गति, विरूपण र विकृति¶

सन्दर्भ विन्यास र वर्तमान विन्यास¶

विन्यासको परिभाषा¶

भौतिक राशि कुन समयको आकारलाई आधार मानेर वर्णन गरिएको हो भन्ने छुट्याउन यस म्यानुअलले दुई प्रकारका विन्यास प्रयोग गर्छ।

सन्दर्भ विन्यास (सन्दर्भ विन्यास): विश्लेषण सुरु हुँदाको (समय \(0\)) विरूपणअघिको आकार (प्रारम्भिक विन्यास पनि भनिन्छ)। सन्दर्भ विन्यासको बिन्दुलाई पदार्थीय निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{X}\) ले जनाइन्छ, आयतन \(V\) र सतह \(S\) हुन्छ।
वर्तमान विन्यास (वर्तमान विन्यास): समय \(t\) मा विरूपणपछिको आकार। वर्तमान विन्यासको बिन्दुलाई स्थानिक निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{x}\) ले जनाइन्छ, आयतन \(v\) र सतह \(s\) हुन्छ।

गति यी दुई विन्यासबीचको म्यापिङ \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) का रूपमा व्यक्त हुन्छ र विस्थापन \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ले परिभाषित हुन्छ।

विन्यास-निर्भर सङ्केत नियम (ठूला/साना अक्षर)¶

भौतिक राशि कुन विन्यासमा पर्छ भन्ने अक्षरको आकारबाट छुट्याइन्छ।

सन्दर्भ विन्यासका राशि ठूला अक्षर मा लेखिन्छन् (उदाहरण: \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\))।
वर्तमान विन्यासका राशि साना अक्षर मा लेखिन्छन् (उदाहरण: \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\))।
पहिलो Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{P}\) जस्ता दुवै विन्याससँग सम्बन्धित राशिमा परम्परागत सङ्केत प्रयोग गरी पाठमा आवश्यकतानुसार स्पष्ट गरिन्छ।
सानो-विरूपण सिद्धान्तमा दुई विन्यासबीचको फरक हराउने भएकाले साना अक्षर (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) मात्र प्रयोग हुन्छन्।

सन्दर्भ र वर्तमान विन्यासका प्रवणता¶

स्थानिक अवकलन कुन विन्यासमा लिइन्छ भन्नेअनुसार सङ्केत र अर्थ फरक हुन्छ।

सन्दर्भ विन्यास प्रवणता \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): पदार्थीय निर्देशाङ्कसम्बन्धी प्रवणता। उदाहरण: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\)।
वर्तमान विन्यास प्रवणता \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): स्थानिक निर्देशाङ्कसम्बन्धी प्रवणता। उदाहरण: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\)।

यी दुई \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) द्वारा सम्बन्धित छन्। समय अवकलनको नियम (पदार्थीय समय अवकलन \(\dot{(\cdot)}\)) का लागि टेन्सर सङ्केतन र गणितीय आधार हेर्नुहोस्।

गतिको वर्णन¶

गति म्यापिङ र पदार्थीय/स्थानिक वर्णन¶

निरन्तर माध्यमलाई समय \(0\) मा स्थिति \(\boldsymbol{X}\) ले लेबल गरिएका पदार्थ बिन्दुहरूको समुच्चय मान्दा, गतिलाई पदार्थ बिन्दु \(\boldsymbol{X}\) बाट समय \(t\) को स्थिति \(\boldsymbol{x}\) मा लैजाने म्यापिङ \(\phi\) द्वारा

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

भनी व्यक्त गरिन्छ। सन्दर्भ विन्यासलाई प्रारम्भिक विन्यास मान्ने नियममा \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) हुन्छ।

स्वतन्त्र चरको छनोटअनुसार दुई प्रकारका वर्णन छुट्याइन्छन्।

पदार्थीय वर्णन (Lagrange वर्णन): भौतिक राशिलाई \((\boldsymbol{X}, t)\) को फलनका रूपमा व्यक्त गर्छ। ठोस यान्त्रिकीमा सन्दर्भ विन्यास स्थिर आकारका रूपमा दिइने भएकाले यो स्वाभाविक छनोट हो।
स्थानिक वर्णन (Euler वर्णन): भौतिक राशिलाई \((\boldsymbol{x}, t)\) को फलनका रूपमा व्यक्त गर्छ। तरल यान्त्रिकीमा यो मानक रूपमा प्रयोग हुन्छ।

FrontISTR को संरचनात्मक विश्लेषण मूलतः पदार्थीय वर्णनमा आधारित छ, तर Updated Lagrange विधिमा वर्तमान विन्यासलाई नयाँ सन्दर्भ विन्यास बनाइने भएकाले स्थानिक वर्णनका राशि पनि प्रयोग हुन्छन्।

विस्थापन, वेग र त्वरण¶

विस्थापन \(\boldsymbol{u}\) अघिल्लो खण्डअनुसार \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ले परिभाषित हुन्छ। यसको परिमाणबारे कुनै सानो हुने मान्यता राखिँदैन र सीमित विरूपणसम्म समेटिन्छ। वेग र त्वरण भेक्टर पदार्थ बिन्दु स्थिर राखी \(\boldsymbol{u}\) को पदार्थीय समय अवकलनका रूपमा

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

ले परिभाषित हुन्छन्।

विरूपण प्रवणता र विरूपण टेन्सर¶

विरूपण प्रवणता टेन्सर¶

सीमित-विरूपण निरन्तर-माध्यम यान्त्रिकीको आधारभूत राशि विरूपण प्रवणता टेन्सर \(\boldsymbol{F}\) हो। यसले सन्दर्भ विन्यासको सूक्ष्म रेखाखण्ड \(d\boldsymbol{X}\) लाई वर्तमान विन्यासको सूक्ष्म रेखाखण्ड \(d\boldsymbol{x}\) मा म्यापिङ गर्छ र गति म्यापिङको पदार्थीय निर्देशाङ्कसम्बन्धी प्रवणताका रूपमा

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

ले परिभाषित हुन्छ (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\))। अविरूपित अवस्थामा \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) हुन्छ। \(\boldsymbol{F}\) विकृति र प्रतिबलको परिभाषा तथा विन्यासबीच भौतिक राशिको रूपान्तरणमा व्यापक रूपमा प्रयोग हुन्छ।

आयतन परिवर्तन अनुपात¶

सन्दर्भ विन्यासको सूक्ष्म आयतन \(dV\) र वर्तमान विन्यासको सूक्ष्म आयतन \(dv\) को अनुपातलाई आयतन परिवर्तन अनुपात \(J\) भनिन्छ र

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

ले दिइन्छ। निरन्तर माध्यमको प्रतिवर्तनीयताका कारण \(J > 0\) मानिन्छ। द्रव्यमान संरक्षण नियम \(\rho_0 = J\rho\) का रूपमा लेखिन्छ।

दायाँ र बायाँ Cauchy-Green विरूपण टेन्सर¶

विरूपण प्रवणता \(\boldsymbol{F}\) मा कठोर-पिण्ड घूर्णन पनि समावेश हुने भएकाले शुद्ध विरूपणको मापनका लागि त्यसलाई हटाइएको राशि प्रयोग गरिन्छ। दायाँ Cauchy-Green विरूपण टेन्सर \(\boldsymbol{C}\) (सन्दर्भ विन्यास) र बायाँ Cauchy-Green विरूपण टेन्सर \(\boldsymbol{b}\) (वर्तमान विन्यास) लाई

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

ले परिभाषित गरिन्छ। दुवै सममित टेन्सर हुन् र एउटै आइगेनमान (मुख्य तन्काइ अनुपातको वर्ग) राख्छन्। हाइपरइलास्टिक विकृति-ऊर्जा फलनका मुख्य अपरिवर्तक यी टेन्सरबाट दिइन्छन्।

विकृति टेन्सर¶

Green-Lagrange विकृति टेन्सर¶

सन्दर्भ विन्यासमा आधारित विकृति मापन Green-Lagrange विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{E}\) लाई

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

ले परिभाषित गरिन्छ। यो सन्दर्भ विन्यासका सूक्ष्म भेक्टरहरूको आन्तरिक गुणनमा हुने परिवर्तन जनाउने सममित टेन्सर हो; कठोर-पिण्ड घूर्णनमा अपरिवर्तक रहन्छ र अविरूपित अवस्थामा \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) हुन्छ। \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) प्रयोग गर्दा

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

भनी विस्थापन प्रवणताका पहिलो र दोस्रो क्रमका पदहरूको योगमा लेखिन्छ; दोस्रो-क्रम पदले ज्यामितीय गैररैखिकता जनाउँछ। Total Lagrange विधिमा प्रतिबल-संयुग्मित जोडी \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) का रूपमा प्रयोग हुन्छ।

Almansi विकृति टेन्सर¶

वर्तमान विन्यासमा आधारित विकृति मापन Almansi विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{e}\) लाई

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

ले परिभाषित गरिन्छ। Green-Lagrange विकृति सँग \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (पुल-ब्याक) सम्बन्ध हुन्छ।

सानो विकृति टेन्सर¶

विस्थापन प्रवणता सानो भए (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange विकृतिको दोस्रो-क्रम पद बेवास्ता गर्न सकिन्छ। साथै दुई विन्यासको फरक हराउने हुँदा प्रवणतालाई स्थानिक निर्देशाङ्कमा लेखिएको सानो विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{\varepsilon}\) मा सीमित हुन्छ:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR को रैखिक स्थैतिक विश्लेषण, मोडल विश्लेषण, आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण र रैखिक गतिशील विश्लेषणमा यही विकृति मापन प्रयोग हुन्छ। सीमित-विरूपण विश्लेषणमा Total Lagrange विधिले \(\boldsymbol{E}\) र Updated Lagrange विधिले वर्तमान विन्यासमा आधारित विरूपण-दर टेन्सर \(\boldsymbol{D}\) प्रयोग गर्छ।