भौतिक राशिका संकेतहरूको सूची
यस पृष्ठमा FrontISTR को सैद्धान्तिक म्यानुअलमा प्रयोग हुने भौतिक राशिका संकेतहरू सूचीबद्ध गरिएको छ। लेखनसम्बन्धी नियमहरू (भेक्टर र टेन्सरलाई बाक्लो अक्षरमा लेख्ने तरिका, Einstein सङ्कुचन नियम र Voigt लेखन) का लागि टेन्सर लेखन र गणितीय आधार हेर्नुहोस्।
विन्यास र निर्देशाङ्क प्रणाली
| संकेत | विवरण |
| \(\boldsymbol{X}\) | पदार्थ बिन्दुको सन्दर्भ विन्यास (प्रारम्भिक विन्यास) मा स्थिति भेक्टर (पदार्थ निर्देशाङ्क) |
| \(\boldsymbol{x}\) | पदार्थ बिन्दुको वर्तमान विन्यासमा स्थिति भेक्टर (स्थानिक निर्देशाङ्क) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | गति नक्साङ्कन: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | सन्दर्भ विन्यासमा वस्तुले ओगटेको क्षेत्र |
| \(\Omega\) | वर्तमान विन्यासमा वस्तुले ओगटेको क्षेत्र |
| \(\Gamma_0\) | \(\Omega_0\) को सीमा |
| \(\Gamma\) | \(\Omega\) को सीमा |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | ज्यामितीय (विस्थापन) सीमा: \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) निर्दिष्ट हुने वर्तमान तथा सन्दर्भ विन्यासका सीमाहरू |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | यान्त्रिक सीमा: \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (वा \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) निर्दिष्ट हुने वर्तमान तथा सन्दर्भ विन्यासका सीमाहरू |
| \(\boldsymbol{n}\) | वर्तमान विन्यासमा सतहको बाहिरतर्फको एकाइ सामान्य भेक्टर |
| \(\boldsymbol{N}\) | सन्दर्भ विन्यासमा सतहको बाहिरतर्फको एकाइ सामान्य भेक्टर |
| \(t\) | समय |
नियम: सन्दर्भ विन्यासका भौतिक राशिलाई ठूलो अक्षर वा अधोलेख \(0\) र वर्तमान विन्यासका भौतिक राशिलाई सानो अक्षर दिइन्छ।
समय र वृद्धि (वृद्धिशील विश्लेषण)
| संकेत | विवरण |
| \(\Delta t\) | समय वृद्धि: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | समय \(t\) मा रहेको भौतिक राशि (अग्रस्थ उपरिलेख)। उदाहरण: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) समय \(t\) मा रहेको कौशी प्रतिबल हो |
| \(^{t}\Omega\) | समय \(t\) मा वर्तमान विन्यासको क्षेत्र |
| \(^{t}\Gamma\) | समय \(t\) मा वर्तमान विन्यासको सीमा |
नियम: वृद्धिशील विश्लेषणमा समय \(t\) सम्मको अवस्थालाई ज्ञात र समय \(t + \Delta t\) को अवस्थालाई अज्ञात मानी समाधान गरिन्छ। समय स्पष्ट रूपमा देखाउन आवश्यक नभए अग्रस्थ उपरिलेख हटाइन्छ। सन्दर्भ विन्यासका रूपमा आधारभूत विन्यास \(\Omega_0\) रोज्ने सूत्रीकरणलाई टोटल लाग्रान्ज विधि र वृद्धि सुरु हुँदाको वर्तमान विन्यास \(^{t}\Omega\) रोज्ने सूत्रीकरणलाई अपडेटेड लाग्रान्ज विधि भनिन्छ।
विस्थापन, वेग, त्वरण र पिण्ड बल
| संकेत | विवरण |
| \(\boldsymbol{u}\) | विस्थापन भेक्टर: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | ज्यामितीय सीमा \(\Gamma_B\) मा निर्दिष्ट विस्थापन |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | आभासी विस्थापन (परीक्षण फलन): \(\Gamma_B\) मा \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | वेग भेक्टर: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | त्वरण भेक्टर: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | पिण्ड बल (प्रति एकाइ द्रव्यमान) |
| \(\boldsymbol{t}\) | सतही बल भेक्टर (प्रति एकाइ क्षेत्रफल): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | यान्त्रिक सीमा \(\Gamma_t\) मा निर्दिष्ट सतही बल (न्यूमन डेटा) |
अवकलन सञ्चालक
| संकेत | विवरण |
| \(\dot{(\cdot)}\) | पदार्थीय समय अवकलज (उही पदार्थ बिन्दुलाई पछ्याउँदै लिइने समय अवकलज): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | सन्दर्भ विन्यासको प्रवणता (पदार्थ निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{X}\) सापेक्ष): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | वर्तमान विन्यासको प्रवणता (स्थानिक निर्देशाङ्क \(\boldsymbol{x}\) सापेक्ष): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | सममित प्रवणता सञ्चालक: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
टिप्पणी: \(\nabla_X\) र \(\nabla_x\) बीच \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) सम्बन्ध हुन्छ। अधोलेख नभएको \(\nabla\) को विन्यास सन्दर्भबाट छुट्याइन्छ, वा सानो विरूपणमा जस्तो दुईबीचको भिन्नता हराउने अवस्थामा प्रयोग गरिन्छ।
विरूपण टेन्सर
| संकेत | विवरण |
| \(\boldsymbol{F}\) | विरूपण प्रवणता टेन्सर: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | आयतन परिवर्तन अनुपात: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | दायाँ कौशी–ग्रीन विरूपण टेन्सर: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | बायाँ कौशी–ग्रीन विरूपण टेन्सर: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | वेग प्रवणता टेन्सर: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | विरूपण-दर टेन्सर (\(\boldsymbol{L}\) को सममित भाग): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | स्पिन टेन्सर (\(\boldsymbol{L}\) को प्रति-सममित भाग): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
विकृति टेन्सर
| संकेत | विवरण |
| \(\boldsymbol{E}\) | ग्रीन–लाग्रान्ज विकृति टेन्सर (सन्दर्भ विन्यास): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | आल्मान्सी विकृति टेन्सर (वर्तमान विन्यास): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | आल्मान्सी विकृति टेन्सरको रैखिक भाग (वर्तमान विन्यासको सममित विस्थापन प्रवणता): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | सूक्ष्म विकृति टेन्सर (रैखिक सन्निकटन): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
टिप्पणी: \(\boldsymbol{E}\) मुख्यतः टोटल लाग्रान्ज विधिमा र \(\boldsymbol{D}\) मुख्यतः अपडेटेड लाग्रान्ज विधिमा प्रयोग गरिन्छ।
प्रतिबल टेन्सर
| संकेत | विवरण |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | कौशी प्रतिबल टेन्सर (सत्य प्रतिबल, वर्तमान विन्यास): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | पहिलो पिओला–किर्खोफ प्रतिबल टेन्सर (नाममात्र प्रतिबल): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | दोस्रो पिओला–किर्खोफ प्रतिबल टेन्सर (सन्दर्भ विन्यास, सममित): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
प्रतिबल टेन्सरहरूबीचको रूपान्तरण सम्बन्ध:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
नियम: टोटल लाग्रान्ज विधिमा \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) र अपडेटेड लाग्रान्ज विधिमा \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) को जोडी प्रयोग गरिन्छ।
घनत्व र द्रव्यमान
| संकेत | विवरण |
| \(\rho\) | वर्तमान विन्यासमा द्रव्यमान घनत्व |
| \(\rho_0\) | सन्दर्भ विन्यासमा द्रव्यमान घनत्व |
द्रव्यमान संरक्षण नियम: \(\rho_0 = J\rho\)।
सामग्री स्थिराङ्क (रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ)
| संकेत | विवरण |
| \(E\) | यङको मापाङ्क (अनुदैर्ध्य प्रत्यास्थता गुणाङ्क) |
| \(\nu\) | पोइसन अनुपात |
| \(\lambda\) | लामेको पहिलो स्थिराङ्क: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | लामेको दोस्रो स्थिराङ्क (कतरनी मापाङ्क, अनुप्रस्थ प्रत्यास्थता गुणाङ्क): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | प्रत्यास्थता टेन्सर (चौथो श्रेणी): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), अवयव \(C_{ijkl}\) |
| \(D\)（वा \(\hat{\tilde{C}}\)） | सामग्री आव्यूह (Voigt लेखन, त्रि-आयाममा \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
समदैशिक रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थको प्रत्यास्थता टेन्सरका अवयव:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
हाइपरइलास्टिक सामग्री
| संकेत | विवरण |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | प्रत्यास्थ विभव फलन (विकृति ऊर्जा घनत्व फलन) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | दायाँ कौशी–ग्रीन टेन्सर \(\boldsymbol{C}\) का मुख्य अपरिवर्तक |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | \(\boldsymbol{C}\) का घटाइएका अपरिवर्तक (आयतन परिवर्तन भाग अलग गरिएको) |
| \(C_1, C_2\) | मूनी–रिभ्लिन मोडेलका सामग्री स्थिराङ्क |
| \(D\) | आयतन प्रत्यास्थतासम्बन्धी सामग्री स्थिराङ्क |
इलास्टोप्लास्टिक सामग्री
| संकेत | विवरण |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | विरूपण-दर टेन्सरको प्रत्यास्थ भाग |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | विरूपण-दर टेन्सरको प्लास्टिक भाग |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | यिल्ड फलन |
| \(\kappa\) | प्लास्टिक अवस्था जनाउने आन्तरिक चर (समदैशिक कठोरीकरण चर) |
| \(\lambda^p\) | प्लास्टिक गुणक (प्लास्टिक विकृति-दर गुणक): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | प्लास्टिक विभव (सम्बद्ध प्रवाह नियममा \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | समतुल्य प्रतिबल (von Mises प्रतिबल आदि) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | समतुल्य प्लास्टिक विकृति |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | समदैशिक कठोरीकरण फलन |
पूरकता सर्त: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\)।
सीमित तत्त्व विधि
| संकेत | विवरण |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | सीमित तत्त्व विभाजनद्वारा सन्निकट गरिएको वर्तमान तथा सन्दर्भ विन्यासको क्षेत्र: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | तत्त्वको वर्तमान तथा सन्दर्भ विन्यासमा क्षेत्र |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | तत्त्व सीमाको यान्त्रिक सीमामा पर्ने भाग |
| \(\boldsymbol{r}\) | प्राकृतिक निर्देशाङ्क (तत्त्वको स्थानीय निर्देशाङ्क) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | नोड \(\alpha\) सँग सम्बन्धित प्राकृतिक निर्देशाङ्कको बिन्दु |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | तत्त्व \(e\) को नोड \(\alpha\) सँग सम्बन्धित आकार फलन |
| \(n_e\) | तत्त्व बनाउने नोडहरूको संख्या |
| \(n_g\) | कुल नोड संख्या |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | तत्त्व नोड \(\alpha\) को निर्देशाङ्क र विस्थापन |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | तत्त्व नोडका निर्देशाङ्क तथा विस्थापन भेक्टर: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) आदि |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | समग्र नोड निर्देशाङ्क तथा विस्थापन भेक्टर (नोड नम्बर → स्वतन्त्रता अंशको क्रममा राखिएको) |
| \(\boldsymbol{B}\) | विकृति–विस्थापन सम्बन्ध आव्यूह (B आव्यूह) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | आकार-फलन आव्यूह: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) नोड \(\alpha\) को आकार फलन \(N_\alpha^e\) लाई विकर्णमा राखिएको \(d \times d\) ब्लक हो, र \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\)। \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | तत्त्व कठोरता आव्यूह |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | तत्त्व कठोरता आव्यूहका समाकलनीय पद (सन्दर्भ तथा वर्तमान विन्यासमा लेखिएका): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\)（TL विधि），\(\boldsymbol{q}^e\)（UL विधि） | तत्त्व आन्तरिक बल भेक्टर |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | तत्त्व नोड \(\alpha\) मा लाग्ने नोडीय बाह्य बल र तत्त्व नोडीय बाह्य बल भेक्टर: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | समग्र आन्तरिक बल भेक्टर तथा समग्र बाह्य बल भेक्टर: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\), \(\boldsymbol{F}\) पनि समान |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | समग्र नोड \(i_g\) मा नोडीय आन्तरिक बल तथा नोडीय बाह्य बल (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) का नोड ब्लक) |
| \(\boldsymbol{K}\) | समग्र स्पर्शरेखीय कठोरता आव्यूह: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\)। \(3\times 3\) ब्लक \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) लाई \(i_g\) पङ्क्ति र \(i_h\) स्तम्भमा राखिएको आव्यूह |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | न्यूटन–राफ्सन पुनरावृत्तिमा अवशेष भेक्टर: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | न्यूटन–राफ्सन पुनरावृत्तिको सुधार मात्रा (\(i\)-औँ पुनरावृत्तिमा रैखिक समीकरण \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) समाधान गरेर प्राप्त) |
| \(i_g\) | समग्र नोड नम्बर (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | तत्त्व \(e\) को स्थानीय नोड नम्बर \(\alpha\) सँग सम्बन्धित समग्र नोड नम्बर: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | समग्र नोड नम्बर \(i_g\) सँग सम्बन्धित \((e, \alpha)\) जोडीहरूको समुच्चय: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\)। असेम्बलीमा प्रयोग हुन्छ |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | समग्र नोड नम्बर जोडी \((i_g, i_h)\) सँग सम्बन्धित \((e, \alpha, \beta)\) त्रयहरूको समुच्चय: कठोरता आव्यूह असेम्बलीमा प्रयोग हुन्छ |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | तत्त्व बनाउने नोडसम्बन्धी सूचक |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | स्वतन्त्रता अंशसम्बन्धी सूचक (त्रि-आयाममा \(1, 2, 3\)) |
उच्च-कार्यक्षमता तत्त्व र संरचनात्मक तत्त्व
| संकेत | विवरण |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | B-bar विधिमा आयतन भाग सुधार गरिएको विकृति–विस्थापन सम्बन्ध आव्यूह (तत्त्व केन्द्रमा मूल्याङ्कन गरिएको B आव्यूहले आयतन भाग प्रतिस्थापन गरिएको) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | F-bar विधिमा आयतन भाग सुधार गरिएको विरूपण प्रवणता: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | तत्त्व केन्द्र \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) मा मूल्याङ्कन गरिएको विरूपण प्रवणताको आयतन अनुपात: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | असङ्गत मोड तत्त्वको आन्तरिक स्वतन्त्रता-अंश भेक्टर (तत्त्व सीमामा निरन्तरता सुनिश्चित नगर्ने थप विस्थापन मोडका गुणाङ्क) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | असङ्गत मोडको आकार फलन: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | शेल तत्त्वको मोटाइ |
| \(A\) | बीम तत्त्व क्रस-सेक्सनको क्षेत्रफल |
| \(I\) | बीम तत्त्व क्रस-सेक्सनको क्षेत्रफलको दोस्रो आघूर्ण |
| \(G\) | कतरनी प्रत्यास्थता गुणाङ्क: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
सम्बन्धित विषय