टेन्सर सङ्केतन र गणितीय आधार¶

यस अध्यायले FrontISTR सिद्धान्त म्यानुअलका पछिल्ला अध्यायहरूमा प्रयोग हुने टेन्सर सङ्केतन, सूचक सङ्केतन र Voigt सङ्केतनका नियमहरू एकत्रित गर्छ। यहाँ भौतिक राशिको परिभाषामा निर्भर नहुने शुद्ध सङ्केतन नियम मात्र वर्णन गरिन्छ। निरन्तर माध्यमको गतिसँग सम्बन्धित विन्यास (सन्दर्भ/वर्तमान) मा निर्भर सङ्केत नियम—ठूला/साना अक्षर र पदार्थीय/स्थानिक अवकलनको फरक—विन्यासको अवधारणा परिचय गराउने गति, विरूपण र विकृति मा दिइएको छ।

टेन्सर सङ्केतन¶

बोल्ड अक्षरद्वारा भेक्टर र टेन्सर¶

टाइपफेसको नियमअनुसार स्केलर राशि तथा भेक्टर/टेन्सरका घटक सामान्य अक्षर (\(\rho\), \(x_i\) आदि) मा र भेक्टर/टेन्सर राशि स्वयं बोल्ड अक्षर (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) आदि) मा लेखिन्छ।

Einstein योग नियम¶

विशेष रूपमा अन्यथा नभनिएसम्म एउटै पदमा एउटै सूचक दुईपटक आए उक्त सूचकमा योग लिने Einstein योग नियम लागू हुन्छ। उदाहरणका लागि

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

हुन्छ, र टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) र \(\boldsymbol{B}\) को गुणन \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) को \(i,j\) घटक

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

हुन्छ। सूचकको नियममा, विशेष उल्लेख नभए \(i, j, k, l, \ldots\) ले स्वतन्त्रता डिग्रीसम्बन्धी सूचक (3 आयाममा \(1, 2, 3\)) जनाउँछ, र ग्रीक साना अक्षर \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ले तत्त्व बनाउने नोडसम्बन्धी सूचक जनाउँछ।

आन्तरिक गुणन, ट्रान्सपोज र टेन्सर गुणन¶

टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) को ट्रान्सपोज \(\boldsymbol{A}^T\) ले जनाइन्छ। दोस्रो-क्रमका टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) र \(\boldsymbol{B}\) को आन्तरिक गुणन (दोहोरो सङ्कुचन) लाई

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

ले जनाइन्छ। भेक्टर \(\boldsymbol{a}\) र \(\boldsymbol{b}\) को आन्तरिक गुणन \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) र टेन्सर गुणन \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) हो।

Voigt सङ्केतन¶

प्रतिबल र विकृति स्वतन्त्रता डिग्रीसम्बन्धी दोस्रो-क्रमका सममित टेन्सर हुन् र तिनको रैखिक सम्बन्ध जनाउने गुणांक चौथो-क्रमको टेन्सर हुन्छ। यसलाई जस्ताको तस्तै कार्यक्रममा प्रयोग गर्नु गणनात्मक लागत र कोडिङ (बहुआयामी एरे र गहिरा नेस्टेड लूप) का दृष्टिले प्रतिकूल हुन्छ। त्यसैले सामान्य परिमित तत्त्व कार्यक्रममा सममितिलाई उपयोग गरी प्रतिबल र विकृतिलाई स्तम्भ भेक्टर र चौथो-क्रम प्रत्यास्थ टेन्सरलाई दुई-आयामी म्याट्रिक्स मा सङ्कुचित गरिन्छ। यसलाई Voigt सङ्केतन भनिन्छ।

यसपछि टेन्सर राशि \(\boldsymbol{A}\) को म्याट्रिक्स/भेक्टर रूपलाई \(\hat{A}\) ले जनाई मूल टेन्सरबाट छुट्याइन्छ।

प्रतिबल र विकृतिको भेक्टर रूप¶

सममित प्रतिबल टेन्सर \(\boldsymbol{\sigma}\) र विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{\varepsilon}\) का लागि 2 आयाममा

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

र 3 आयाममा

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

जस्तै स्तम्भ भेक्टरका रूपमा व्यवहार गरिन्छ। परिवर्तन वा अवकल जस्ता व्युत्पन्न राशिमा पनि यही नियम लागू हुन्छ। विकृति पक्षको कर्तन घटकमा गुणक 2 लाग्छ भन्ने ध्यान दिनुहोस् (प्रतिबल पक्षमा लाग्दैन)। यस असममितताले टेन्सर आन्तरिक गुणनलाई भेक्टर आन्तरिक गुणनका रूपमा

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

भनी संक्षिप्त रूपमा लेख्न दिन्छ। कार्यान्वयनमा कर्तन विकृति घटकको 2 गुणा कारक सजिलै उल्टिन सक्छ, त्यसैले सधैं “प्रतिबलमा छैन / विकृतिमा छ” भन्ने नियम ध्यानमा राख्नुपर्छ। सन्दर्भ विन्यासका राशिहरू (दोस्रो Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) र Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\)) मा पनि यही Voigt नियम लागू हुन्छ।

चौथो-क्रम टेन्सरको म्याट्रिक्स रूप¶

प्रतिबल र विकृतिको रैखिक सम्बन्ध \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (घटक रूपमा \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) मा \(\boldsymbol{\varepsilon}\) को सममिति प्रयोग गर्दा

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

भनी पुनर्लेखन गर्न सकिन्छ। 3 आयाममा \(\tilde{C}\) लाई 6×6 सामग्री म्याट्रिक्स \(\hat{\tilde{C}}\) का रूपमा राख्दा मूल टेन्सर सम्बन्ध

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

बन्छ। यसपछि यस म्यानुअलमा विशेष उल्लेख नभए सामग्री म्याट्रिक्सलाई \(D\) (वा \(\hat{C}\)) ले जनाइन्छ। समदिशी रैखिक प्रत्यास्थताको ठोस घटकका लागि रैखिक प्रत्यास्थता हेर्नुहोस्।

अवकलन अपरेटरका नियम¶

सममित प्रवणता अपरेटर¶

भेक्टर क्षेत्र \(\boldsymbol{u}\) का लागि सममित प्रवणता अपरेटर \(\nabla_S\) लाई

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

भनी परिभाषित गरिन्छ। घटक रूपमा \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) हो। सानो-विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) यस अपरेटरबाट संक्षिप्त रूपमा लेखिन्छ। सीमित विरूपणमा प्रवणता लिने विन्यास (सन्दर्भ/वर्तमान) को छनोट गति, विरूपण र विकृति मा समेटिएको छ।

पदार्थीय समय अवकलन¶

कुनै राशि \(A\) को पदार्थीय समय अवकलन (उही पदार्थ बिन्दुलाई पछ्याउँदै लिइएको समय अवकलन) लाई माथिल्लो डट \(\dot{A}\) ले जनाइन्छ:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

वेग र त्वरणले पनि यही नियम पालना गर्छन्।

सम्बन्धित विषय¶

गति, विरूपण र विकृति — सन्दर्भ/वर्तमान विन्यासको अवधारणा र विन्यास-निर्भर सङ्केत नियम (ठूला/साना अक्षर, पदार्थीय/स्थानिक अवकलन)
प्रतिबल र संरक्षण नियम — यस सङ्केतनबाट शासक समीकरणको व्युत्पत्ति
आभासी कार्यको सिद्धान्त — कमजोर रूप र Voigt सङ्केतनको प्रयोग
रैखिक प्रत्यास्थता — सामग्री म्याट्रिक्स \(D\) को ठोस रूप
आकार फलन र परिमित तत्त्व सन्निकटन — Voigt सङ्केतनद्वारा तत्त्व कठोरता गणना