Skip to content

बाह्य बलको आभासी कार्य र समग्र समीकरणको संयोजन

आन्तरिक बलको आभासी कार्यको विविक्तीकरण मा दुर्बल रूपको बायाँ पक्षलाई तत्त्व आन्तरिक-बल वेक्टर \(\boldsymbol{q}^e\) (UL विधि) वा \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL विधि) मा समेटिएको थियो। यस अध्यायमा बाह्य बलको आभासी कार्यबाट तत्त्व-नोडीय बाह्य-बल वेक्टर \(\boldsymbol{F}^e\) परिचय गरिन्छ। त्यसपछि तत्त्व-नोडीय भौतिक राशिहरूलाई समग्र नोड क्रमाङ्कअनुसार पुनःक्रमबद्ध गरी जम्मा गर्ने संयोजन क्रिया हुँदै FrontISTR को गैररैखिक संरचनात्मक विश्लेषणले हल गर्नुपर्ने नोडीय विस्थापनसम्बन्धी गैररैखिक समीकरण प्रणाली प्राप्त गरिन्छ।

बाह्य बलको आभासी कार्यको तत्त्व विभाजन

आभासी कार्यको सिद्धान्त को दायाँ पक्षलाई आयतन बल (वस्तु बल) र यान्त्रिक सीमामा निर्दिष्ट सतही बलबाट बनेको बाह्य बलको आभासी कार्यका रूपमा तत्त्वअनुसार विभाजन गर्न सकिन्छ। आकार फलन र परिमित तत्त्व आसन्नीकरण मा परिचित विस्थापन अन्तर्वेशनलाई म्याट्रिक्स रूपमा लेख्न, नोड \(\alpha\) को आकार फलन \(N_\alpha^e\) लाई विकर्णमा राखेको \(d \times d\) ब्लक \(\boldsymbol{N}_\alpha\) र ती ब्लकलाई तेर्सो राखेको \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) प्रयोग गरी \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) राखिन्छ। यसलाई सन्दर्भ कन्फिगरेसनमा लेखिएको बाह्य बलको आभासी कार्यमा प्रतिस्थापन गर्दा

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

प्राप्त हुन्छ। यहाँ तत्त्व-नोडीय बाह्य-बल वेक्टरलाई \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) को क्रममा राखिएको छ। यसरी बाह्य बलको आभासी कार्य पनि आन्तरिक बलतर्फ जस्तै “तत्त्व-नोडीय वेक्टर × परीक्षण फलन” को रूपमा लेखिन्छ (हालको कन्फिगरेसनमा लेख्दा पनि \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) प्रतिस्थापन गरेपछि उही रूप रहन्छ)।

तत्त्व-नोडीय भौतिक राशिहरूको संयोजन

प्रत्येक तत्त्वबाट प्राप्त नोडीय भौतिक राशिहरू \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) लाई समग्र नोड क्रमाङ्कअनुसार पुनःक्रमबद्ध गरी समग्र वेक्टरमा जम्मा गरिन्छ। तत्त्व \(\Omega^e\) को स्थानीय नोड क्रमाङ्क \(\alpha\) सँग मिल्ने समग्र नोड क्रमाङ्कलाई

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

लेख्दा तत्त्व-नोडीय भौतिक राशि समग्र नोडीय भौतिक राशिको सम्बन्धित अवयवसँग मिल्छ (\(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\) आदि)। सामान्यतः नोड \(i_g\) धेरै तत्त्वले साझा गर्ने भएकाले समग्र नोड क्रमाङ्क \(i_g\) हुने \((e, \alpha)\) जोडीहरूको समुच्चय

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

प्रयोग गरी \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) का रूपमा योग पुनर्लेखन गर्दा सबै नोड \(n_g\) का लागि नोडीय आन्तरिक बल तथा समग्र आन्तरिक-बल वेक्टर

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

प्राप्त हुन्छ। \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) नोड \(i_g\) मा कार्य गर्ने तत्त्व-नोडीय आन्तरिक बलहरूको परिणामी बल हो; बाह्य बल नलागी सन्तुलनमा भए यो \(\boldsymbol{0}\) हुन्छ। UL विधिमा पनि उही प्रक्रियाबाट \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) प्राप्त हुन्छ र मानका रूपमा \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) हुने भएकाले त्यसपछि छुट्याउन आवश्यक ठाउँबाहेक \(\boldsymbol{Q}\) प्रयोग गरिन्छ। समग्र बाह्य-बल वेक्टर \(\boldsymbol{F}\) पनि उही जम्मा प्रक्रियाबाट प्राप्त हुन्छ।

कार्यान्वयनमा समुच्चय \(\mathcal{E}(i_g)\) स्पष्ट रूपमा नबनाई तत्त्व लूपभित्र सम्बन्धित अवयवमा सीधै जोडिन्छ।

समग्र आन्तरिक-बल वेक्टर Q लाई 0 मा आरम्भ गर्नुहोस्：Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (तत्त्व सङ्ख्या)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

समग्र बाह्य-बल वेक्टर \(\boldsymbol{F}\) पनि उही प्रक्रियाबाट बनाइन्छ। समग्र नोड क्रमाङ्कले क्रमबद्ध वेक्टर वा म्याट्रिक्समा तत्त्व-नोडीय भौतिक राशिहरू थपेर भण्डारण गर्ने यो क्रियालाई संयोजन (assemble) भनिन्छ। दुई नोड क्रमाङ्कसम्बन्धी दोस्रो-क्रम टेन्सर (जस्तै कठोरता म्याट्रिक्स) का लागि समुच्चय \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) प्रयोग गरी उस्तै संयोजन क्रिया प्राप्त हुन्छ (ठोस निर्माणका लागि स्पर्शरेखीय कठोरता म्याट्रिक्स हेर्नुहोस्)।

हल गर्नुपर्ने गैररैखिक समीकरण

आन्तरिक र बाह्य बलको संयोजन परिणामलाई आभासी कार्यको सिद्धान्त मा प्रतिस्थापन गर्दा, ज्यामितीय सीमा सर्त पूरा गर्ने कुनै पनि परीक्षण फलन \(\delta\boldsymbol{u}^n\) का लागि मान्य हुनुपर्ने भएकाले

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

प्राप्त हुन्छ। वृद्धिशील विश्लेषण (वृद्धिशील विश्लेषणको रूपरेखा) को सन्दर्भमा समय उपसूचक \(_{n+1}\) फेरि राखी समग्र नोडीय वेक्टर जनाउने माथिल्लो सूचक \(^n\) हटाउँदा हल गर्नुपर्ने समीकरण

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

हुन्छ। समय \(t_{n+1}\) का नोडीय विस्थापन \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) खोज्ने विविक्त सीमा-मूल्य समस्या यस विस्थापनसम्बन्धी गैररैखिक समीकरणलाई ज्यामितीय सीमा सर्तसँगै हल गर्ने समस्यामा परिणत हुन्छ। समीकरणको रैखिकीकरण र स्पर्शरेखीय कठोरता म्याट्रिक्सको निर्माणका लागि स्पर्शरेखीय कठोरता म्याट्रिक्स, र पुनरावृत्ति समाधानका लागि Newton-Raphson विधि हेर्नुहोस्।

सम्बन्धित विषय