सङ्ख्यात्मक समाकलन¶

आन्तरिक बलको आभासी कार्यको विविक्तीकरण र बाह्य बलको आभासी कार्य तथा समग्र समीकरणको संयोजन बाट प्राप्त तत्त्व आन्तरिक बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) र तत्त्व कठोरता आव्यूह \(\boldsymbol{K}^e\) तत्त्व क्षेत्र \(\Omega^e\) वा \(\Omega^e_0\) माथिको समाकलन को रूप लिन्छन्। FrontISTR मा यी Gauss समाकलन सूत्र द्वारा संख्यात्मक रूपमा मूल्याङ्कन गरिन्छ।

Gauss समाकलन सूत्र र चर रूपान्तरण¶

Gauss समाकलन सूत्र ले मानक क्षेत्र \(\Xi\) माथिको समाकलन लाई समाकलन बिन्दु \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) मा समाकल्य का मान र भार \(w_i\) को रैखिक योग द्वारा सन्निकट गर्छ। तत्त्व क्षेत्र \(\Omega^e\) मा लागू गर्दा प्रतिचित्रण \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) द्वारा चर रूपान्तरण आवश्यक हुन्छ,

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

भन्न सकिन्छ। \(n_q\) समाकलन बिन्दु को संख्या र \(J_{\xi_i}\) रूपान्तरण Jacobian निर्धारक हो। मानक क्षेत्र \(\Xi\) तत्त्व प्रकारअनुसार निर्धारित हुन्छ (षट्फलक मा \([-1,1]^3\), त्रिभुज, चतुर्फलक र वेज मा सम्बन्धित सन्दर्भ आकृति), र समाकलन बिन्दु \(\boldsymbol{\xi}_i\) तथा भार \(w_i\) संख्यात्मक तालिकाका रूपमा दिइन्छन्। सतही समाकलन पनि तत्त्व पृष्ठ लाई 2-आयामी मानक क्षेत्र बाट प्रतिचित्रण गरेर यही रूपले सम्हालिन्छ।

FrontISTR ले प्रयोग गर्ने प्रतिनिधि समाकलन-बिन्दु संख्या तल देखाइएका छन् (तत्त्व प्रकारसँगको सम्बन्ध का लागि तत्त्व क्रमाङ्कन प्रणाली र आकृति-प्रकार्य पुस्तकालय हेर्नुहोस्)।

तत्त्व प्रकार	समाकलन सूत्र	समाकलन बिन्दु संख्या
4-नोड चतुष्फलक (`tet4n`)	1-बिन्दु सूत्र	1
10-नोड चतुष्फलक (`tet10n`)	4-बिन्दु सूत्र	4
6-नोड त्रिकोणीय प्रिज्म (`prism6n`)	2-बिन्दु सूत्र	2
15-नोड त्रिकोणीय प्रिज्म (`prism15n`)	9-बिन्दु सूत्र	9
8-नोड षट्फलक (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-नोड षट्फलक (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-नोड चतुर्भुज (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-नोड चतुर्भुज (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-नोड त्रिभुज (`tri3n`)	1-बिन्दु सूत्र	1
6-नोड त्रिभुज (`tri6n`)	3-बिन्दु सूत्र	3

षट्फलकीय, चतुर्भुज र रेखा तत्त्वमा प्रत्येक अक्षको Gauss-Legendre सूत्रको टेन्सर गुणनफल लिइन्छ। त्रिभुज, चतुर्फलक र त्रिकोणीय प्रिज्म मा सिम्प्लेक्स आकृति का लागि उपयुक्त विशेष सूत्र (त्रिभुजमै बहुपद लाई ठीकसँग समाकलित गर्ने बिन्दु विन्यास) प्रयोग गरिन्छ।

तत्त्व समाकलनमा प्रयोग¶

तत्त्व समाकलन मा प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) लाई मानक क्षेत्र को निर्देशाङ्क मानिन्छ (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), र भौतिक निर्देशाङ्क तर्फ प्रतिचित्रण आकृति प्रकार्य द्वारा नोड निर्देशाङ्क अन्तर्वेशन बाट दिइन्छ। सन्दर्भ विन्यास को छनोट (वृद्धिशील विश्लेषणको रूपरेखा) अनुसार निम्न रूपमा प्रयोग हुन्छ।

पूर्ण लाग्रान्जियन विधि (सन्दर्भ विन्यास \(\Omega^e_0\) मा समाकलित): प्रतिचित्रण र Jacobian लाई

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

मानी तत्त्व आन्तरिक बल र कठोरता आव्यूह लाई

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

द्वारा सन्निकट गरिन्छ। \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) सबै समाकलन बिन्दु \(\boldsymbol{r}_i\) मा मूल्याङ्कन गरिन्छन्।

अद्यावधिक लाग्रान्जियन विधि (हालको विन्यास \(\Omega^e\) मा समाकलित): प्रतिचित्रण र Jacobian लाई

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

मानी,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

द्वारा सन्निकट गरिन्छ।

दुवै सूत्रीकरण बीचको फरक प्रतिचित्रण को प्रविष्ट नोड निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) हो कि \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) हो भन्ने एउटै बिन्दुमा मात्र छ; समाकलन बिन्दु, भार र समाकलन-बिन्दु पुनरावृत्ति को संरचना साझा हुन्छ।

पूर्ण समाकलन र न्यून समाकलन¶

समाकल्य को बहुपद क्रम लाई ठीकसँग समाकलित गर्न पर्याप्त समाकलन बिन्दु प्रयोग गर्ने विधिलाई पूर्ण समाकलन, र त्योभन्दा एक चरण कम समाकलन बिन्दु प्रयोग गर्नेलाई न्यून समाकलन भनिन्छ। न्यून समाकलन कर्तन र आयतनात्मक लकिङ कम गर्न प्रयोग गरिन्छ, तर आवरग्लास मोड जस्ता कृत्रिम विरूपण मोड को उपचार पनि आवश्यक हुन्छ। तत्त्व प्रकारअनुसार समाकलन-बिन्दु संख्या र पूर्ण/न्यून छनोट तत्त्व क्रमाङ्कन प्रणाली र आकृति-प्रकार्य पुस्तकालय पछिका भाग तथा उच्च-कार्यसम्पादन तत्त्व सूत्रीकरण मा समेटिएको छ।

सम्बन्धित विषयहरू¶

आकृति प्रकार्यको स्थानिक अवकलज — Jacobian को गणना
आन्तरिक बलको आभासी कार्यको विविक्तीकरण — सङ्ख्यात्मक समाकलनको लक्ष्य
उच्च-कार्यसम्पादन तत्त्व सूत्रीकरण — न्यून समाकलन को प्रयोग