Skip to content

Newton-Raphson विधि

रैखिकीकरण र पुनरावृत्ति पुनरावर्तन सूत्र

बाह्य बलको आभासी कार्य र समग्र समीकरणको संयोजन बाट प्राप्त समय \(t_{n+1}\) मा नोडल विस्थापन \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) सम्बन्धी गैररैखिक समीकरणलाई Newton-Raphson विधिबाट हल गरिन्छ। समय \(t_n\) सम्मको नोडल विस्थापन \(\boldsymbol{u}_n\) ज्ञात मान्दै, विस्थापन वृद्धि \(\Delta\boldsymbol{u}\) लाई अज्ञात चरका रूपमा लिएर

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

खोजिन्छ। यहाँपछि बाह्य बल वेक्टरको नोडल विस्थापन निर्भरतालाई उपेक्षा गरी \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) मानेर

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

हल गरिन्छ।

हालको समाधान \(\Delta\boldsymbol{u}\) मा रहेको स्पर्शरेखीय कठोरता

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

प्रयोग गरी गैररैखिक समीकरण रैखिकीकरण गर्दा

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

प्राप्त हुन्छ। \(i\)-औँ पुनरावृत्तिको सुधारलाई \(d\boldsymbol{u}_i\) र पुनरावृत्ति सुरु हुँदाको अवशेष वेक्टरलाई

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

भनेर लेख्दा पुनरावृत्ति सूत्र

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

हुन्छ। अवशेष \(\boldsymbol{R}_i\) ले सन्तुलनबाट बाँकी रहेको बल असन्तुलन जनाउँछ।

स्पर्शरेखीय कठोरता म्याट्रिक्सको निर्माण

स्पर्शरेखीय कठोरता \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) लाई आन्तरिक बलको आभासी कार्यको विविक्तीकरण बाट प्राप्त तत्त्व आन्तरिक-बल वेक्टरलाई नोडल विस्थापनले आंशिक अवकलन गरी, प्रत्येक तत्त्वको समाकलनीय पदलाई तत्त्व क्षेत्रमाथि समाकलन गरेर संयोजन गरिन्छ। तत्त्व तहको समाकलनीय पदलाई \(\boldsymbol{K}^e_X\) (सन्दर्भ कन्फिगरेसन, TL विधि) वा \(\boldsymbol{K}^e_x\) (हालको कन्फिगरेसन, UL विधि) लेख्दा तत्त्व स्पर्शरेखीय कठोरता

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

बाट दिइन्छ। तल TL/UL का समाकलनीय पदहरूको अन्तिम रूप देखाइएको छ। दुवैलाई सामग्री कठोरता पद (प्रारम्भिक विस्थापन पद) र ज्यामितीय कठोरता पद (प्रारम्भिक प्रतिबल पद) को योगमा विभाजन गर्न सकिन्छ।

टोटल ल्याग्रान्ज विधि

टोटल ल्याग्रान्ज विधिमा दोस्रो Piola-Kirchhoff प्रतिबल-दर \(\dot{\boldsymbol{S}}\) र Green-Lagrange विकृति-दर \(\dot{\boldsymbol{E}}\) बीचको रैखिक सम्बन्ध \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) मानिन्छ। यो रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ (St.Venant-Kirchhoff पदार्थ) र अतिप्रत्यास्थ पदार्थको संघटक नियमसँग मेल खान्छ; FrontISTR मा टोटल ल्याग्रान्ज विधि यी सामग्रीका लागि प्रयोग गरिन्छ। यस अवस्थामा तत्त्व स्पर्शरेखीय कठोरताको समाकलनीय पद टेन्सर रूपमा

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

लेखिन्छ। दायाँपट्टिको पहिलो पद सामग्री कठोरता पद (प्रारम्भिक विस्थापन पद) र दोस्रो पद ज्यामितीय कठोरता पद (प्रारम्भिक प्रतिबल पद) हो।

FrontISTR को कार्यान्वयनमा यो समाकलनीय पद Voigt निरूपणको म्याट्रिक्स रूप

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

बाट गणना गरिन्छ। यहाँ \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) भनेका आन्तरिक बलको आभासी कार्यको विविक्तीकरण मा परिचित गराइएका B म्याट्रिक्स हुन्, र \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) संघटक नियम \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) को Voigt निरूपणमा \(6\times 6\) सामग्री कठोरता म्याट्रिक्स हो (टेन्सर सङ्केत र गणितीय आधार)। \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) ज्यामितीय कठोरता पदलाई म्याट्रिक्स गुणनमा लेख्न प्रयोग हुने पुनर्व्यवस्था म्याट्रिक्स हुन्। पहिले \(3\times 3\) दोस्रो-क्रम टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) लाई 9-अवयव वेक्टरमा पुनर्व्यवस्थित गर्ने सङ्केत \([\,\cdot\,]\) लाई

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

भनेर परिभाषित गरिन्छ। त्यसपछि \(\boldsymbol{F}_9\) ले विरूपण-ग्रेडियन्टको परिवर्तनलाई \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) को रूपमा व्यक्त गर्ने \(9\times d n_e\) म्याट्रिक्स हो। तत्त्व नोड \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) सँग सम्बन्धित \(9\times d\) ब्लक

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ भने } 3\times 3 \text{ एकाइ म्याट्रिक्स हो}) \]

लाई तत्त्व नोड क्रमअनुसार तेर्सो राखेर \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) बनाइन्छ। \(\boldsymbol{S}_9\) यससँग संयोजन गर्दा ज्यामितीय कठोरता पद \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) बन्ने गरी छानिएको \(9\times 9\) म्याट्रिक्स

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

हो।

अपडेटेड ल्याग्रान्ज विधि

अपडेटेड ल्याग्रान्ज विधिमा सापेक्ष Kirchhoff प्रतिबल टेन्सरको Jaumann दर \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) र विरूपण-दर टेन्सर \(\boldsymbol{D}\) बीचको रैखिक सम्बन्ध \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) मानिन्छ। यो रैखिक प्रत्यास्थ, प्रत्यास्थ-प्लास्टिक र क्रिप सामग्रीमा साझा हाइपो-प्रत्यास्थ संघटक नियमको रूप हो; FrontISTR मा अपडेटेड ल्याग्रान्ज विधि यी सामग्रीका लागि प्रयोग गरिन्छ। यस अवस्थामा हालको कन्फिगरेसनमा तत्त्व स्पर्शरेखीय कठोरताको समाकलनीय पद टेन्सर रूपमा

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

लेखिन्छ (\(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) Truesdell दर, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi विकृतिको रैखिक भाग, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) हालको कन्फिगरेसनलाई सन्दर्भ मानेको विस्थापन ग्रेडियन्ट, र \(\boldsymbol{L}\) वेग-ग्रेडियन्ट टेन्सर हो)। दायाँपट्टिको पहिलो पद सामग्री कठोरता पद र दोस्रो पद ज्यामितीय कठोरता पद हो।

FrontISTR को कार्यान्वयनमा यो समाकलनीय पद Voigt निरूपणको म्याट्रिक्स रूप

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

बाट गणना गरिन्छ। \(\boldsymbol{b}\) हालको कन्फिगरेसनबाट बनेको B म्याट्रिक्स हो (आन्तरिक बलको आभासी कार्यको विविक्तीकरण)। \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) भने TL विधिमा परिभाषित \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) मा दोस्रो PK प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) लाई Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) र सन्दर्भ-कन्फिगरेसन ग्रेडियन्ट \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) लाई हालको-कन्फिगरेसन ग्रेडियन्ट \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ले प्रतिस्थापन गरेका रूप हुन्।

\(\boldsymbol{G}\) भने हाइपो-प्रत्यास्थ संघटक नियम \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) लाई Truesdell-दरमा आधारित संघटक नियमका रूपमा स्पर्शरेखीय कठोरताको ढाँचासँग सुसंगत बनाउन आवश्यक Cauchy प्रतिबल-निर्भर सुधार म्याट्रिक्स हो। चौथो-क्रम टेन्सर अवयव \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) लाई \(6\times 6\) Voigt निरूपणमा राख्दा

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

हुन्छ।

समग्र कठोरता म्याट्रिक्सको संयोजन

समग्र स्पर्शरेखीय कठोरता \(\boldsymbol{K}\) बनाउन तत्त्व कठोरता \(\boldsymbol{K}^e\) लाई नोडअनुसार \(d\times d\) ब्लक \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) मा विभाजन गरी, तत्त्व-नोड भौतिक राशिको संयोजन मा परिचित दोस्रो-क्रम टेन्सर संयोजन समुच्चय \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) प्रयोग गरेर

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

लाई \(i_g\) पङ्क्ति \(i_h\) स्तम्भमा राखिन्छ। कार्यान्वयनमा \(\mathcal{E}^2\) समुच्चय स्पष्ट रूपमा बनाइँदैन; तत्त्व लूपभित्र सम्बन्धित ब्लकमा सीधै जोडिन्छ। म्याट्रिक्सको आयाम प्रति नोड स्वतन्त्रता \(\times\) कुल नोड सङ्ख्या \(n_g\) हुन्छ, तर तत्त्वमार्फत नजोडिएका नोडहरूबीचका अवयव \(0\) हुने भएकाले स्पार्स म्याट्रिक्स रूपमा राखिन्छ।

TL र UL विधिका तत्त्व कठोरता, सन्दर्भ कन्फिगरेसनको छनोट (नोड निर्देशाङ्क र B म्याट्रिक्सको आधार) तथा \(\boldsymbol{G}\) म्याट्रिक्सको उपस्थितिबाहेक समान रूपका भएकाले FrontISTR मा दुवै साझा सबरुटिनबाट कार्यान्वित गर्न सकिन्छ।

पुनरावृत्ति एल्गोरिदम

माथिको प्रक्रिया समेट्दा, पुनरावृत्तिको सुरुमा \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) राखी प्रारम्भिक अवशेष \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) निकालिन्छ। त्यसपछि \(i\)-औँ पुनरावृत्तिमा निम्न चरण चलाइन्छ।

  1. हालको विस्थापन \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) मा स्पर्शरेखीय कठोरता \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) लाई स्पर्शरेखीय कठोरता म्याट्रिक्सको निर्माण अनुसार गणना गर्नुहोस्।
  2. ज्यामितीय सीमा सर्त समावेश गर्न विस्थापन बन्धन भएका स्वतन्त्रताका लागि स्पर्शरेखीय कठोरता म्याट्रिक्स र अवशेष वेक्टर रूपान्तरण गरी \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) प्राप्त गर्नुहोस् (ज्यामितीय सीमा सर्तको प्रक्रिया)।
  3. रैखिक समीकरण \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) हल गरी सुधार \(d\boldsymbol{u}_i\) निकाल्नुहोस्। यो चरण प्रायः पुनरावृत्तिको सबैभन्दा ठूलो गणनात्मक लागत हुन्छ।
  4. विस्थापन वृद्धि \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) ले अद्यावधिक गरी त्यसअनुसार आन्तरिक-बल वेक्टर \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) र अवशेष \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) गणना गर्नुहोस्।
  5. अभिसरण परीक्षण गर्नुहोस् र पूरा भए पुनरावृत्ति समाप्त गर्नुहोस्। अवशेष \(\boldsymbol{R}_i\) मा ज्यामितीय सीमा सर्त दिइएका स्वतन्त्रतामा बन्धन प्रतिक्रियासँग सम्बन्धित अवयव देखिने भएकाले तिनलाई हटाएर बनेको \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) बाट परीक्षण सूचक बनाइन्छ। ठोस सूचक र सीमा अभिसरण परीक्षण मा वर्णन गरिएको छ। अभिसरण नभई पुनरावृत्ति सीमा पुगेमा पुनरावृत्ति असफल मानिन्छ।

पुनरावृत्ति अभिसरित भएपछि \(\Delta\boldsymbol{u}\) लाई \(\boldsymbol{u}_n\) मा जोडेर समय \(t_{n+1}\) को सञ्चित विस्थापन \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) बनाइन्छ र अर्को समय स्टेपमा अघि बढिन्छ।

सम्बन्धित विषय