आकृति फलनका स्थानिक अवकलज¶

आकृति फलन र सीमित तत्त्व सन्निकटन मा परिचित गराइएको आकृति फलन \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) तत्त्वको स्थानीय निर्देशाङ्क अर्थात् प्राकृतिक निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{r}\) को फलनका रूपमा दिइन्छ। अर्कोतर्फ, दुर्बल रूपको समाकल्यमा विकृति–विस्थापन सम्बन्धमार्फत भौतिक निर्देशाङ्क (सन्दर्भ विन्यास \(\boldsymbol{X}\) वा वर्तमान विन्यास \(\boldsymbol{x}\)) का सम्बन्धमा आंशिक अवकलज \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) वा \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) देखा पर्छन्। यस अध्यायमा यी आकृति फलनका स्थानिक अवकलज लाई तत्त्व नोड निर्देशाङ्क र प्राकृतिक निर्देशाङ्कका अवकलजबाट गणना गर्ने प्रक्रिया व्यवस्थित गरिएको छ।

शृङ्खला नियमद्वारा स्थानिक अवकलजको अभिव्यक्ति¶

अन्तर्वेशन सूत्र \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (अघिल्लो अध्याय) मा शृङ्खला नियम लागू गर्दा प्राकृतिक निर्देशाङ्कबाट भौतिक निर्देशाङ्कमा हुने नक्साङ्कनको ज्याकोबियन आव्यूह \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) प्रयोग गरी

प्राप्त हुन्छ। यहाँ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) र \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) त्यस्ता आव्यूह हुन् जसको पङ्क्ति \(\alpha\) ले नोड \(\alpha\) को आंशिक अवकलज सदिश जनाउँछ र आकार \(n_e \times 3\) हुन्छ।

ज्याकोबियन आव्यूहको निर्माण¶

अन्तर्वेशन सूत्रलाई \(\boldsymbol{r}\) का सम्बन्धमा आंशिक अवकलन गर्दा

हुन्छ। यसैले ज्याकोबियन आव्यूहलाई तत्त्व नोड निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) र प्राकृतिक निर्देशाङ्क अवकलज \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) बाट प्रत्यक्ष निर्माण गर्न सकिन्छ। प्राकृतिक निर्देशाङ्क अवकलज आकृति फलनको कार्यात्मक रूपबाट निर्धारित हुन्छ र प्रत्येक तत्त्व प्रकारका लागि अग्रिम रूपमा कार्यान्वयन गरिएको हुन्छ।

ज्याकोबियन आव्यूहको निर्धारक \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) सङ्ख्यात्मक समाकलन मा आयतन तत्त्व रूपान्तरण \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) का लागि प्रयोग हुन्छ। निर्धारक \(0\) भए तत्त्व अपकृष्ट भएको हुन्छ र गणना असफल हुन्छ।

गणना प्रवाह¶

माथिको व्युत्पत्तिबाट स्थानिक अवकलज \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) को गणनालाई निम्न चार चरणमा विभाजन गर्न सकिन्छ।

1. प्राकृतिक निर्देशाङ्क अवकलजको गणना: तत्त्व प्रकार र मूल्याङ्कन बिन्दुको प्राकृतिक निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{r}\) लाई इनपुट मानी प्राकृतिक निर्देशाङ्क अवकलज आव्यूह \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) गणना गरिन्छ। आकृति फलनको कार्यात्मक रूप तत्त्व प्रकारअनुसार फरक हुने भएकाले तत्त्व प्रकारका आधारमा शाखा छुट्याइन्छ।
2. ज्याकोबियन आव्यूहको गणना: तत्त्व नोड निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{X}^e\) र \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) बाट अघिल्लो खण्डको सूत्रअनुसार ज्याकोबियन आव्यूह \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) संयोजन गरिन्छ।
3. व्युत्क्रम आव्यूह र निर्धारकको गणना: ज्याकोबियन आव्यूहको व्युत्क्रम \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) र निर्धारक गणना गरिन्छ। निर्धारक सङ्ख्यात्मक समाकलनको भारमा प्रयोग हुन्छ।
4. स्थानिक अवकलजको गणना: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) र \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) को गुणनफलबाट स्थानिक अवकलज \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) प्राप्त हुन्छ।

यी चार चरण तत्त्व प्रकार र स्थानिक आयाम (द्विविमीय वा त्रिविमीय) अनुसार शाखाबद्ध हुन्छन्, तर समग्र प्रवाह साझा हुन्छ।

सन्दर्भ विन्यास र वर्तमान विन्यासमा साझा प्रक्रिया¶

माथिको प्रक्रियामा \(\boldsymbol{X}^e\) लाई वर्तमान विन्यासका नोड निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ले मात्र प्रतिस्थापन गर्दा वर्तमान विन्यासको स्थानिक अवकलज \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) मा पनि यही प्रक्रिया लागू हुन्छ। त्यसैले टोटल लाग्रान्ज विधि र अपडेटेड लाग्रान्ज विधिमा इनपुट नोड निर्देशाङ्क मात्र बदल्दा एउटै प्रक्रिया साझा रूपमा प्रयोग गर्न सकिन्छ।

सम्बन्धित विषय¶

• आकृति फलन र सीमित तत्त्व सन्निकटन — आकृति फलन र तत्त्व नोड निर्देशाङ्कको परिभाषा
• आन्तरिक बलको आभासी कार्यको विविक्तीकरण — स्थानिक अवकलजबाट B आव्यूहको निर्माण
• सङ्ख्यात्मक समाकलन — गाउस समाकलनमा ज्याकोबियन निर्धारकको प्रयोग