Skip to content

रैखिक प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषण (परिचय)

यहाँ सानो-विरूपण सिद्धान्तमा आधारित प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषणको सूत्रीकरण देखाइन्छ। प्रतिबल–विकृति सम्बन्धका लागि रैखिक प्रत्यास्थता मानिएको छ। यो अध्याय परिमित तत्त्व विधिबाट संरचनात्मक विश्लेषणको समग्र चित्र बुझ्नका लागि परिचयात्मक अध्याय हो र एउटै अध्यायमा स्वतन्त्र रूपमा पढ्न मिल्ने गरी बनाइएको छ।

आभासी कार्यको सिद्धान्तको सामान्य चर्चा (वर्तमान विन्यास, प्रारम्भिक विन्यास र सानो-विकृतिमा सीमितीकरण) का लागि आभासी कार्यको सिद्धान्त, रैखिक प्रत्यास्थ संघटक नियमका लागि रैखिक प्रत्यास्थता, टेन्सर सङ्केतन र Voigt नियमका लागि टेन्सर सङ्केतन र गणितीय आधार, सीमित विरूपणको सामान्य सूत्रीकरणका लागि गति, विरूपण र विकृति, र गैररैखिक समस्याको समाधानका लागि ट्यान्जेन्ट कठोरता म्याट्रिक्स हेर्नुहोस्।

आधारभूत समीकरण

सानो विरूपण र रैखिक प्रत्यास्थताको मान्यताअन्तर्गत ठोस यान्त्रिकीको सीमा-मूल्य समस्या सन्तुलन समीकरण, यान्त्रिक सीमा सर्त र ज्यामितीय सीमा सर्त (आवश्यक सीमा सर्त) बाट बनेको हुन्छ (चित्र 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

यहाँ \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy प्रतिबल, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) प्रति एकाइ आयतनको वस्तुबल, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) सतही बल (निर्धारित मान), \(\overline{\boldsymbol{u}}\) निर्धारित विस्थापन, र \(S_t, S_u\) क्रमशः यान्त्रिक तथा ज्यामितीय सीमा हुन्।

ठोस यान्त्रिकीमा सीमा-मूल्य समस्या (सानो-विरूपण समस्या)

चित्र 2.1.1 ठोस यान्त्रिकीमा सीमा-मूल्य समस्या (सानो-विरूपण समस्या)

विकृति–विस्थापन सम्बन्ध सममित प्रवणता अपरेटर प्रयोग गरी

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

र रैखिक प्रत्यास्थ संघटक समीकरण

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

ले दिइन्छ (\(\boldsymbol{C}\) चौथो-क्रमको प्रत्यास्थ टेन्सर हो)।

आभासी कार्यको सिद्धान्त

आभासी कार्यको सिद्धान्तको सामान्य रूप (वर्तमान विन्यास रूप, प्रारम्भिक विन्यास रूप र सानो-विरूपणमा सीमितीकरण) आभासी कार्यको सिद्धान्त मा समेटिएको छ। सानो विरूपण र रैखिक प्रत्यास्थताको मान्यतामा कमजोर रूप

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

हो। संघटक समीकरण \eqref{eq:2.1.5} प्रतिस्थापन गरी Voigt सङ्केतन मा \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) लेख्दा, विविक्तीकरणमा प्रत्यक्ष प्रयोग हुने रूप

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

प्राप्त हुन्छ (\(D\) रैखिक प्रत्यास्थता को प्रत्यास्थ म्याट्रिक्स हो)। समीकरण \eqref{eq:2.1.10} र \eqref{eq:2.1.7} नै तल विविक्तीकरण गरिने आभासी कार्यको सिद्धान्त हुन्।

विविक्तीकरण र समग्र समीकरण संयोजन

आभासी कार्यको सिद्धान्तको समीकरण \( \eqref{eq:2.1.10} \) लाई प्रत्येक परिमित तत्त्वमा विविक्त गरी निम्न समीकरण प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

प्रत्येक तत्त्वमा तत्त्व बनाउने नोडहरूको विस्थापन प्रयोग गरी विस्थापन क्षेत्रलाई निम्न रूपमा अन्तर्वेशन गरिन्छ।

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

त्यस अवस्थामा विकृति समीकरण \(\eqref{eq:2.1.4}\) प्रयोग गरी

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

ले दिइन्छ। समीकरण \(\eqref{eq:2.1.12}\) र \(\eqref{eq:2.1.13}\) लाई समीकरण \(\eqref{eq:2.1.11}\) मा प्रतिस्थापन गर्दा

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

प्राप्त हुन्छ। समीकरण \(\eqref{eq:2.1.14}\) लाई

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

भनी समेट्न सकिन्छ। यहाँ, समीकरण \(\eqref{eq:2.1.16}\) र \(\eqref{eq:2.1.17}\) द्वारा परिभाषित म्याट्रिक्स तथा भेक्टरका घटक प्रत्येक परिमित तत्त्वमा गणना गरी अध्यारोपण गर्न सकिन्छ।

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.1.15}\) मनपर्ने आभासी विस्थापन \(\delta \boldsymbol{U}\) का लागि मान्य भएकाले

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

प्राप्त हुन्छ। अर्कोतर्फ विस्थापन सीमा सर्त समीकरण \(\eqref{eq:2.1.3}\) लाई

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

भनी लेखिन्छ। समीकरण \(\eqref{eq:2.1.18}\) लाई अवरोध सर्त \(\eqref{eq:2.1.19}\) अन्तर्गत समाधान गरेर नोड विस्थापन \(\boldsymbol{U}\) निर्धारण गर्न सकिन्छ।

सम्बन्धित विषय