मोडल विश्लेषण¶

सामान्यीकृत आइगेनमान समस्या¶

निरन्तर माध्यमको स्वतन्त्र कम्पन विश्लेषण गर्दा स्थानिक विविक्तीकरण गरी चित्र2.3.1 मा देखाएझैँ केन्द्रित द्रव्यमान भएको बहु-स्वतन्त्रता-डिग्री प्रणालीका रूपमा मोडेल गरिन्छ। ड्याम्पिङ नभएको स्वतन्त्र कम्पन समस्याको शासक समीकरण (गतिसमीकरण) निम्न छ।

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

यहाँ $u$ सामान्यीकृत विस्थापन भेक्टर, $M$ द्रव्यमान म्याट्रिक्स र $K$ कठोरता म्याट्रिक्स हो। $\omega$ लाई प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति, $a$ र $b$ लाई एकैसाथ शून्य नहुने मनपर्ने स्थिरांक, र $x$ लाई भेक्टर मानी फलन

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

परिभाषित गरौँ। यो समीकरण र यसको दोस्रो अवकलन अर्थात्

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

समीकरण $\eqref{eq:2.3.2}$ र समीकरण $\eqref{eq:2.3.3}$ लाई समीकरण $\eqref{eq:2.3.1}$ मा प्रतिस्थापन गर्दा

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

माथिको समीकरण प्राप्त हुन्छ।

गैर-तुच्छ कम्पनका लागि $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ सर्वदा शून्य हुँदैन।

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

त्यसैले माथिको सम्बन्ध प्राप्त हुन्छ। अब $\lambda=\omega^2$ राख्दा

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

माथिको समीकरण प्राप्त हुन्छ।

स्केलर $\lambda$ लाई आइगेनमान, भेक्टर $x$ लाई आइगेनभेक्टर र समीकरण $\eqref{eq:2.3.5}$ ले व्यक्त गरेको समस्यालाई सामान्यीकृत आइगेनमान समस्या भनिन्छ।

प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति $\omega$ आइगेनमान $\lambda=\omega^2$ बाट प्राप्त हुन्छ, र सम्बन्धित आइगेनभेक्टर $x$ ले मोड आकार जनाउँछ।

ड्याम्पिङ नभएको स्वतन्त्र कम्पनको बहु-स्वतन्त्रता-डिग्री प्रणालीको उदाहरण

चित्र 2.3.1 ड्याम्पिङ नभएको स्वतन्त्र कम्पनको बहु-स्वतन्त्रता-डिग्री प्रणालीको उदाहरण

म्याट्रिक्सका गुण र मान्यताहरू¶

अघिल्लो खण्डमा प्राप्त सामान्यीकृत आइगेनमान समस्या $Kx=\lambda Mx$ का लागि यस म्यानुअलले म्याट्रिक्सहरू सममित हुने मान्यता राख्छ। समिश्र म्याट्रिक्सका लागि यो हर्मिटियन म्याट्रिक्ससँग र वास्तविक म्याट्रिक्सका लागि सममित म्याट्रिक्ससँग मेल खान्छ।

$k_{ij}$ लाई म्याट्रिक्स $K$ को $ij$ प्रविष्टि मानौँ। हर्मिटियन गुणलाई

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

माथिको समीकरणले व्यक्त गर्छ, जहाँ $\bar{k}_{ji}$ भनेको $k_{ji}$ को समिश्र संयुग्म हो। वास्तविक म्याट्रिक्सका लागि यो सम्बन्ध $k_{ij}=k_{ji}$ हुन्छ।

वास्तविक सममित म्याट्रिक्स $H$ प्रत्येक अशून्य भेक्टर $x$ का लागि

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

माथिको असमानता पूरा भएमा धनात्मक निश्चित हुन्छ। यस अवस्थामा $H$ का सबै आइगेनमान धनात्मक हुन्छन्।

संरचनात्मक आइगेनमान समस्यामा द्रव्यमान म्याट्रिक्स $M$ लाई सामान्यतः धनात्मक निश्चित मानिन्छ। तर कठोरता म्याट्रिक्स $K$ प्रतिबन्धहरूका आधारमा धनात्मक अर्ध-निश्चित हुन सक्छ र दृढ-पिण्ड मोडसँग सम्बन्धित शून्य आइगेनमान हुन सक्छन्।

शिफ्ट सहितको प्रतिलोम पुनरावृत्ति विधि¶

परिमित तत्त्व विधिबाट संरचनात्मक विश्लेषणमा व्यवहारतः सबै आइगेनमान आवश्यक पर्दैनन् र प्रायः केही निम्न-क्रमका आइगेनमान पर्याप्त हुन्छन्। HEC-MW ले ठूलो समस्या सम्हाल्ने अपेक्षा भएकाले म्याट्रिक्स आकार ठूलो र अत्यन्त विरल (धेरै शून्य घटक) हुन्छ। त्यसैले निम्न-क्रम मोडका आइगेनमान दक्ष रूपमा खोज्नु महत्त्वपूर्ण हुन्छ।

शिफ्ट $\sigma$ का लागि, यदि $-\sigma$ आइगेनमान होइन र $K+\sigma M$ असिङ्गुलर छ भने, समीकरण $\eqref{eq:2.3.5}$ लाई निम्न रूपमा रूपान्तरण गर्न सकिन्छ।

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

यस रूपान्तरणले आइगेनभेक्टर $x$ लाई अपरिवर्तित राख्छ र आइगेनमान $\lambda$ लाई $1/(\lambda+\sigma)$ मा नक्साङ्कन गर्छ।

फलतः $\lambda$ जति $-\sigma$ नजिक हुन्छ, रूपान्तरित आइगेनमानको निरपेक्ष मान त्यति ठूलो हुन्छ। संरचनात्मक आइगेनमान समस्याका लागि $\lambda \geq 0$ र $\sigma \geq 0$ भएकाले सबैभन्दा सानो आइगेनमान सबैभन्दा ठूलो निरपेक्ष मान भएको आइगेनमानमा नक्साङ्कित हुन्छ। यस गुणको प्रयोग गरी, ठूलो निरपेक्ष मान भएका आइगेनमानतर्फ पहिले अभिसरण गर्ने प्रवृत्ति भएको पुनरावृत्ति विधि समीकरण $\eqref{eq:2.3.8}$ मा लागू गर्दा निम्न-क्रमका आइगेनमानहरू बढ्दो क्रममा दक्षतापूर्वक प्राप्त गर्न सकिन्छ।

यस विधिलाई शिफ्ट सहितको प्रतिलोम पुनरावृत्ति भनिन्छ।

प्रतिबन्ध भएका विश्लेषणमा FrontISTR ले $\sigma = 0$ राख्छ, र समीकरण $\eqref{eq:2.3.8}$ $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$ अर्थात् शिफ्टविहीन प्रतिलोम पुनरावृत्ति बन्छ। प्रतिबन्धरहित मुक्त-मुक्त विश्लेषणमा $K$ दृढ-पिण्ड मोडसँग सम्बन्धित शून्य आइगेनमानका कारण सिङ्गुलर हुन्छ; $\sigma$ लाई धनात्मक मान दिँदा $K+\sigma M$ नियमित हुन्छ। $\sigma$ को मान !EIGEN भित्र SIGMA द्वारा निर्दिष्ट गरिन्छ।

Lanczos विधि¶

अपनाउनुको कारण (Jacobi विधिसँग तुलना)¶

शास्त्रीय विधिमा Jacobi विधि प्रसिद्ध छ।

म्याट्रिक्स सानो र सघन हुँदा यो प्रभावकारी हुन्छ। तर HEC-MW ले ठूलो र विरल म्याट्रिक्स सम्हाल्ने भएकाले यो विधि नअपनाई Lanczos पुनरावृत्ति समाधान विधि प्रयोग गर्छ।

एल्गोरिदम र विशेषता¶

1950 को दशकमा C. Lanczos ले प्रस्ताव गरेको यो विधि म्याट्रिक्सलाई त्रिविकर्ण बनाउने एल्गोरिदम हो र निम्न विशेषता छन्।

यो पुनरावृत्ति विधि हो र म्याट्रिक्सलाई विरल राख्दै गणना गर्न सक्छ।
यसको सञ्चालन मुख्यतः म्याट्रिक्स-भेक्टर गुणनमा आधारित भएकाले समानान्तरकरणका लागि उपयुक्त छ।
यो परिमित तत्त्व मेशसँग सम्बन्धित ज्यामितीय डोमेन विभाजनका लागि उपयुक्त छ।
प्राप्त गर्नुपर्ने आइगेनमानको सङ्ख्या वा मोडको दायरा सीमित गरेर दक्ष गणना गर्न सकिन्छ।

Lanczos विधि प्रारम्भिक भेक्टरबाट सुरु हुन्छ, क्रमशः लम्बवत् भेक्टरहरू निर्माण गर्छ र Krylov उपस्थानको आधार प्राप्त गर्छ।

सीमित-परिशुद्धता अंकगणितमा राउन्ड-अफ त्रुटिले भेक्टरहरूको लम्बवतता हराउन सक्छ। यस प्रभावलाई दबाउन FrontISTR कार्यान्वयनले प्रत्येक भेक्टरलाई पहिले प्राप्त Lanczos आधार भेक्टरहरूसँग पुनः लम्बवत् बनाउँछ।

ज्यामितीय अर्थ (Krylov उपस्थान)¶

समीकरण $\eqref{eq:2.3.8}$ मा निम्न चर रूपान्तरण गर्दा

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

समस्या पुनर्लेखन गरेर

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

माथिको समीकरण प्राप्त हुन्छ।

कुनै पनि अशून्य भेक्टर $q_0$ का लागि

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

यी भेक्टरहरूले फैलाएको स्थान

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

लाई Krylov उपस्थान भनिन्छ।

Lanczos विधिले यस Krylov उपस्थानको आधार क्रमशः निर्माण गर्छ।

FrontISTR ले द्रव्यमान म्याट्रिक्स $M$ सँग सम्बन्धित निम्न आन्तरिक गुणन

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

आधारलाई अर्थोनर्मल बनाउन प्रयोग गर्छ। निम्न चित्रहरूमा देखाइएका आन्तरिक गुणन $\langle x,y\rangle$ र नर्म $\|x\|$ लाई FrontISTR गणनामा क्रमशः यस $M$-आन्तरिक गुणन र सम्बन्धित $M$-नर्मका रूपमा बुझिन्छ

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

क्रमशः।

चित्र 2.3.2 मा देखाएझैँ म्याट्रिक्स $A$ द्वारा परिभाषित रेखीय रूपान्तरण कुनै पनि भेक्टर $q_0$ मा लागू गर्नुहोस्।

$म्याट्रिक्स $A$ द्वारा $q_0$ को रैखिक रूपान्तरण$

चित्र 2.3.2 म्याट्रिक्स $A$ द्वारा $q_0$ को रैखिक रूपान्तरण

रूपान्तरित भेक्टरलाई त्यसले मूल भेक्टरसँग मिलेर फैलाएको स्थानभित्र लम्बवत् बनाइन्छ। विशेषतः चित्र 2.3.3 मा देखाएझैँ Gram-Schmidt लम्बीकरण गरिन्छ। प्राप्त भेक्टरलाई $r_1$ मान्दा, त्यसलाई नर्मलाइज गरेर $q_1$ प्राप्त हुन्छ।

$q_0\) सँग लम्बवत भेक्टर \(q_1$

चित्र 2.3.3 $q_0$ सँग लम्बवत भेक्टर $q_1$

उही प्रक्रियाबाट $q_1$ बाट $q_2$ प्राप्त हुन्छ। यहाँ चित्र 2.3.4 मा देखाएझैँ $q_2$, $q_1$ र $q_0$ दुवैसँग लम्बवत् हुन्छ।

$q_1\) र $q_0$ सँग लम्बवत भेक्टर \(q_2$

चित्र 2.3.4 $q_1$ र $q_0$ सँग लम्बवत भेक्टर $q_2$

यसरी Lanczos विधिले Krylov उपस्थानको अर्थोनर्मल आधार क्रमशः निर्माण गर्छ। सैद्धान्तिक रूपमा आइगेनमान समस्याको सममितिले यस पुनरावृत्तिलाई हालसालैका आधार भेक्टरहरू समावेश गर्ने तीन-पद पुनरावर्ती सम्बन्धका रूपमा व्यक्त गर्न सम्भव बनाउँछ।

तर सीमित-परिशुद्धता अंकगणितका कारण हुने लम्बवतता ह्रास दबाउन FrontISTR कार्यान्वयनले प्रत्येक भेक्टरलाई $M$-आन्तरिक गुणन प्रयोग गरेर पहिले प्राप्त Lanczos आधार भेक्टरहरूसँग पुनः लम्बवत् बनाउँछ।

त्रिविकर्णीकरण¶

FrontISTR को Lanczos पुनरावृत्तिमा आधार भेक्टरहरू अघिल्लो खण्डमा वर्णन गरिएको $M$-आन्तरिक गुणनका सापेक्ष अर्थोनर्मल बनाइन्छन्, त्यसैले

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

माथिको सम्बन्ध पूरा हुन्छ।

समीकरण $\eqref{eq:2.3.10}$ को म्याट्रिक्स $A$ प्रयोग गर्दा सैद्धान्तिक Lanczos पुनरावृत्ति

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

माथिको तीन-पद पुनरावर्ती सम्बन्धद्वारा व्यक्त हुन्छ।

पहिले $\alpha_i$ लाई निम्न रूपमा परिभाषित गरिन्छ।

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

त्यसपछि अस्थायी अवशेषलाई

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

माथि देखाएझैँ परिभाषित गरिन्छ।

सीमित-परिशुद्धता अंकगणितका कारण हुने लम्बवतता ह्रास दबाउन FrontISTR कार्यान्वयनले $\tilde{r}_{i+1}$ लाई $M$-आन्तरिक गुणन प्रयोग गरेर पहिले प्राप्त Lanczos आधार भेक्टरहरूसँग पुनः लम्बवत् बनाउँछ। यदि $r_{i+1}$ पुनः लम्बीकरणपछिको अवशेष हो भने

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

माथिका सम्बन्धहरू पूरा हुन्छन्।

Lanczos पुनरावृत्तिबाट प्राप्त $m$ आधार भेक्टरहरूलाई

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

मा सङ्कलन गरौँ। त्यसपछि सीमित सङ्ख्याका Lanczos पुनरावृत्तिपछि

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

माथिको सम्बन्ध पूरा हुन्छ।

यहाँ $e_m$ एउटा $m$-आयामी एकाइ भेक्टर हो, जसको $m$-औँ घटक 1 र अन्य घटक शून्य छन्, र

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

एक सममित त्रिविकर्णीय म्याट्रिक्स हो।

यसरी त्रिविकर्णीय म्याट्रिक्स $T_m$ का आइगेनमानहरू गणना गरेर मूल ठूलो-स्तरको आइगेनमान समस्याका आइगेनमानहरू सन्निकट गर्न सकिन्छ।

सम्बन्धित विषय¶

आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण — मोडल विश्लेषणका परिणाम प्रयोग गर्ने आवृत्ति प्रतिक्रिया
विश्लेषणका प्रकार — मोडल विश्लेषणको कार्यात्मक अवलोकन