आन्तरिक बलको आभासी कार्यको विविक्तीकरण¶

वृद्धिशील विश्लेषणको रूपरेखा मा समय \(t + \Delta t\) का लागि देखाइएको आभासी-कार्य समीकरण सन्दर्भ कन्फिगरेसनको छनोटअनुसार अपडेटेड ल्याग्रान्ज र टोटल ल्याग्रान्ज दुई विधिमा विभाजित हुन्छ। यस अध्यायमा आकार फलन र परिमित तत्त्व आसन्नीकरण तथा आकार फलनको स्थानिक अवकलन मा परिचित परिमित-तत्त्व आसन्नीकरण प्रयोग गरी दुवै सूत्रीकरणको आन्तरिक बलको आभासी कार्यलाई स्थानिक रूपमा विविक्त गरिन्छ र तत्त्व आन्तरिक-बल वेक्टर \(\boldsymbol{q}^e\) (UL विधि) तथा \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL विधि) प्राप्त गरिन्छ।

तत्त्व \(e\) का घटक नोड \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) का विस्थापनलाई \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), तत्त्व नोडीय विस्थापन वेक्टरलाई \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) को क्रममा राखिन्छ, र आभासी विस्थापन \(\delta \boldsymbol{u}^e\) पनि त्यही क्रममा परिभाषित हुन्छ। तत्त्वभित्रको विस्थापन आकार फलनद्वारा \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) का रूपमा अन्तर्वेशन गरिन्छ।

अपडेटेड ल्याग्रान्ज विधिको आन्तरिक बलको आभासी कार्य¶

अपडेटेड ल्याग्रान्ज विधिमा समय \(t\) को हालको कन्फिगरेसन \({}^{t}\Omega\) लाई सन्दर्भ कन्फिगरेसन मानी Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) र Almansi विकृतिको रैखिक भाग \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) प्रयोग गरी आन्तरिक बलको आभासी कार्यलाई

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

लेखिन्छ। \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) का प्रत्येक अवयवलाई आकार फलनको हालको-कन्फिगरेसन निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{x}\) सम्बन्धी अवकलन \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) र नोडीय आभासी विस्थापन \(\delta u^e_{i\alpha}\) को रैखिक संयोजनका रूपमा लेख्न सकिन्छ। Voigt निरूपणमा

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

हुन्छ। नोडीय ब्लक \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) भने \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) लाई Voigt नियमअनुसार राखिएको \(6 \times 3\) म्याट्रिक्स हो, र \(\boldsymbol{B}_L\) UL विधिको विकृति-विस्थापन सम्बन्ध म्याट्रिक्स हुन्छ। यसलाई आन्तरिक बलको आभासी कार्यमा प्रतिस्थापन गरी \(\delta \boldsymbol{u}^e\) अलग गर्दा

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

प्राप्त हुन्छ। \(\boldsymbol{q}^e\) को नोडीय ब्लक \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) तत्त्व \(\Omega^e\) को घटक नोड \(\alpha\) मा कार्य गर्ने आन्तरिक बल हो।

टोटल ल्याग्रान्ज विधिको आन्तरिक बलको आभासी कार्य¶

टोटल ल्याग्रान्ज विधिमा आधार कन्फिगरेसन \(\Omega_0\) लाई सन्दर्भ कन्फिगरेसन मानी दोस्रो Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) र Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) प्रयोग गरेर

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

लेखिन्छ। \(\delta \boldsymbol{E}\) लाई आभासी विस्थापनसम्बन्धी रैखिक पद र हालको विस्थापन ग्रेडियन्ट \(\partial u_k/\partial X_j\) सँगको गुणन भएको गैररैखिक पदमा विभाजन गरिन्छ:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

रैखिक पदलाई UL विधिसँग उही व्यवस्था नियम \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) मा लागू गरिएको नोडीय ब्लक \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) प्रयोग गरी

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

लेख्न सकिन्छ (सन्दर्भ कन्फिगरेसन फरक भएकाले घटक अवकलन मात्र \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) बाट \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) मा बदलिन्छ; सङ्केत UL विधिसँग साझा हुन्छ)। गैररैखिक पदलाई हालको विस्थापन ग्रेडियन्ट \(\partial u_k/\partial X_j\) र \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) को गुणनलाई Voigt नियमअनुसार राखेको नोडीय ब्लक \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) प्रयोग गरी

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

लेख्न सकिन्छ। त्यसैले \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) हुन्छ र \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) TL विधिको विकृति-विस्थापन सम्बन्ध म्याट्रिक्स हो। यसलाई आन्तरिक बलको आभासी कार्यमा प्रतिस्थापन गर्दा

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

प्राप्त हुन्छ। नोडीय ब्लक \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) तत्त्व \(\Omega^e_0\) को घटक नोड \(\alpha\) मा कार्य गर्ने आन्तरिक बल हो।

UL/TL को अनुरूपता र गणना प्रवाह¶

अपडेटेड ल्याग्रान्ज र टोटल ल्याग्रान्ज विधिका तत्त्व आन्तरिक-बल वेक्टरबीच निम्न अनुरूपता हुन्छ।

वस्तु	अपडेटेड ल्याग्रान्ज विधि	टोटल ल्याग्रान्ज विधि
सन्दर्भ कन्फिगरेसन	हालको कन्फिगरेसन \({}^{t}\Omega^e\)	आधार कन्फिगरेसन \(\Omega^e_0\)
प्रतिबल टेन्सर	Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\)	दोस्रो PK प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\)
विकृति परिवर्तन	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B म्याट्रिक्स	\(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\))	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
तत्त्व आन्तरिक बल	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

दुवैलाई एउटै प्रक्रियाबाट सम्हाल्न सकिन्छ: “आकार फलनका स्थानिक अवकलनबाट \(\boldsymbol{B}_L\) बनाउने”, “TL विधिमा हालको विस्थापन ग्रेडियन्टबाट \(\boldsymbol{B}_{NL}\) बनाई थप्ने”, “संघटक नियमअनुसार प्रतिबल (\(\boldsymbol{\sigma}\) वा \(\boldsymbol{S}\)) अद्यावधिक गर्ने”, र “समाकलन बिन्दुमा \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) वा \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) लाई तत्त्व क्षेत्रमाथि सङ्ख्यात्मक समाकलन गर्ने (सङ्ख्यात्मक समाकलन)”। सन्दर्भ कन्फिगरेसनको परिवर्तन (नोडीय निर्देशाङ्क र \(\boldsymbol{B}\) म्याट्रिक्सको निर्माण) र प्रतिबल टेन्सरको प्रतिस्थापनबाहेक अन्य प्रक्रिया साझा हुने भएकाले FrontISTR मा दुवै विधिको आन्तरिक-बल गणना साझा सबरुटिनबाट कार्यान्वित हुन्छ। तत्त्व आन्तरिक-बल वेक्टर \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) बाट समग्र आन्तरिक-बल वेक्टरको संयोजन बाह्य बलको आभासी कार्य र समग्र समीकरणको संयोजन मा वर्णन गरिएको छ।

सम्बन्धित विषय¶

आभासी कार्यको सिद्धान्त — प्रारम्भिक समीकरण
वृद्धिशील विश्लेषणको रूपरेखा — TL/UL शाखाको घोषणा
आकार फलनको स्थानिक अवकलन — B म्याट्रिक्सका घटक
बाह्य बलको आभासी कार्य र समग्र समीकरणको संयोजन — समग्र आन्तरिक-बल वेक्टरतर्फ
स्पर्शरेखीय कठोरता म्याट्रिक्स — आन्तरिक बलको समय अवकलनद्वारा रैखिकीकरण
भौतिक राशिहरूको सङ्केत सूची