Skip to content

गतिशील विश्लेषण विधिहरू

यस खण्डमा प्रत्यक्ष समय समाकलन विधि प्रयोग गरिएका गतिशील समस्याहरूको विश्लेषण विधि प्रस्तुत गरिएको छ। तल निहित विधि र स्पष्ट विधिको सूत्रीकरण प्रस्तुत गरिएको छ।

गति समीकरणको विविक्तीकरण (साझा रूपरेखा)

TBD (अर्को चरणमा विस्तृत रूपमा लेखिनेछ)।

निहित विधि (Newmark-β विधि)

गतिशील समस्याका लागि तल देखाइएको गति समीकरण समाधान गर्न प्रत्यक्ष समय समाकलन विधि लागू गरिएको छ।

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

यहाँ, \(M\) द्रव्यमान आव्यूह, \(C\) अवमन्दन आव्यूह, \(Q\) आन्तरिक बल सदिश, र \(F\) बाह्य बल सदिश हो। द्रव्यमान आव्यूहलाई अरैखिक विश्लेषणमा पनि विरूपणबाट स्वतन्त्र रूपमा स्थिर मानिन्छ।

समय वृद्धि \(\Delta t\) भित्र विस्थापन, वेग र त्वरणमा हुने परिवर्तनलाई Newmark-\(\beta\) विधि प्रयोग गरी समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) र समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) मा देखाइएअनुसार सन्निकट गरिएको छ।

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

यहाँ, \(\gamma\) र \(\beta\) Newmark-\(\beta\) विधिका प्यारामिटर हुन्।

सुविदित रूपमा, \(\gamma\) र \(\beta\) लाई तलका मान दिँदा क्रमशः रैखिक त्वरण विधि वा समलम्ब नियमसँग मेल खान्छ।

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (रैखिक त्वरण विधि)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (समलम्ब नियम)

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) र समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) लाई समीकरण \(\eqref{eq:2.5.1}\) मा प्रतिस्थापन गर्दा निम्न समीकरण प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

विशेष गरी, रैखिक समस्याका लागि \(K_L\) रैखिक कठोरता आव्यूह हो र \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) हुन्छ। यस सम्बन्धलाई माथिको समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्दा निम्न समीकरण प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

ज्यामितीय सीमा सर्तका रूपमा त्वरण निर्दिष्ट गरिएको स्थानमा, समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) बाट निम्न विस्थापन प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

त्यसैगरी, वेग निर्दिष्ट गरिएको स्थानमा, समीकरण \(\eqref{eq:2.5.6}\) बाट निम्न विस्थापन प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

यहाँ, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) समय \(t+\Delta{t}\) मा नोडीय विस्थापन, \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) समय \(t+\Delta{t}\) मा नोडीय वेग, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) समय \(t+\Delta{t}\) मा नोडीय त्वरण, \(i\) नोडीय स्वतन्त्रता-डिग्री क्रमाङ्क, र \(s\) नोड क्रमाङ्क हो। द्रव्यमान पद र अवमन्दन पदलाई निम्नानुसार व्यवहार गरिएको छ।

द्रव्यमान पदको व्यवहार

द्रव्यमान आव्यूहलाई सिद्धान्ततः सङ्केन्द्रित द्रव्यमान आव्यूहका रूपमा व्यवहार गरिन्छ।

अवमन्दन पदको व्यवहार

अवमन्दन पदलाई समीकरण \(\eqref{eq:2.5.8}\) द्वारा व्यक्त Rayleigh अवमन्दनका रूपमा व्यवहार गरिन्छ।

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

यहाँ, \(R_m\) र \(R_k\) Rayleigh अवमन्दनका प्यारामिटर हुन्।

!DYNAMIC कार्डमा निर्दिष्ट \(R_m\) र \(R_k\) सम्पूर्ण मोडेलमा समान रूपमा लागू हुन्छन्। प्रत्येक सामग्रीका लागि फरक \(R_m\) र \(R_k\) दिन चाहिएको अवस्थामा, सम्बन्धित सामग्रीको !MATERIAL ब्लकभित्र !DAMPING कार्ड निर्दिष्ट गर्नुहोस्। !DAMPING निर्दिष्ट गरिएको सामग्रीमा पर्ने तत्त्वहरूका लागि, सम्बन्धित तत्त्वको द्रव्यमान आव्यूह \(M_i\) र स्पर्शरेखीय कठोरता आव्यूह \(K_i\) बाट \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) अनुसार तत्त्व अवमन्दन आव्यूह गणना गरी वैश्विक अवमन्दन आव्यूहमा समायोजन गरिन्छ। यो सुविधा निहित विधिमा मात्र प्रभावकारी हुन्छ।

स्पष्ट विधि (केन्द्रीय अन्तर विधि)

स्पष्ट विधि तल देखाइएको समय t को गति समीकरणमा आधारित हुन्छ।

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

यहाँ, समय \(t + \Delta t\) र समय \(t - \Delta t\) का विस्थापनलाई समय \(t\) वरिपरि Taylor विस्तारद्वारा व्यक्त गरी \(\Delta t\) सम्बन्धी दोस्रो-क्रमका पदसम्म राख्दा निम्न समीकरणहरू प्राप्त हुन्छन्।

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) र समीकरण \(\eqref{eq:2.5.4}\) को अन्तर तथा योगबाट निम्न समीकरणहरू प्राप्त हुन्छन्।

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.12}\) र समीकरण \(\eqref{eq:2.5.13}\) लाई समीकरण \(\eqref{eq:2.5.9}\) मा प्रतिस्थापन गर्दा निम्न समीकरण प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

विशेष गरी, रैखिक समस्याका लागि \(Q(t) = K_L U(t)\) हुन्छ, र माथिको समीकरण निम्नानुसार हुन्छ।

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

यहाँ, द्रव्यमान आव्यूह \(M\) लाई सङ्केन्द्रित द्रव्यमान आव्यूह र अवमन्दन आव्यूहलाई समानुपाती अवमन्दन आव्यूह \(C = R_m M\) का रूपमा लिँदा, समीकरण \(\eqref{eq:2.5.15}\) मा युगपत समीकरणहरूको समाधान प्रक्रिया आवश्यक पर्दैन।

त्यसैले, समीकरण \(\eqref{eq:2.5.15}\) बाट \(U(t+\Delta t)\) निम्न समीकरणद्वारा प्राप्त गर्न सकिन्छ।

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

सम्बन्धित विषयहरू