Skip to content

3-आयामी ठोस तत्त्वका आकार फलन

आकार फलन र सीमित तत्त्व सन्निकटन मा परिचय गरिएको आकार फलन \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) का लागि, FrontISTR ले निरन्तर माध्यम विश्लेषणमा प्रयोग गर्ने 3-आयामी ठोस तत्त्वहरूको प्राकृतिक निर्देशांक प्रणाली र ठोस रूपहरू यस अध्यायमा संक्षेप गरिएको छ। लक्षित तत्त्वहरू चारमुखी प्रथम/द्वितीय क्रम (341・342), त्रिकोणीय प्रिज्म प्रथम/द्वितीय क्रम (351・352), र षट्फलकीय प्रथम/द्वितीय क्रम (361・362) गरी 6 प्रकार हुन्। HEC-MW मेश ढाँचामा नोड क्रम र फलक नम्बरका लागि कार्य सन्दर्भको तत्त्व पुस्तकालय हेर्नुहोस्।

यी आकार फलन र ज्याकबियन निर्धारक बाट तत्त्व समाकलन बनाउने प्रक्रिया सङ्ख्यात्मक समाकलन अनुसार हुन्छ। 361 का B-bar, F-bar र असंगत सूत्रीकरण तथा बीम र शेल तत्त्वका आकार फलन उच्च-कार्यसम्पादन तत्त्व सूत्रीकरण मा समेटिएका छन्।

प्राकृतिक निर्देशांक प्रणाली र आन्तरिक नोड क्रम

आकार फलन प्रत्येक तत्त्वको प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) मा परिभाषित हुन्छ। 3-आयामी ठोस तत्त्वमा तत्त्वको आकारअनुसार निम्न तीन प्रकारका प्राकृतिक निर्देशांक प्रणाली प्रयोग गरिन्छ।

  • षट्फलक (361・362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\)।
  • चतुष्फलक (341・342): आयतन निर्देशाङ्क \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\)। स्वतन्त्र चलका रूपमा \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) लिइन्छ र \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) बाट निर्धारण गरिन्छ।
  • त्रिकोणीय प्रिज्म (351・352): आधार त्रिभुजका आयतन निर्देशाङ्क \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) र अक्षीय निर्देशांक \(\zeta \in [-1, 1]\) संयोजन गरी \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) बनाइन्छ। सहायक परिमाण \(a = 1 - \xi - \eta\) लाई आधारको तेस्रो आयतन निर्देशाङ्क का रूपमा प्रयोग गरिन्छ।

प्रथम-क्रम तत्त्वमा तत्त्व नोड नम्बर HEC-MW इनपुट ढाँचा र आन्तरिक ढाँचामा समान हुन्छ। द्वितीय-क्रम तत्त्वमा किनाराका मध्य नोडहरूको क्रम-परम्परा फरक हुन्छ। FrontISTR ले HEC-MW ढाँचा (कुना नोडहरू घुमेर राखेपछि किनारा 1-2, 2-3, ... क्रमका मध्य नोड) इनपुटका रूपमा स्वीकार्छ, जबकि तत्त्व पुस्तकालयका आकार फलन अलग नोड क्रम मान्दै कार्यान्वित छन्।

दुवै ढाँचाको भिन्नता मेश पढेपछि तुरुन्त बोलाइने hecmw2fstr_mesh_conv ले प्रत्येक तत्त्वको क्रम परिवर्तन गरेर हटाउँछ। 3-आयामी ठोस तत्त्वमध्ये परिवर्तन गरिने दुई प्रकार निम्न हुन्।

तत्त्व प्रकार परिवर्तन तालिका विवरण
342 (द्वितीय-क्रम चतुष्फलक) Table342 10 नोडलाई \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) मा पुनःक्रमबद्ध गर्छ
352 (द्वितीय-क्रम त्रिकोणीय प्रिज्म) Table352 15 नोडलाई \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) मा पुनःक्रमबद्ध गर्छ

पुनःक्रमबद्धता तत्त्व संयोजकताको भण्डारण सरणी मा सीधै गरिने भएकाले त्यसपछि सबै तत्त्व-पुस्तकालय आह्वान मा FrontISTR को आन्तरिक नोड क्रम प्रयोग हुन्छ। द्वितीय-क्रम षट्फलकीय तत्त्व 362 मा HEC-MW इनपुट ढाँचा र FrontISTR आन्तरिक ढाँचाको मध्य नोड क्रम समान भएकाले परिवर्तन तालिका छैन। परिणाम आउटपुट गर्दा उल्टो परिवर्तन fstr2hecmw_mesh_conv बोलाई HEC-MW ढाँचाको नोड क्रममा फर्काएर लेखिन्छ, त्यसैले प्रयोगकर्ताले इनपुट/आउटपुट दुवैमा HEC-MW ढाँचामात्र ध्यान दिनुपर्छ। तलका आकार फलन का नोड नम्बर परिवर्तनपछि प्रयोग हुने FrontISTR आन्तरिक ढाँचाका हुन्।

प्रथम-क्रम तत्त्वका आकार फलन

प्रथम-क्रम चतुष्फलकीय तत्त्व (341) का आकार फलन आयतन निर्देशाङ्क नै हुन्:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

प्रथम-क्रम त्रिकोणीय प्रिज्म तत्त्व (351) का आकार फलन आधार त्रिभुजका रैखिक आकार फलन (\(a, \xi, \eta\)) र अक्षीय दिशाका रैखिक आकार फलन (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) को गुणनफल हुन्:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

प्रथम-क्रम षट्फलकीय तत्त्व (361) का आकार फलन तीन अक्षीय दिशाका रैखिक आकार फलन को टेन्सर गुणन हुन्:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

यहाँ \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) नोड \(\alpha\) को प्राकृतिक निर्देशांक मान हुन् (हरेक अवयव \(\pm 1\))।

द्वितीय-क्रम तत्त्वका आकार फलन

द्वितीय-क्रम चतुष्फलकीय तत्त्व (342) का आकार फलन 4 कुना नोड र किनाराका 6 मध्य नोडमा विभाजित हुन्छन्:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

मध्य नोड 5–10 क्रमशः किनारा 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4, 3-4 का मध्यबिन्दुसँग मेल खान्छन्।

द्वितीय-क्रम त्रिकोणीय प्रिज्म तत्त्व (352) का आकार फलन 6 कुना नोड, त्रिभुज फलकका 6 किनारा-मध्य नोड र अक्षीय किनाराका 3 मध्य नोड बाट बनेका हुन्छन्:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

मध्य नोड 7–9 आधार त्रिभुज (\(\zeta = -1\)) का प्रत्येक किनारा-मध्यबिन्दु, 10–12 माथिल्लो त्रिभुज (\(\zeta = +1\)) का प्रत्येक किनारा-मध्यबिन्दु र 13–15 अक्षीय किनाराका मध्यबिन्दु हुन्।

द्वितीय-क्रम षट्फलकीय तत्त्व (362) सेरेन्डिपिटी परिवारको 20-नोड तत्त्व हो। नोड \(\alpha\) को प्राकृतिक निर्देशांक मानलाई \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) मानौँ। कुना नोड (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), प्रत्येक अवयव \(\pm 1\)) का लागि

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

किनारा मध्य नोड (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), तीन प्राकृतिक निर्देशांकमध्ये एउटा \(0\) र बाँकी दुई \(\pm 1\)) का लागि, \(\xi_\alpha = 0\) हुने नोड (किनाराको दिशा \(\xi\) अक्ष) मा

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

किनाराको दिशा \(\eta\) अक्ष वा \(\zeta\) अक्ष हुने मध्य नोडका लागि पनि त्यस्तै, सम्बन्धित प्राकृतिक निर्देशांकलाई वर्ग पद बाट हटाइएको रूप प्रयोग गरिन्छ।

सम्बन्धित विषयहरू