प्रत्यास्थ-प्लास्टिकता¶

यस अध्यायमा FrontISTR ले अपनाएको प्रत्यास्थ-प्लास्टिक संघटक नियमको रूपरेखा वर्णन गरिन्छ। प्रयोगको छनोट र इनपुट निर्दिष्टीकरणका विवरणका लागि कार्य खण्डको 03_material हेर्नुहोस्।

घटना (प्लास्टिक विरूपण)¶

TBD (अर्को चरणमा मुख्य पाठ लेखिनेछ)।

संघटक नियमको रूपरेखा¶

FrontISTR ले सम्बद्ध प्रवाह नियममा आधारित प्रत्यास्थ-प्लास्टिक संघटक समीकरण अपनाउँछ। यस संघटक समीकरणले Kirchhoff प्रतिबलको Jaumann दर र विरूपण-दर टेन्सरबीचको सम्बन्ध व्यक्त गर्छ, र विरूपण विश्लेषणमा updated Lagrange विधि लागू हुन्छ।

प्रत्यास्थ-प्लास्टिक पदार्थको यिल्ड अवस्था निम्नानुसार दिइएको मानौं।

प्रारम्भिक यिल्ड अवस्था:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

पछिल्लो यिल्ड अवस्था:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

यहाँ,

\(F\): यिल्ड फलन
\(\sigma_{y_0}\): प्रारम्भिक यिल्ड प्रतिबल
\(\sigma_y\): पछिल्लो यिल्ड प्रतिबल
\(\sigma\): प्रतिबल टेन्सर
\(e\): सूक्ष्म विकृति टेन्सर
\(e^p\): प्लास्टिक विकृति टेन्सर
\(\overline{e}^p\): समतुल्य प्लास्टिक विकृति

यिल्ड प्रतिबल–समतुल्य प्लास्टिक विकृति सम्बन्ध एकअक्षीय अवस्थाको प्रतिबल–प्लास्टिक विकृति सम्बन्धसँग मिल्ने मानिन्छ।

एकअक्षीय अवस्थाको प्रतिबल–प्लास्टिक विकृति सम्बन्ध

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

यहाँ \(H'\) विकृति-दृढीकरण गुणाङ्क हो।

समतुल्य प्रतिबल–समतुल्य प्लास्टिक विकृति सम्बन्ध

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

पछिल्लो यिल्ड फलन सामान्यतः तापक्रम र प्लास्टिक विकृति-कार्यको फलन हुन्छ, तर यहाँ सरलताका लागि समतुल्य प्लास्टिक विकृति \(\overline{e}^p\) को मात्र फलन मानिन्छ। प्लास्टिक विरूपण अघि बढिरहँदा \(F = 0\) लगातार पूरा हुनुपर्ने भएकाले निम्न समीकरण पूरा हुनुपर्छ।

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

यहाँ \(\dot{F}\) ले \(F\) को समय अवकलज जनाउँछ; त्यसपछि कुनै राशि \(A\) को समय अवकलजलाई \(\dot{A}\) ले जनाइन्छ।

यहाँ प्लास्टिक विभव \(\Theta\) को अस्तित्व मानी प्लास्टिक विकृति-दरलाई निम्न समीकरणले व्यक्त गरिन्छ।

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

यहाँ \(\dot{\lambda}\) गुणाङ्क हो।

थप रूपमा, प्लास्टिक विभव \(\Theta\) यिल्ड फलन \(F\) बराबर मानी निम्न सम्बद्ध प्रवाह नियम ग्रहण गरिन्छ।

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

यो समीकरण सुसंगतता अवस्थामा प्रतिस्थापन गर्दा निम्न परिणाम प्राप्त हुन्छ।

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

यहाँ \(D\) प्रत्यास्थ म्याट्रिक्स हो र

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

हुन्छ। प्रत्यास्थ-प्लास्टिक प्रतिबल–विकृति सम्बन्धलाई निम्न रूपले लेख्न सकिन्छ।

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

प्रत्यास्थ-प्लास्टिक सामग्रीको यिल्ड फलन \(F\) ज्ञात भएपछि यही समीकरणबाट त्यसको संघटक समीकरण प्राप्त हुन्छ।

यिल्ड फलन¶

तल FrontISTR ले अपनाएका प्रत्यास्थ-प्लास्टिक यिल्ड फलनहरू सूचीबद्ध छन्।

Von Mises यिल्ड फलन¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

यहाँ \(J_2\) विचलन प्रतिबल टेन्सरको दोस्रो अपरिवर्त्य हो।

Mohr-Coulomb यिल्ड फलन¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

यहाँ \(\sigma_1, \sigma_3\) क्रमशः अधिकतम र न्यूनतम प्रधान प्रतिबल, \(c\) आसंजन बल र \(\phi\) आन्तरिक घर्षण कोण हुन्।

Drucker-Prager यिल्ड फलन¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

यहाँ सामग्री स्थिराङ्क \(\alpha\) र \(\sigma_y\) लाई सामग्रीको आसंजन बल र घर्षण कोणबाट निम्नानुसार गणना गरिन्छ।

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

सम्बन्धित विषय¶

रैखिक प्रत्यास्थता — प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया (प्रत्यास्थ-प्लास्टिकताको प्रत्यास्थ भाग)
स्पर्शरेखीय कठोरता म्याट्रिक्स — सामग्री अरैखिकता समेट्ने वृद्धिशील विश्लेषणको स्पर्शरेखीय कठोरता
सामग्री डेटा (कार्य) — यिल्ड फलन तथा दृढीकरण नियमका विकल्प र प्रयोगको छनोट