Skip to content

आकृति फलन र सीमित तत्त्व सन्निकटन

आभासी कार्यको सिद्धान्त को दुर्बल रूपलाई कम्प्युटरमा समाधान गर्न वस्तुको क्षेत्रलाई सीमित सङ्ख्याका तत्त्वमा विभाजन गरिन्छ र प्रत्येक तत्त्वभित्रका पदार्थ बिन्दुका निर्देशाङ्क, विस्थापन र परीक्षण फलनलाई नोडल मान तथा आकृति फलनद्वारा अन्तर्वेशन गरिन्छ। आकृति फलनका स्थानिक अवकलजका लागि आकृति फलनका स्थानिक अवकलज, दुर्बल रूपको विविक्तीकरणका लागि आन्तरिक बलको आभासी कार्यको विविक्तीकरण, र प्रत्येक तत्त्व प्रकारका आकृति फलनको ठोस रूपका लागि तत्त्व नम्बर प्रणाली र आकृति फलन पुस्तकालय तथा त्यसपछिका खण्ड हेर्नुहोस्।

क्षेत्र विभाजन र समाकलनको तत्त्वगत योग

सन्दर्भ विन्यासको क्षेत्र \(\Omega_0\) र वर्तमान विन्यासको क्षेत्र \(\Omega\) लाई क्रमशः तत्त्वहरू \(\Omega^e_0\) र \(\Omega^e\) को सङ्घद्वारा सन्निकटन गरिन्छ:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(यहाँ \(e\) तत्त्व नम्बर हो र तत्त्व सीमाहरू छिमेकी तत्त्वबीच साझा हुन्छन्)। यसबाट आभासी कार्यको सिद्धान्त मा आउने आयतन तथा सतह समाकलनलाई प्रत्येक तत्त्वको समाकलनको योगमा विघटन गर्न सकिन्छ:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(वर्तमान विन्यासका लागि पनि \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) प्रतिस्थापन गर्दा यही कुरा लागू हुन्छ)। त्यसपछि दुर्बल रूपको मूल्याङ्कन तत्त्व-एकाइका समाकलन निर्माणमा घट्छ।

नोडल मान र आकृति फलनद्वारा अन्तर्वेशन (आइसोप्यारामेट्रिक तत्त्व)

प्रत्येक तत्त्व \(\Omega^e_0\) मा \(n_e\) वटा नोड तोकिएका हुन्छन्। तत्त्व नोड \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) को सन्दर्भ-विन्यास निर्देशाङ्क र नोडल विस्थापनलाई \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) मान्दा, तिनलाई क्रमबद्ध गरेर बनेका तत्त्व नोडल सदिशहरू \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) र \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) समग्र नोडल सदिशहरू \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) बाट तत्त्व \(e\) बनाउने नोडका अवयवहरू मात्र निकालेर बनाइन्छन् (\(n_g\) समग्र नोड सङ्ख्या हो)।

तत्त्वभित्रको स्थानीय निर्देशाङ्क अर्थात् प्राकृतिक निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{r}\) लाई प्यारामिटर मान्ने आकृति फलन \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) प्रयोग गरी तत्त्वभित्रका पदार्थ निर्देशाङ्क, विस्थापन र परीक्षण फलनलाई एउटै आकृति फलनद्वारा अन्तर्वेशन गरिन्छ (आइसोप्यारामेट्रिक तत्त्व र गालर्किन विधि):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

आकृति फलनहरू निम्न दुई गुण पूरा गर्ने गरी बनाइन्छन्, र प्राकृतिक निर्देशाङ्कबाट पदार्थ निर्देशाङ्कमा हुने नक्साङ्कन \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) तत्त्वभित्र एक-देखि-एक हुने गरी तत्त्वको आकृति छनोट गरिन्छ:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(यहाँ \(\boldsymbol{r}_\alpha\) नोड \(\alpha\) सँग सम्बन्धित प्राकृतिक निर्देशाङ्कको बिन्दु हो र \(\delta_{\alpha\beta}\) क्रोनेकर डेल्टा हो)। पहिलो समीकरणले कठोर-पिण्ड स्थानान्तरण पुनरुत्पादन हुने कुरा सुनिश्चित गर्छ, र दोस्रो समीकरणले नोडमा अन्तर्वेशित मान नोडल मानसँग मिल्ने कुरा सुनिश्चित गर्छ। प्रत्येक तत्त्व प्रकारका \(n_e\) र \(N_\alpha^e\) का ठोस रूप तत्त्व नम्बर प्रणाली र आकृति फलन पुस्तकालय तथा त्यसपछिका खण्डमा दिइन्छन्। संकेतलाई अनावश्यक जटिल नबनाउन तत्त्व प्रकारमाथिको निर्भरता प्रत्येक तत्त्वको उपरिलिपि \(e\) द्वारा प्रतिनिधित्व गरिएको छ।

यी अन्तर्वेशन नियमबाट दुर्बल रूपको समाकल्यलाई तत्त्व नोडल मानहरू \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) र \(N_\alpha^e\) मात्र प्रयोग गरेर व्यक्त गर्न सकिन्छ। अर्कोतर्फ, विकृति अन्तर्वेशित विस्थापन र विकृति–विस्थापन सम्बन्ध बाट, तथा प्रतिबल उक्त विकृति र सामग्री संघटक नियम बाट व्युत्पन्न हुने राशि हुन्; तिनलाई नोडल मानबाट प्रत्यक्ष अन्तर्वेशन गरिँदैन। तिनीहरूको मूल्याङ्कन तत्त्वभित्रका समाकलन बिन्दुमा गरिन्छ (सङ्ख्यात्मक समाकलन)।

समग्र नोडल सदिशको क्रमबद्धता नियम

नोडमा तोकिएका भौतिक राशिहरूलाई समग्र नोडल सदिशमा नोड नम्बर → स्वतन्त्रता अंश को क्रममा आरोही रूपमा राखिन्छ। नोड \(\alpha\) को स्वतन्त्रता अंश \(i\) को अवयवलाई \(u_{i\alpha}\) मान्दा, त्रिविमीय (\(i=1,2,3\)) र द्विविमीय (\(i=1,2\)) अवस्थामा क्रमशः

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

हुन्छ। निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{X}^n\) र परीक्षण फलन \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ले पनि यही क्रम पछ्याउँछन्। त्यसपछिका खण्डमा आव्यूह र सदिश रूपका समीकरण रूपान्तरणहरू त्रिविमीय अवस्थालाई प्रतिनिधि मानेर लेखिन्छन्।

सम्बन्धित विषय