Skip to content

आभासी कार्यको सिद्धान्त

प्रतिबल र संरक्षण नियम मा व्युत्पन्न सन्तुलन समीकरण र सीमा सर्तबाट निरन्तर माध्यम यान्त्रिकी को सीमा-मूल्य समस्या को कमजोर रूप अर्थात् आभासी कार्यको सिद्धान्त व्युत्पन्न गरिन्छ। सीमित तत्त्व विधिको विविक्तीकरण यही कमजोर रूपबाट सुरु हुन्छ। यस अध्यायमा हालको विन्यास (Cauchy प्रतिबल र Almansi विकृतिको रैखिक भागद्वारा अभिव्यक्ति) तथा सन्दर्भ विन्यास (दोस्रो Piola-Kirchhoff प्रतिबल र Green-Lagrange विकृतिद्वारा अभिव्यक्ति) दुवै रूप प्रस्तुत गरिन्छ, तिनको समतुल्यता देखाइन्छ र त्यसपछि सूक्ष्म विरूपणमा हुने परिणति जाँच गरिन्छ।

सन्तुलन समीकरण र सीमा सर्त

निरन्तर माध्यम मा लाग्ने पिण्ड बल (प्रति एकाइ द्रव्यमान) लाई \(\boldsymbol{g}\) मानौँ र हालको विन्यास मा क्षेत्र \(\Omega\) ओगटेको पिण्ड विचार गरौँ। सीमा \(\Gamma\) लाई विस्थापन \(\bar{\boldsymbol{u}}\) ले निर्दिष्ट ज्यामितीय सीमा \(\Gamma_B\) र सतही बल \(\bar{\boldsymbol{t}}\) ले निर्दिष्ट यान्त्रिक सीमा \(\Gamma_t\) मा विभाजित गरिन्छ, जहाँ \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) र \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\)। स्थिर समस्यामा प्रतिबल र संरक्षण नियम मा देखाइएको संवेग संरक्षण को जडत्व पद हटाएर

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

लाई सन्तुलन समीकरण मानिन्छ। सीमा सर्त

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

बाट दिइन्छ। अब आभासी कार्यको सिद्धान्तलाई सन्तुलन समीकरण र यान्त्रिक सीमा सर्त \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) को कमजोर रूपका रूपमा व्युत्पन्न गरिन्छ। ज्यामितीय सीमा सर्त \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) परीक्षण फलन को छनोटमा समाहित हुन्छ।

हालको विन्यास मा कमजोर रूप

कमजोर रूपमा अज्ञात विस्थापन को स्वीकार्य फलन-स्थान र परीक्षण-फलन स्थान क्रमशः

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

मानिन्छ। यहाँ \(d\) स्थानिक आयाम, \(H^1(\Omega)\) प्रथम-क्रम दुर्बल अवकलज सम्म वर्ग-समाकलनीय Sobolev स्थान र \(\delta\) परिवर्तन चिह्न हो। हालको विन्यास अभिव्यक्तिमा \(\Omega\) विरूपणपछिको विन्यास हो; वास्तविक सङ्ख्यात्मक समाधान मा यसलाई सन्दर्भ विन्यास वा ज्ञात मध्यवर्ती विन्यास तर्फ प्रत्यावर्तन गरेर सम्हालिन्छ।

सन्तुलन समीकरणलाई भार \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ले गुणा गरी Gauss विचलन प्रमेय र यान्त्रिक सीमा सर्त लागू गर्दा हालको विन्यास मा आभासी कार्यको सिद्धान्त

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

हुन्छ। यहाँ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi विकृति टेन्सर को रैखिक भाग हो र

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

द्वारा परिभाषित हुन्छ। यसको परिवर्तन \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) हो। अर्थात् \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) खोजिन्छ र कुनै पनि \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) का लागि आभासी कार्य समीकरण पूरा हुनुपर्छ। बायाँ भाग आन्तरिक बलको आभासी कार्य र दायाँ भाग निर्दिष्ट सतही बल तथा पिण्ड बल को बाह्य आभासी कार्य हो।

यो समीकरण विरूपणपछिको (हालको विन्यास) क्षेत्र मा लेखिएकाले वास्तविक समाधान विधि मा प्रारम्भिक विन्यास \(\Omega_0\) (सन्दर्भ विन्यास) वा ज्ञात मध्यवर्ती विन्यास पुनः सन्दर्भ विन्यास का रूपमा चयन गरी वृद्धिशील रूप मा पुनर्लेखन गरेर समाधान गरिन्छ। Total Lagrange / Updated Lagrange को ठोस छनोट र वृद्धि-विभाजन का लागि वृद्धिशील विश्लेषणको रूपरेखा हेर्नुहोस्।

प्रारम्भिक विन्यास मा कमजोर रूप

सन्दर्भ विन्यास मा क्षेत्र \(\Omega_0\) ओगटेको पिण्ड विचार गरी यसको सीमा \(\Gamma_0\) लाई \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) मा विभाजित गरौँ। हालको विन्यास को अभिव्यक्तिलाई सन्दर्भ विन्यास तर्फ प्रत्यावर्तन गर्दा प्रतिबल-विकृति सहयुग्मी युग्म दोस्रो Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) र Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) हुन्छ। यस अवस्थामा प्रारम्भिक विन्यास मा आभासी कार्यको सिद्धान्त

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

लेखिन्छ। यहाँ \(\rho_0\) सन्दर्भ विन्यास को द्रव्यमान घनत्व हो र द्रव्यमान संरक्षण \(\rho_0 = J\rho\) द्वारा हालको विन्यास को पिण्ड-बल अभिव्यक्तिसँग समतुल्य हुन्छ।

हालको विन्यास र प्रारम्भिक विन्यास अभिव्यक्तिको समतुल्यता

दुवै अभिव्यक्तिको आन्तरिक आभासी कार्य विरूपण प्रवणता \(\boldsymbol{F}\) र आयतन अनुपात \(J = \det \boldsymbol{F}\) को रूपान्तरण मार्फत समान हुन्छ। अर्थात्,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

हो। बाह्य बल पद पनि द्रव्यमान संरक्षण र सतही बल रूपान्तरण द्वारा समतुल्य हुन्छ। त्यसैले हालको विन्यास र प्रारम्भिक विन्यास का आभासी कार्य समीकरण एउटै सिद्धान्तका फरक अभिव्यक्ति हुन्। सन्दर्भ विन्यास लाई आधार मान्ने समाधान Total Lagrange विधिसँग र हालको विन्यास (अघिल्लो अभिसरित विन्यास) लाई आधार मान्ने समाधान Updated Lagrange विधिसँग मेल खान्छ।

सूक्ष्म विरूपणमा परिणति

सूक्ष्म विरूपण मान्यता \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\), \(J \approx 1\) अन्तर्गत हालको विन्यास र सन्दर्भ विन्यास को फरक हराउँछ, दोस्रो PK प्रतिबल Cauchy प्रतिबलसँग मेल खान्छ (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), र Green-Lagrange विकृति तथा Almansi विकृति को रैखिक भाग दुवै सूक्ष्म विकृति \(\boldsymbol{\varepsilon}\) मा परिणत हुन्छन्।

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

त्यस अवस्थामा आभासी कार्यको सिद्धान्त Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) र सूक्ष्म विकृति \(\boldsymbol{\varepsilon}\) द्वारा कमजोर रूप

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

मा परिणत हुन्छ। यो सूक्ष्म विरूपण तथा रैखिक प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषणमा विविक्तीकरण का लागि सीधै प्रयोग हुने कमजोर रूप हो (रैखिक प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषण (परिचय/परिशिष्ट) मा यही रूपबाट तत्त्व कठोरता \(\boldsymbol{K}^e\) को निर्माण र समग्र समीकरण \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) को संयोजन सम्म देखाइएको छ)।

रैखिक प्रत्यास्थ संघटन नियम \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) राखी Voigt निरूपण मा \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) लेख्दा कमजोर रूप

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

हुन्छ।

सम्बन्धित विषयहरू