Skip to content

रैखिक प्रत्यास्थता

यस अध्यायमा रैखिक प्रत्यास्थ सामग्रीको संघटक नियम (Hooke नियम) वर्णन गरिएको छ। प्रयोगको छनोट र इनपुट निर्दिष्टताको विवरणका लागि सुविधा खण्ड 03_material हेर्नुहोस्।

घटना (रैखिक प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया)

रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ भनेको लोडका कारण विकृति पर्याप्त सानो रहेको क्षेत्रमा प्रतिबल र विकृतिबीच रैखिक सम्बन्ध हुने, र लोड हटाउँदा सम्पूर्ण विकृति मूल अवस्थामा फर्कने प्रत्यावर्ती तथा इतिहास-स्वतन्त्र प्रतिक्रिया देखाउने सामग्री हो। प्लास्टिसिटी वा क्रिपभन्दा फरक, यसमा अवस्था जनाउने आन्तरिक चर (जस्तै प्लास्टिक विकृति वा श्यान विकृति) हुँदैनन्, र प्रतिबल हालको विकृतिबाट मात्र एकार्थ रूपमा निर्धारित हुन्छ।

सानो विरूपण क्षेत्रमा Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) र सूक्ष्म विकृति \(\boldsymbol{\varepsilon}\) प्रयोग गरिन्छ। परिमित विरूपण क्षेत्रमा (ठूलो घूर्णन भए पनि विकृति आफैं सानो हुने समस्या) दोस्रो Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) र Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) प्रयोग गरिन्छ (St.Venant-Kirchhoff सामग्री)।

संघटक नियम

समदिश रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ

सानो विरूपण क्षेत्रमा समदिश Hooke नियमलाई Lamé स्थिराङ्क \(\lambda, \mu\) प्रयोग गरी

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

लेखिन्छ। अवयव रूपमा

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

हुन्छ र विकृतिसँगको दोहोरो सङ्कुचनले \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) दिन्छ। Lamé स्थिराङ्कको Young गुणाङ्क \(E\) र Poisson अनुपात \(\nu\) सँग निम्न सम्बन्ध हुन्छ:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt निरूपणमा विकृति वेक्टर \(\hat{\varepsilon}\) र प्रतिबल वेक्टर \(\hat{\sigma}\) बीचको सम्बन्ध \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) लेखिन्छ, र त्रि-आयामी सामग्री म्याट्रिक्स \(D\) लाई

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

बाट दिइन्छ (कार्यान्वयनमा यही म्याट्रिक्स रूप प्रयोग हुन्छ)।

लम्बदिशीय-असमदिश रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ

मुख्य अक्षअनुसार प्रत्यास्थ स्थिराङ्क फरक हुने सामग्रीमा 9 स्वतन्त्र स्थिराङ्क भएको लम्बदिशीय-असमदिश मोडेल प्रयोग गरिन्छ: मुख्य अक्षका Young गुणाङ्क \(E_1, E_2, E_3\), मुख्य अक्षबीचका Poisson अनुपात \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), र कर्तन प्रत्यास्थ गुणाङ्क \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\)। \(D\) म्याट्रिक्सको ठोस रूपका लागि सामान्य सन्दर्भ साहित्य हेर्नुहोस्।

परिमित विरूपण क्षेत्र: St.Venant-Kirchhoff सामग्री

ठूलो घूर्णन भए पनि विकृति आफैं सानो हुने समस्यामा दोस्रो Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) र Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) सम्बन्धी रैखिक प्रत्यास्थ नियमका रूपमा St.Venant-Kirchhoff सामग्री प्रयोग गरिन्छ:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé स्थिराङ्क \(\lambda, \mu\) को परिभाषा सानो विरूपणको अवस्थासँग समान हुन्छ। तर प्रतिबल र विकृतिको परिभाषित जोडी फरक भएकाले यो सानो विरूपणको Hooke नियमभन्दा अलग संघटक नियम हो।

हाइपो-प्रत्यास्थ सामग्री

अपडेटेड ल्याग्रान्ज विधिमा सापेक्ष Kirchhoff प्रतिबल टेन्सरको Jaumann दर \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) र विरूपण-दर टेन्सर \(\boldsymbol{D}\) बीचको रैखिक प्रत्यास्थ नियम

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

प्रयोग गर्ने हाइपो-प्रत्यास्थ सामग्री लिइन्छ। यहाँ पनि Lamé स्थिराङ्कबाट \(\boldsymbol{C}\) को परिभाषा माथिकै जस्तो हुन्छ, तर प्रतिबल र विकृतिसम्बन्धी राशिको जोडी फरक भएकाले यो अलग संघटक नियम हो। समय समाकलन प्रक्रिया (अग्र Euler समाकलन र केन्द्रीय अन्तर आसन्नीकरण) द्वारा \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) को प्रतिबल अद्यावधिक हुने विवरण tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex मा हेर्नुहोस्।

द्वि-आयामी विश्लेषण तथा शेल तत्त्वका लागि सरलीकरण

समतलीय प्रतिबल (\(\sigma_{33} = 0\))

पातलो प्लेट वा शेलमा लोड प्रतिनिधित्व गर्ने समतलीय प्रतिबल अवस्थामा \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) मानिन्छ र बाहिरी-दिशाको विकृति अवयव \(\varepsilon_{33}\) तार्किक रूपमा हटाएर घटाइएको \(D\) प्रयोग गरिन्छ:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

समतलीय विकृति (\(\varepsilon_{33} = 0\))

मोटाइ दिशामा बन्धित लामो संरचनाको अनुप्रस्थ खण्ड प्रतिनिधित्व गर्ने समतलीय विकृति अवस्थामा \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) मानिन्छ:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

अक्षसममित

बेलनाकार निर्देशाङ्क \((r, \theta, z)\) मा \(\theta\) दिशामा समान समस्या सम्हाल्ने अक्षसममित विश्लेषणमा \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\), \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) का चार अवयव राखिन्छ र

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

हुन्छ।

शेल तत्त्व (समतलीय प्रतिबल + अनुप्रस्थ कर्तन)

शेल तत्त्वमा समतलभित्रको प्रतिबललाई समतलीय प्रतिबलका रूपमा व्यवहार गरिन्छ। साथै अनुप्रस्थ कर्तन विकृति अवयव \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) का लागि कर्तन-संशोधन गुणाङ्क \(\kappa\) (सामान्यतः \(\kappa = 5/6\)) सहित \(\kappa\, G\) प्रयोग गरिन्छ। प्रत्येक तत्त्वको ठोस सूत्रीकरणका लागि उन्नत तत्त्व सूत्रीकरण हेर्नुहोस्। सुविधा खण्ड 03_material मा रहेको “शेल तत्त्वले रैखिक प्रत्यास्थता मात्र समर्थन गर्छ” भन्ने निर्दिष्टता समतलभित्रको भागलाई समतलीय प्रतिबलका रूपमा व्यवहार गर्ने यही सरलीकरणमा आधारित छ।

तापक्रम निर्भरता

Young गुणाङ्क \(E\), Poisson अनुपात \(\nu\) र रैखिक तापीय प्रसार गुणाङ्क \(\alpha\) सामान्यतः तापक्रम \(T\) का फलनका रूपमा निर्दिष्ट गरिन्छ। FrontISTR मा सीमित तापक्रम बिन्दु \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) का मान इनपुट गरिन्छ, र गणनाको तापक्रम \(T\) मा छिमेकी बिन्दुबीच रैखिक अन्तर्वेशन गरिन्छ। दायराबाहिरको तापक्रम (\(T < T_1\) वा \(T > T_n\)) का लागि सबैभन्दा नजिकको छेउ \(T_1\) वा \(T_n\) को मान स्थिर रूपमा विस्तार गरिन्छ।

घनत्व, विशिष्ट ताप र ताप चालकता जस्ता तापीय गुणको तापक्रम निर्भरताका लागि तापीय गुणहरू हेर्नुहोस्। अन्तर्वेशन नियम यी गुणसँग समान छ।

सम्बन्धित विषय