Translation update pending

The Nepali translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

सङ्ख्यात्मक समाकलन¶

आन्तरिक बलको आभासी कार्यको विविक्तीकरण र बाह्य बलको आभासी कार्य तथा समग्र समीकरणको संयोजन बाट प्राप्त तत्त्व आन्तरिक बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) र तत्त्व कठोरता आव्यूह \(\boldsymbol{K}^e\) तत्त्व क्षेत्र \(\Omega^e\) वा \(\Omega^e_0\) माथिको समाकलन को रूप लिन्छन्। FrontISTR मा यी Gauss समाकलन सूत्र द्वारा संख्यात्मक रूपमा मूल्याङ्कन गरिन्छ।

Gauss समाकलन सूत्र र चर रूपान्तरण¶

Gauss समाकलन सूत्र ले मानक क्षेत्र \(\Xi\) माथिको समाकलन लाई समाकलन बिन्दु \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) मा समाकल्य का मान र भार \(w_i\) को रैखिक योग द्वारा सन्निकट गर्छ। तत्त्व क्षेत्र \(\Omega^e\) मा लागू गर्दा प्रतिचित्रण \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) द्वारा चर रूपान्तरण आवश्यक हुन्छ,

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

भन्न सकिन्छ। \(n_q\) समाकलन बिन्दु को संख्या र \(J_{\xi_i}\) रूपान्तरण Jacobian निर्धारक हो। मानक क्षेत्र \(\Xi\) तत्त्व प्रकारअनुसार निर्धारित हुन्छ (षट्फलक मा \([-1,1]^3\), त्रिभुज, चतुर्फलक र वेज मा सम्बन्धित सन्दर्भ आकृति), र समाकलन बिन्दु \(\boldsymbol{\xi}_i\) तथा भार \(w_i\) संख्यात्मक तालिकाका रूपमा दिइन्छन्। सतही समाकलन पनि तत्त्व पृष्ठ लाई 2-आयामी मानक क्षेत्र बाट प्रतिचित्रण गरेर यही रूपले सम्हालिन्छ।

FrontISTR ले प्रयोग गर्ने प्रतिनिधि समाकलन-बिन्दु संख्या तल देखाइएका छन् (तत्त्व प्रकारसँगको सम्बन्ध का लागि तत्त्व क्रमाङ्कन प्रणाली र आकृति-प्रकार्य पुस्तकालय हेर्नुहोस्)।

तत्त्व प्रकार	समाकलन सूत्र	समाकलन बिन्दु संख्या
4-नोड चतुष्फलक (`tet4n`)	1-बिन्दु सूत्र	1
10-नोड चतुष्फलक (`tet10n`)	4-बिन्दु सूत्र	4
6-नोड त्रिकोणीय प्रिज्म (`prism6n`)	2-बिन्दु सूत्र	2
15-नोड त्रिकोणीय प्रिज्म (`prism15n`)	9-बिन्दु सूत्र	9
8-नोड षट्फलक (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-नोड षट्फलक (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-नोड चतुर्भुज (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-नोड चतुर्भुज (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-नोड त्रिभुज (`tri3n`)	1-बिन्दु सूत्र	1
6-नोड त्रिभुज (`tri6n`)	3-बिन्दु सूत्र	3

षट्फलकीय, चतुर्भुज र रेखा तत्त्वमा प्रत्येक अक्षको Gauss-Legendre सूत्रको टेन्सर गुणनफल लिइन्छ। त्रिभुज, चतुर्फलक र त्रिकोणीय प्रिज्म मा सिम्प्लेक्स आकृति का लागि उपयुक्त विशेष सूत्र (त्रिभुजमै बहुपद लाई ठीकसँग समाकलित गर्ने बिन्दु विन्यास) प्रयोग गरिन्छ।

तत्त्व समाकलनमा प्रयोग¶

तत्त्व समाकलन मा प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) लाई मानक क्षेत्र को निर्देशाङ्क मानिन्छ (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), र भौतिक निर्देशाङ्क तर्फ प्रतिचित्रण आकृति प्रकार्य द्वारा नोड निर्देशाङ्क अन्तर्वेशन बाट दिइन्छ। सन्दर्भ विन्यास को छनोट (वृद्धिशील विश्लेषणको रूपरेखा) अनुसार निम्न रूपमा प्रयोग हुन्छ।

पूर्ण लाग्रान्जियन विधि (सन्दर्भ विन्यास \(\Omega^e_0\) मा समाकलित): प्रतिचित्रण र Jacobian लाई

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

मानी तत्त्व आन्तरिक बल र कठोरता आव्यूह लाई

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

द्वारा सन्निकट गरिन्छ। \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) सबै समाकलन बिन्दु \(\boldsymbol{r}_i\) मा मूल्याङ्कन गरिन्छन्।

अद्यावधिक लाग्रान्जियन विधि (हालको विन्यास \(\Omega^e\) मा समाकलित): प्रतिचित्रण र Jacobian लाई

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

मानी,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

द्वारा सन्निकट गरिन्छ।

दुवै सूत्रीकरण बीचको फरक प्रतिचित्रण को प्रविष्ट नोड निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) हो कि \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) हो भन्ने एउटै बिन्दुमा मात्र छ; समाकलन बिन्दु, भार र समाकलन-बिन्दु पुनरावृत्ति को संरचना साझा हुन्छ।

पूर्ण समाकलन र न्यून समाकलन¶

समाकल्य को बहुपद क्रम लाई ठीकसँग समाकलित गर्न पर्याप्त समाकलन बिन्दु प्रयोग गर्ने विधिलाई पूर्ण समाकलन, र त्योभन्दा एक चरण कम समाकलन बिन्दु प्रयोग गर्नेलाई न्यून समाकलन भनिन्छ। न्यून समाकलन कर्तन र आयतनात्मक लकिङ कम गर्न प्रयोग गरिन्छ, तर आवरग्लास मोड जस्ता कृत्रिम विरूपण मोड को उपचार पनि आवश्यक हुन्छ। तत्त्व प्रकारअनुसार समाकलन-बिन्दु संख्या र पूर्ण/न्यून छनोट तत्त्व क्रमाङ्कन प्रणाली र आकृति-प्रकार्य पुस्तकालय पछिका भाग तथा उच्च-कार्यसम्पादन तत्त्व सूत्रीकरण मा समेटिएको छ।

सम्बन्धित विषयहरू¶

आकृति प्रकार्यको स्थानिक अवकलज — Jacobian को गणना
आन्तरिक बलको आभासी कार्यको विविक्तीकरण — सङ्ख्यात्मक समाकलनको लक्ष्य
उच्च-कार्यसम्पादन तत्त्व सूत्रीकरण — न्यून समाकलन को प्रयोग