Skip to content

प्रतिबल र संरक्षण नियम

यस अध्यायमा प्रतिबल टेन्सरहरूको परिभाषा र आपसी सम्बन्ध तथा द्रव्यमान, रेखीय संवेग र कोणीय संवेगका संरक्षण नियमबाट प्राप्त हुने सन्तुलन समीकरण र प्रतिबल सममिति व्यवस्थित गरिएको छ। तीन प्रकारका प्रतिबल टेन्सर—Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\), पहिलो Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{P}\) र दोस्रो Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\)—सन्दर्भ सतह र बल सदिशका लागि कुन विन्यास अपनाइन्छ भन्ने भिन्नताका आधारमा परिचय गरिन्छ। विन्यास, गति र विरूपण प्रवणताको परिभाषाका लागि गति, विरूपण र विकृति, र सङ्केतहरूको सूचीका लागि भौतिक परिमाणका सङ्केतहरूको सूची हेर्नुहोस्।

Cauchy प्रतिबल टेन्सर

वर्तमान विन्यासको बिन्दु \(\boldsymbol{x}\) मा रहेको सूक्ष्म सतह (क्षेत्रफल \(d\Gamma\), बाहिरतर्फको एकक अभिलम्ब \(\boldsymbol{n}\)) मा लाग्ने बललाई \(d\boldsymbol{f}\) मानौँ र कर्षण सदिश \(\boldsymbol{t}\) लाई एकक क्षेत्रफलमा लाग्ने बल, अर्थात् \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\), द्वारा परिभाषित गरौँ। \(\boldsymbol{t}\) स्थान \(\boldsymbol{x}\) र अभिलम्ब \(\boldsymbol{n}\) दुवैमा निर्भर हुन्छ। सूक्ष्म चतुष्फलकमा संवेग संरक्षण नियम लागू गर्दा \(\boldsymbol{t}\), \(\boldsymbol{n}\) का सन्दर्भमा रेखीय हुन्छ र द्वितीय-कोटिको टेन्सर \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) अस्तित्वमा हुन्छ, जसका लागि

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

कुनै पनि \(\boldsymbol{n}\) का लागि मान्य हुन्छ (Cauchy प्रतिबल प्रमेय)। यस टेन्सर \(\boldsymbol{\sigma}\) लाई Cauchy प्रतिबल टेन्सर भनिन्छ र वर्तमान विन्यासको ज्यामितिका आधारमा एकक क्षेत्रफलमा लाग्ने बल जनाउने भएकाले वास्तविक प्रतिबल पनि भनिन्छ। अवयव \(\sigma_{ij}\) ले वर्तमान विन्यासमा निर्देशाङ्क अक्ष \(x_j\) सँग लम्ब सूक्ष्म सतहको एकक क्षेत्रफलमा लाग्ने बलको \(x_i\) अवयव जनाउँछ।

तल वर्णन गरिएको कोणीय संवेग संरक्षण नियमअनुसार Cauchy प्रतिबल सममित टेन्सर हो:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

त्रि-आयाममा यसका 6 स्वतन्त्र अवयव (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) हुन्छन्। Voigt सङ्केतनमा प्रतिबललाई सदिशमा रूपान्तरण गर्दा यही सममिति मानिन्छ (टेन्सर सङ्केतन र गणितीय आधार हेर्नुहोस्)। Cauchy प्रतिबल FrontISTR को Updated Lagrange विधिमा हुने ज्यामितीय अरेखीय विश्लेषण तथा सूक्ष्म-विरूपण विश्लेषणको प्रतिबल निर्गतका लागि प्रयोग हुन्छ।

पहिलो र दोस्रो Piola-Kirchhoff प्रतिबल

सीमित विरूपणमा प्रतिबललाई सन्दर्भ विन्यासका सतह र सदिशका आधारमा व्यक्त गर्नु धेरै अवस्थामा सुविधाजनक हुन्छ, त्यसैले दुई प्रकारका Piola-Kirchhoff प्रतिबल टेन्सर परिचय गरिन्छ। सन्दर्भ विन्यासको सूक्ष्म सतहको क्षेत्रफललाई \(d\Gamma_0\) र बाहिरतर्फको एकक अभिलम्बलाई \(\boldsymbol{N}\) मानौँ।

पहिलो Piola-Kirchhoff प्रतिबल (पहिलो PK प्रतिबल, नाममात्र प्रतिबल) \(\boldsymbol{P}\) लाई वर्तमान विन्यासको बल \(d\boldsymbol{f}\) सन्दर्भ विन्यासको सूक्ष्म सतहमा लाग्दा प्राप्त हुने प्रतिबल टेन्सरका रूपमा

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

द्वारा परिभाषित गरिन्छ। Nanson सूत्र \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) र Cauchy प्रतिबल प्रमेयबाट Cauchy प्रतिबलसँगको सम्बन्ध

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

प्राप्त हुन्छ। पहिलो PK प्रतिबल सामान्यतः असममित टेन्सर हो।

दोस्रो Piola-Kirchhoff प्रतिबल (दोस्रो PK प्रतिबल) \(\boldsymbol{S}\) लाई वर्तमान विन्यासको बल \(d\boldsymbol{f}\) लाई \(\boldsymbol{F}^{-1}\) द्वारा सन्दर्भ विन्यासमा फर्काएर सन्दर्भ विन्यासको सूक्ष्म सतहमा लगाउँदा प्राप्त हुने प्रतिबल टेन्सरका रूपमा

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

द्वारा परिभाषित गरिन्छ। बल सदिश र त्यसले काम गर्ने सतह दुवै सन्दर्भ विन्यासका परिमाणद्वारा व्यक्त हुन्छन्, र यो दृढ-पिण्ड घूर्णनप्रति अपरिवर्तनीय तथा सममित टेन्सर हो। पहिलो PK प्रतिबलसँगको सम्बन्ध र Cauchy प्रतिबलसँगको रूपान्तरण सूत्र

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

हुन्। दोस्रो PK प्रतिबल अतिप्रत्यास्थ विकृति-ऊर्जा फलन \(W(\boldsymbol{C})\) बाट \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) का रूपमा प्राप्त हुन्छ र Total Lagrange विधिमा Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) सँग कार्य-संयुग्मी युग्म \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) का रूपमा प्रयोग हुन्छ।

सन्दर्भ विन्यास र सममिति तलको तालिकामा सारांश गरिएको छ। सूक्ष्म-विरूपण सीमा (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) मा तीनै प्रतिबल समान हुन्छन्।

प्रतिबल टेन्सर सन्दर्भ सतह बल सदिश सममिति प्रयोग
Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) वर्तमान विन्यास \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) वर्तमान विन्यास \(d\boldsymbol{f}\) सममित Updated Lagrange विधि, सूक्ष्म-विरूपण विश्लेषण
पहिलो PK प्रतिबल \(\boldsymbol{P}\) सन्दर्भ विन्यास \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) वर्तमान विन्यास \(d\boldsymbol{f}\) सामान्यतः असममित सन्दर्भ विन्यासको सन्तुलन समीकरण
दोस्रो PK प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) सन्दर्भ विन्यास \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) सन्दर्भ विन्यास \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) सममित Total Lagrange विधि, अतिप्रत्यास्थता

द्रव्यमान र संवेग संरक्षण नियम तथा सन्तुलन समीकरण

वर्तमान विन्यासको द्रव्यमान घनत्वलाई \(\rho\) र सन्दर्भ विन्यासको द्रव्यमान घनत्वलाई \(\rho_0\) मान्दा, द्रव्यमान संरक्षण नियम \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) आयतन तत्त्वको रूपान्तरण \(dv = J\, dV\) द्वारा स्थानीय रूप

\[ \rho_0 = J \rho \]

मा घट्छ।

पिण्ड बल (एकक द्रव्यमानमा) लाई \(\boldsymbol{g}\) र त्वरणलाई \(\boldsymbol{a}\) मानौँ। संवेग संरक्षण नियम (Euler को पहिलो गति नियम) मा Cauchy प्रतिबल प्रमेय र Gauss अपसरण प्रमेय लागू गर्दा वर्तमान विन्यासको स्थानीय सन्तुलन समीकरण (गति समीकरण)

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

प्राप्त हुन्छ। Nanson सूत्र र \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) प्रयोग गरी सन्दर्भ विन्यासको समाकलनमा पुनर्लेखन गर्दा सन्दर्भ विन्यासको स्थानीय रूप

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

प्राप्त हुन्छ। दुवै रूप प्रतिबल रूपान्तरण नियम र \(\rho_0 = J\rho\) द्वारा समतुल्य छन्। जडत्व पदलाई बेवास्ता गर्दा

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

स्थिर सन्तुलन समीकरण प्राप्त हुन्छ, जुन FrontISTR का स्थैतिक विश्लेषणहरू (रेखीय र अरेखीय) को प्रारम्भिक समीकरण हो।

कोणीय संवेग संरक्षण नियम र प्रतिबल सममिति

कोणीय संवेग संरक्षण नियम (Euler को दोस्रो गति नियम) लाई संवेग संरक्षणबाट प्राप्त सन्तुलन समीकरणसँग संयोजन गर्दा Cauchy प्रतिबल टेन्सरको सममिति

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

प्राप्त हुन्छ, र त्रि-आयाममा 6 स्वतन्त्र अवयव हुन्छन्। रूपान्तरण \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) का दुवै पक्षको ट्रान्सपोज लिएर \(\boldsymbol{F}\) को अविलक्षणता प्रयोग गर्दा दोस्रो PK प्रतिबल पनि सममित हुन्छ:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

र यसका पनि 6 स्वतन्त्र अवयव हुन्छन्। अर्कोतर्फ, पहिलो PK प्रतिबल \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) सामान्यतः सममित हुँदैन; \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (अर्थात् \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) सममित हुन्छ) सम्बन्ध मात्र मान्य हुन्छ, र स्वतन्त्र अवयवको सङ्ख्या 9 हुन्छ।

यी सममितिहरू Voigt सङ्केतनमा प्रतिबललाई 6-अवयवी सदिशका रूपमा व्यक्त गर्ने आधार हुन्। Voigt सङ्केतनका नियम र पदार्थ आव्यूहको निर्माणका लागि टेन्सर सङ्केतन र गणितीय आधार तथा रैखिक प्रत्यास्थता हेर्नुहोस्।

सम्बन्धित विषयहरू