उच्च-कार्यक्षमता तत्त्व सूत्रीकरण¶

त्रि-आयामी ठोस तत्त्वको सूत्रीकरण मा देखाइएको मानक विस्थापन-आधारित सूत्रीकरणलाई लगभग असंपीड्य सामग्री वा बङ्ग्याइ-प्रधान पातलो संरचनामा लागू गर्दा लकिङ (आयतन लकिङ वा कतरनी लकिङ) भनिने अनुचित अतिरিক্ত कठोरता देखा पर्छ। यसबाट बच्न FrontISTR ले B आव्यूह वा विरूपण प्रवणताको आयतन भाग मात्र प्रतिस्थापन गर्ने B-bar र F-bar विधि, आन्तरिक स्वतन्त्रता अंश थप्ने असङ्गत तत्त्व, दाबलाई स्वतन्त्र अज्ञात क्षेत्रका रूपमा लिने u-p मिश्रित तत्त्व, तथा प्लेट र बीम संरचनाका लागि विशेष MITC शेल तत्त्व र बीम तत्त्व उपलब्ध गराउँछ।

यस अध्यायमा यी उच्च-कार्यक्षमता तथा संरचनात्मक तत्त्वका सूत्रीकरणलाई तत्त्वअनुसार व्यवस्थित गरिएको छ।

B-bar विधि¶

8-नोड रैखिक हेक्साहेड्रल तत्त्वलाई लगभग असंपीड्य सामग्रीमा प्रयोग गर्दा, एउटै तत्त्वभित्रको विकृति स्थिर आयतनको सर्तसँग बाझिन सक्छ र आयतन लकिङ भनिने अतिरिक्त कठोरता देखा पर्छ। B-bar विधिले B आव्यूहमा आयतन प्रसारणमा योगदान गर्ने भागलाई तत्त्व केन्द्रमा मूल्याङ्कन गरिएको मानले प्रतिस्थापन गरी अत्यधिक बन्धन घटाउँछ [Hughes1980]।

तत्त्व केन्द्र \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) मा आकार फलनको स्थानिक अवकलजबाट गणना गरिएको B आव्यूहलाई \(\bar{\boldsymbol{B}}\) र समाकलन बिन्दु \(\boldsymbol{r}\) मा गणना गरिएको सामान्य B आव्यूहलाई \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) मानौँ। नोड \(\alpha\) को स्वतन्त्रता अंश \(i\) सँग सम्बन्धित विस्थापन–विकृति सम्बन्धमा आयतन विकृति अवयव \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) मा

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

थपिन्छ, र कतरनी अवयव \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) का लागि सामान्य \(\boldsymbol{B}\) प्रयोग गरिन्छ। यसरी प्राप्त B-bar आव्यूहबाट तत्त्व कठोरता र आन्तरिक बल भेक्टर असेम्बल गरिन्छ।

FrontISTR मा यो सूत्रीकरण 8-नोड रैखिक हेक्साहेड्रल तत्त्व (तत्त्व ID 361, तत्त्व नम्बर प्रणाली) का लागि मात्र उपलब्ध छ र सूक्ष्म विरूपण, टोटल लाग्रान्ज तथा अपडेटेड लाग्रान्ज सबैमा लागू गर्न सकिन्छ।

F-bar विधि¶

सीमित विरूपणमा आयतन परिवर्तनले विरूपण प्रवणता \(\boldsymbol{F}\) मार्फत गैररैखिक प्रभाव पार्ने भएकाले, B-bar विधिसँग समान आयतन-लकिङ उपचार विरूपण प्रवणताको चरणमै गर्ने विधि F-bar [deSouzaNeto1996] हो।

तत्त्व केन्द्र \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) मा मूल्याङ्कन गरिएको विरूपण प्रवणताको आयतन अनुपातलाई \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) र समाकलन बिन्दुमा विरूपण प्रवणताको आयतन अनुपातलाई \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) मानी, समाकलन बिन्दुको विरूपण प्रवणतालाई

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

ले प्रतिस्थापन गरिन्छ। यसबाट \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) हुन्छ र सम्पूर्ण तत्त्वमा आयतन अनुपात तत्त्व केन्द्रको मानसँग समान हुन्छ। प्रतिबल मूल्याङ्कन र विकृति–विस्थापन आव्यूह निर्माणमा प्रतिस्थापित \(\bar{\boldsymbol{F}}\) प्रयोग गरिन्छ, र तत्त्व कठोरतामा यस प्रतिस्थापनबाट उत्पन्न अतिरिक्त पदहरू समावेश गरी स्पर्शरेखीय आव्यूह असेम्बल गरिन्छ।

FrontISTR मा F-bar विधि 8-नोड रैखिक हेक्साहेड्रल तत्त्वका लागि मात्र कार्यान्वित छ र सूक्ष्म विरूपण तथा टोटल लाग्रान्ज / अपडेटेड लाग्रान्ज का गैररैखिक ज्यामिति दुवैमा लागू हुन्छ।

असङ्गत तत्त्व¶

8-नोड रैखिक हेक्साहेड्रल तत्त्वमा बङ्ग्याइ मोडका लागि आवश्यक विकृति स्वतन्त्रता अंश पर्याप्त हुँदैन र बङ्ग्याइ-प्रधान समस्यामा बङ्ग्याइ लकिङ देखिन्छ। असङ्गत तत्त्व [Taylor1976] ले यो कमी पूर्ति गर्न तत्त्वभित्र अतिरिक्त विस्थापन मोड थप्छ।

तत्त्व नोड विस्थापन \(\boldsymbol{u}^e\) का अतिरिक्त, तत्त्वभित्र मात्र रहने असङ्गत मोड स्वतन्त्रता अंश \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) प्रति तत्त्व 3 दिशा × 3 मोडका रूपमा थपिन्छ, र विस्थापन क्षेत्रलाई

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

ले सन्निकट गरिन्छ। प्राकृतिक निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) का लागि असङ्गत आकार फलनहरू \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) लिइन्छ। यी फलनले तत्त्व सीमामा निरन्तरता सुनिश्चित गर्दैनन्, तर बङ्ग्याइ मोडको विकृति पुनरुत्पादन गर्न सक्ने स्थान तत्त्वभित्र थप्छन्।

तत्त्व कठोरतालाई बाह्य–आन्तरिक स्वतन्त्रता अंशको ब्लक विभाजन

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

का रूपमा असेम्बल गरेपछि, आन्तरिक स्वतन्त्रता अंशलाई \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) द्वारा हटाउने स्थिर सङ्कुचन गरिन्छ। त्यसपछि बाह्य स्वतन्त्रता अंश मात्र भएको तत्त्व कठोरता

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

समग्र असेम्बलीमा पठाइन्छ।

FrontISTR मा असङ्गत तत्त्व 8-नोड रैखिक हेक्साहेड्रल तत्त्व (C3D8IC) का लागि मात्र कार्यान्वित छ र सूक्ष्म विरूपण, टोटल लाग्रान्ज तथा अपडेटेड लाग्रान्ज सबैमा लागू गर्न सकिन्छ।

U-P मिश्रित तत्त्व¶

B-bar र F-bar विधिले विस्थापन-आधारित ढाँचाभित्र आयतन भाग सच्याउने विपरीत, u-p मिश्रित (U-P) तत्त्वले दाब \(\lambda\) लाई विस्थापनबाट स्वतन्त्र अज्ञात क्षेत्रका रूपमा थप्ने मिश्रित सूत्रीकरण [Bathe1996] प्रयोग गर्छ। लगभग असंपीड्य सामग्रीमा (पोइसन अनुपात 0.5 नजिक भएको रबर-जस्तो सामग्री वा प्लास्टिक विरूपणपछि धातु आदि) विस्थापन क्षेत्र मात्र प्रयोग गरेर स्थिर-आयतन सर्त पूरा गर्न खोज्दा आयतन लकिङ उत्पन्न हुन्छ; दाबलाई स्वतन्त्र चर बनाएर यो बन्धन खुकुलो पारिन्छ।

प्रतिबललाई विचलन भाग र दाबमा छुट्याएर

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

ले लेखिन्छ। यहाँ \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) प्रत्यास्थता आव्यूहबाट बल्क मापाङ्क \(K\) सँग समानुपाती आयतन भाग हटाइएको विचलन प्रत्यास्थता आव्यूह हो। दाब \(\lambda\) र आयतन विकृति \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) लाई संपीड्यता \(\alpha^{-1} = 1/K\) मार्फतको बन्धन सर्त

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

ले जोड्छ। विस्थापन \(\boldsymbol{u}\) र दाब \(\lambda\) लाई अज्ञात मानेर विविक्तीकरण गर्दा तत्त्वको संयुक्त समीकरण

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

प्राप्त हुन्छ। यहाँ \(\mathbf{K}_{uu}\) मा विचलन प्रत्यास्थता भाग र (सीमित विरूपणमा) ज्यामितीय कठोरता समावेश हुन्छ, \(\mathbf{K}_{up}\) ले आयतन विकृति र दाब जोड्छ, र \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) दाबको स्थिरीकरण पद हो (\(\boldsymbol{N}_p\) दाबको आकार फलन हो)। दाब स्वतन्त्रता अंश तत्त्वभित्रै बन्द हुने भएकाले,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

का रूपमा स्थिर सङ्कुचन गरी बाह्य (विस्थापन) स्वतन्त्रता अंश मात्र भएको प्रभावकारी कठोरता समग्र असेम्बलीमा पठाइन्छ।

FrontISTR मा U-P तत्त्व 8-नोड रैखिक हेक्साहेड्रल तत्त्वका लागि मात्र कार्यान्वित छ र प्रति तत्त्व 1 दाब स्वतन्त्रता अंश (तत्त्वभित्र स्थिर) प्रयोग हुन्छ। यो सूक्ष्म विरूपण, टोटल लाग्रान्ज तथा अपडेटेड लाग्रान्ज सबैमा लागू हुन्छ। अपडेटेड लाग्रान्ज मा विचलन प्रतिबललाई वस्तुनिष्ठ प्रतिबल-दर (Jaumann／Hughes-Winget प्रकार) ले अद्यावधिक गरेपछि, स्थिर सङ्कुचनबाट प्राप्त मानका आधारमा दाब \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) लागू गरिन्छ।

शेल तत्त्व¶

पातलो प्लेट तथा शेल संरचनाका लागि Reissner-Mindlin प्लेट-शेल सिद्धान्तमा आधारित शेल तत्त्व प्रयोग गरिन्छ। निम्न-क्रमको विस्थापन-आधारित प्लेट-शेल तत्त्वमा मोटाइ घट्दै जाँदा अनुप्रस्थ कतरनी विकृति आयतन लकिङसँग मिल्दोजुल्दो संयन्त्र (कतरनी लकिङ) बाट बढी मूल्याङ्कन हुन्छ र बङ्ग्याइ मोडको कठोरता अत्यधिक बढ्छ। MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) विधि [Dvorkin1984] [Bathe1986] ले कतरनी विकृति अवयव मात्र तत्त्वभित्र पूर्वनिर्धारित टाइङ बिन्दुमा पुनः नमुना लिई, ती नमुना मानलाई तत्त्वभित्र फेरि अन्तर्वेशन गरेर यो समस्या टार्छ।

MITC शेल तत्त्वका नोड वक्र सतहको मध्य-सतहमा हुन्छन्। प्रत्येक नोडमा 3 स्थानान्तरण अवयव र मध्य-सतह सामान्य अक्ष वरिपरि 3 घूर्णन अवयव गरी 6 स्वतन्त्रता अंश हुन्छन्। तत्त्व कठोरता मध्य-सतहको प्राकृतिक निर्देशाङ्क र मोटाइ दिशासहित कुल त्रि-आयामी Gaussian समाकलनबाट मूल्याङ्कन गरिन्छ, र प्लेट मोटाइ \(h\) सामग्री सम्बन्ध नियम गणना गर्दा तत्त्व गुणका रूपमा दिइन्छ।

FrontISTR ले मध्य-सतहलाई एउटै तहका रूपमा व्यवहार गर्ने MITC3 (तत्त्व ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743), तथा मोटाइ दिशामा दुई तहमा नोड राखिएका तहयुक्त शेल तत्त्व MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 नोड, प्रति नोड 3 स्वतन्त्रता अंश) र MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 नोड, प्रति नोड 3 स्वतन्त्रता अंश) उपलब्ध गराउँछ। तहयुक्त शेल तत्त्वमा नोड स्वतन्त्रता अंश केवल 3 स्थानान्तरण अवयव हुन्छन् र घूर्णन स्वतन्त्रता अंशसँग समतुल्य बङ्ग्याइ मोड दुई-तह विन्यासद्वारा व्यक्त गरिन्छ।

बीम तत्त्व¶

गर्डर र फ्रेम जस्ता रेखीय संरचनालाई बीम तत्त्वले विविक्तीकरण गरिन्छ। FrontISTR ले कतरनी विरूपणलाई समावेश गर्ने Timoshenko बीम सूत्रीकरण प्रयोग गर्छ र बङ्ग्याइ तथा कतरनी दुवैलाई विस्थापन तथा घूर्णन स्वतन्त्रता अंशका फलनका रूपमा वर्णन गर्छ।

बीम तत्त्वको प्रत्येक नोडमा 3 स्थानान्तरण अवयव र अक्ष तथा अनुप्रस्थ अक्ष वरिपरि 3 घूर्णन अवयव गरी 6 स्वतन्त्रता अंश हुन्छन्। तत्त्व कठोरता बीमको अक्षीय दिशामा एक-आयामी सङ्ख्यात्मक समाकलनबाट मूल्याङ्कन गरिन्छ। क्रस-सेक्सन क्षेत्रफल \(A\) र बङ्ग्याइ/मरोड दिशाका क्षेत्रफलका दोस्रो आघूर्ण \(I\) लाई बीमको क्रस-सेक्सन स्थिराङ्कका रूपमा तत्त्व गुणमा दिइन्छ, र सामग्रीको यङ मापाङ्क \(E\) तथा कतरनी मापाङ्क \(G\) सँग मिलेर तनन, बङ्ग्याइ, मरोड र कतरनीका कठोरता गुणाङ्क बनाउँछन्।

FrontISTR ले 2-नोड सीधा बीम तत्त्व (तत्त्व ID 611) र 3 नोडद्वारा व्यक्त 4-नोड टेट्राहेड्रल ठोस–बीम हाइब्रिड तत्त्व (641, मिश्रित स्वतन्त्रता अंशका लागि) उपलब्ध गराउँछ।

सम्बन्धित विषय¶

त्रि-आयामी ठोस तत्त्वको सूत्रीकरण — मानक सूत्रीकरणसँग तुलना
तत्त्व नम्बर प्रणाली र आकार-फलन लाइब्रेरी — तत्त्व प्रकार ID
तत्त्व लाइब्रेरी (कार्य) — प्रत्येक तत्त्व चयनका निर्देशिका