाघेको समय कदममा सङ्ख्यात्मक समाधान अपसरण गर्ने भएकाले निहित विधिजस्तो ठूलो समय कदम लिन सकिँदैन। आघात, तरङ्ग प्रसारण र उच्च-गतिका सम्पर्कजस्ता मूलतः सानो समय कदम आवश्यक हुने घटनामा स्पष्ट विधि लाभदायक हुन्छ।
सम्पर्क हुँदा सम्पर्क बन्धन फर्वर्ड इन्क्रिमेन्ट लाग्रान्ज विधिद्वारा व्यवहार गरिन्छ। स्पष्ट विधिको एकल-चरण अद्यावधिकसँग मिल्ने गरी सम्पर्क बल मूल्याङ्कन गरिन्छ।
आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषणको समाधान विधि¶
आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषणमा मोड अध्यारोपण विधिद्वारा आवधिक स्थिर प्रतिक्रिया आवृत्ति क्षेत्रमा प्रत्यक्ष निकालिन्छ। उद्दीपन आवृत्ति बदल्दै प्रतिक्रिया मूल्याङ्कन गरिने भएकाले समय इतिहासलाई पुनरावृत्त रूपमा पछ्याउन आवश्यक पर्दैन। गैररैखिक पुनरावृत्ति र समय समाकलन दुवै गरिँदैन।
आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण चलाउन पहिले उही प्रणालीमा मोडल विश्लेषण गरी आवश्यक सङ्ख्याका प्राकृतिक मोड निकालिएको हुनुपर्छ। केवल रैखिक मोडेल समर्थित छ; ज्यामितीय गैररैखिकता वा सामग्री गैररैखिकता सक्षम गरिएको अवस्थामा यसलाई चलाउन सकिँदैन। विश्लेषण प्रकारको स्थानका लागि विश्लेषण प्रकार हेर्नुहोस्।
क्षणिक ताप चालनको समय प्रगति र गैररैखिक पुनरावृत्ति¶
क्षणिक ताप चालनमा !HEAT भित्रै पूर्ण हुने छुट्टै समय लूप हुन्छ। संरचनात्मक विश्लेषणका !STEP र !AUTOINC_PARAM भन्दा फरक मार्गबाट समय कदम नियन्त्रण हुन्छ, र सामग्री गुण तापक्रम-निर्भर हुँदा प्रत्येक समय कदमभित्र गैररैखिक पुनरावृत्ति गरिन्छ।
समय समाकलन योजना !HEAT को \(\beta\) प्यारामिटरद्वारा छनोट हुन्छ।
| \(\beta\) | योजना | विशेषता |
|---|---|---|
| 0.5 | क्राङ्क–निकोल्सन विधि | दोस्रो-क्रम शुद्धता। तापक्रम परिवर्तन मृदु भएको समस्याका लागि उपयुक्त। |
| 1.0 | पश्चगामी युलर विधि | पहिलो-क्रम शुद्धता। निशर्त स्थिर; दीर्घकालीन विश्लेषण वा तीव्र तापक्रम परिवर्तनमा स्थिरता सुनिश्चित गर्न सजिलो। |
समय कदमलाई प्रारम्भिक समय कदम, न्यूनतम समय कदम र एउटा चरणमा हुने अधिकतम तापक्रम परिवर्तनलाई संयोजन गरी अनुकूली रूपमा नियन्त्रण गरिन्छ। प्रत्येक समय कदमको गणनापछि तापक्रम परिवर्तन DELTMX भन्दा ठूलो भए समय कदम घटाएर पुनः गणना गरिन्छ। समय कदम न्यूनतम समय कदम DTMIN भन्दा तल गएमा विश्लेषण रोकिन्छ।
सामग्री गुण तापक्रम-निर्भर हुँदा प्रत्येक समय कदमभित्र गैररैखिक पुनरावृत्ति गरिन्छ। पुनरावृत्ति नियन्त्रण निम्न छ।
| भूमिका | प्यारामिटर |
|---|---|
| गैररैखिक पुनरावृत्तिको माथिल्लो सीमा। | !HEAT को ITMAX |
| अभिसरण निर्णय मान। | !HEAT को EPS |
स्थिर-अवस्था ताप चालनमा समय कदम प्रयोग हुँदैन र सामग्री तापक्रम-निर्भर हुँदा मात्र गैररैखिक पुनरावृत्ति हुन्छ। ताप चालन विश्लेषणको समय नियन्त्रण संरचनात्मक विश्लेषणको !STEP बाट स्वतन्त्र भएकाले समय कदम समायोजन गर्दा !HEAT को निर्दिष्टता जाँच गर्नुहोस्।
सम्बन्धित विषय¶
- विश्लेषण प्रकार — प्रत्येक विश्लेषण प्रकारको स्थान।
- सम्पर्क र इम्बेडिङ — सम्पर्क प्रकार, जोडी परिभाषा र समाधान एल्गोरिदम छनोट।
- सोल्भर र पूर्वसर्तकरण — न्यूटन पुनरावृत्तिभित्र बोलाइने रैखिक समकालीन समीकरणको समाधान।
- चरण नियन्त्रण — बाहिरी चरण तथा उपचरण नियन्त्रण र स्वचालित वृद्धि तथा cutback।
- न्यूटन–राफ्सन विधि (सिद्धान्त) — पुनरावृत्त समाधान विधिको सूत्रीकरण।
- अभिसरण निर्णय (सिद्धान्त) — अभिसरण सूचकहरूको गणितीय परिभाषा।
- गतिशील विश्लेषण विधि (सिद्धान्त) — न्यूमार्क-β विधि र केन्द्रीय अन्तर विधिको सूत्रीकरण।
- क्षणिक ताप चालन विश्लेषण (सिद्धान्त) — ताप चालनको समय समाकलन सूत्रीकरण।
- सम्पर्क विश्लेषण (सिद्धान्त) — लाग्रान्ज गुणक विधिको सूत्रीकरण।
- कुञ्जीशब्द सन्दर्भ: !STEP，!CONTACT_ALGO，!DYNAMIC，!HEAT।