Skip to content

Translation update pending

The Nepali translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

गतिशील विश्लेषण विधिहरू

यस खण्डमा प्रत्यक्ष समय समाकलन विधि प्रयोग गरिएका गतिशील समस्याहरूको विश्लेषण विधि प्रस्तुत गरिएको छ। तल निहित विधि र स्पष्ट विधिको सूत्रीकरण प्रस्तुत गरिएको छ।

गति समीकरणको विविक्तीकरण (साझा रूपरेखा)

TBD (अर्को चरणमा विस्तृत रूपमा लेखिनेछ)।

निहित विधि (Newmark-β विधि)

गतिशील समस्याका लागि तल देखाइएको गति समीकरण समाधान गर्न प्रत्यक्ष समय समाकलन विधि लागू गरिएको छ।

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

यहाँ, \(M\) द्रव्यमान आव्यूह, \(C\) अवमन्दन आव्यूह, \(Q\) आन्तरिक बल सदिश, र \(F\) बाह्य बल सदिश हो। द्रव्यमान आव्यूहलाई अरैखिक विश्लेषणमा पनि विरूपणबाट स्वतन्त्र रूपमा स्थिर मानिन्छ।

समय वृद्धि \(\Delta t\) भित्र विस्थापन, वेग र त्वरणमा हुने परिवर्तनलाई Newmark-\(\beta\) विधि प्रयोग गरी समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) र समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) मा देखाइएअनुसार सन्निकट गरिएको छ।

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

यहाँ, \(\gamma\) र \(\beta\) Newmark-\(\beta\) विधिका प्यारामिटर हुन्।

सुविदित रूपमा, \(\gamma\) र \(\beta\) लाई तलका मान दिँदा क्रमशः रैखिक त्वरण विधि वा समलम्ब नियमसँग मेल खान्छ।

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (रैखिक त्वरण विधि)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (समलम्ब नियम)

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) र समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) लाई समीकरण \(\eqref{eq:2.5.1}\) मा प्रतिस्थापन गर्दा निम्न समीकरण प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

विशेष गरी, रैखिक समस्याका लागि \(K_L\) रैखिक कठोरता आव्यूह हो र \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) हुन्छ। यस सम्बन्धलाई माथिको समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्दा निम्न समीकरण प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

ज्यामितीय सीमा सर्तका रूपमा त्वरण निर्दिष्ट गरिएको स्थानमा, समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) बाट निम्न विस्थापन प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

त्यसैगरी, वेग निर्दिष्ट गरिएको स्थानमा, समीकरण \(\eqref{eq:2.5.6}\) बाट निम्न विस्थापन प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

यहाँ, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) समय \(t+\Delta{t}\) मा नोडीय विस्थापन, \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) समय \(t+\Delta{t}\) मा नोडीय वेग, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) समय \(t+\Delta{t}\) मा नोडीय त्वरण, \(i\) नोडीय स्वतन्त्रता-डिग्री क्रमाङ्क, र \(s\) नोड क्रमाङ्क हो। द्रव्यमान पद र अवमन्दन पदलाई निम्नानुसार व्यवहार गरिएको छ।

द्रव्यमान पदको व्यवहार

द्रव्यमान आव्यूहलाई सिद्धान्ततः सङ्केन्द्रित द्रव्यमान आव्यूहका रूपमा व्यवहार गरिन्छ।

अवमन्दन पदको व्यवहार

अवमन्दन पदलाई समीकरण \(\eqref{eq:2.5.8}\) द्वारा व्यक्त Rayleigh अवमन्दनका रूपमा व्यवहार गरिन्छ।

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

यहाँ, \(R_m\) र \(R_k\) Rayleigh अवमन्दनका प्यारामिटर हुन्।

!DYNAMIC कार्डमा निर्दिष्ट \(R_m\) र \(R_k\) सम्पूर्ण मोडेलमा समान रूपमा लागू हुन्छन्। प्रत्येक सामग्रीका लागि फरक \(R_m\) र \(R_k\) दिन चाहिएको अवस्थामा, सम्बन्धित सामग्रीको !MATERIAL ब्लकभित्र !DAMPING कार्ड निर्दिष्ट गर्नुहोस्। !DAMPING निर्दिष्ट गरिएको सामग्रीमा पर्ने तत्त्वहरूका लागि, सम्बन्धित तत्त्वको द्रव्यमान आव्यूह \(M_i\) र स्पर्शरेखीय कठोरता आव्यूह \(K_i\) बाट \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) अनुसार तत्त्व अवमन्दन आव्यूह गणना गरी वैश्विक अवमन्दन आव्यूहमा समायोजन गरिन्छ। यो सुविधा निहित विधिमा मात्र प्रभावकारी हुन्छ।

स्पष्ट विधि (केन्द्रीय अन्तर विधि)

स्पष्ट विधि तल देखाइएको समय t को गति समीकरणमा आधारित हुन्छ।

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

यहाँ, समय \(t + \Delta t\) र समय \(t - \Delta t\) का विस्थापनलाई समय \(t\) वरिपरि Taylor विस्तारद्वारा व्यक्त गरी \(\Delta t\) सम्बन्धी दोस्रो-क्रमका पदसम्म राख्दा निम्न समीकरणहरू प्राप्त हुन्छन्।

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) र समीकरण \(\eqref{eq:2.5.4}\) को अन्तर तथा योगबाट निम्न समीकरणहरू प्राप्त हुन्छन्।

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.12}\) र समीकरण \(\eqref{eq:2.5.13}\) लाई समीकरण \(\eqref{eq:2.5.9}\) मा प्रतिस्थापन गर्दा निम्न समीकरण प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

विशेष गरी, रैखिक समस्याका लागि \(Q(t) = K_L U(t)\) हुन्छ, र माथिको समीकरण निम्नानुसार हुन्छ।

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

यहाँ, द्रव्यमान आव्यूह \(M\) लाई सङ्केन्द्रित द्रव्यमान आव्यूह र अवमन्दन आव्यूहलाई समानुपाती अवमन्दन आव्यूह \(C = R_m M\) का रूपमा लिँदा, समीकरण \(\eqref{eq:2.5.15}\) मा युगपत समीकरणहरूको समाधान प्रक्रिया आवश्यक पर्दैन।

त्यसैले, समीकरण \(\eqref{eq:2.5.15}\) बाट \(U(t+\Delta t)\) निम्न समीकरणद्वारा प्राप्त गर्न सकिन्छ।

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

सम्बन्धित विषयहरू