Skip to content

आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण

समस्या निर्धारण

आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण भनेको बाह्य बल समयअनुसार हार्मोनिक रूपमा परिवर्तन हुँदा स्थिर-अवस्थामा प्रणालीको प्रतिक्रिया आयाम र चरणलाई आवृत्ति क्षेत्रमा मूल्याङ्कन गर्ने विश्लेषण हो। अवमन्दन नभएको र भएको अवस्थामा गति समीकरणको ढाँचा फरक हुने भएकाले, यस अध्यायमा पहिले अवमन्दनरहित स्वतन्त्र कम्पनबाट आइगेनमोड निकालिन्छ र त्यसलाई मोडल आधारका रूपमा प्रयोग गरी अवमन्दनयुक्त हार्मोनिक प्रतिक्रिया विस्तार गरिन्छ।

अवमन्दनरहित स्वतन्त्र कम्पन र आइगेनमोड

अवमन्दनलाई विचार नगर्दा गति समीकरण निम्न प्रकारको हुन्छ।

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

यसलाई प्रत्येक आइगेनमोडअनुसार विस्तार गर्दा,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

प्राप्त हुन्छ। यसलाई समीकरण \(\eqref{eq:2.6.1}\) मा प्रतिस्थापन गर्दा,

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

प्राप्त हुन्छ। यस सामान्यीकृत आइगेनमान समस्याको सङ्ख्यात्मक समाधान विधि (स्थानान्तरित व्युत्क्रम पुनरावृत्ति र Lanczos विधि) आइगेनमान विश्लेषण मा वर्णन गरिएको छ। यहाँ प्राप्त प्राकृतिक आवृत्ति र आइगेनमोडमध्ये पछिको हार्मोनिक प्रतिक्रिया विस्तारमा प्रयोग हुने गुणहरू मात्र व्यवस्थित गरिन्छ।

प्राकृतिक आवृत्तिको वास्तविकता

यस प्राकृतिक आवृत्ति वास्तविक संख्या हुन्छ भन्ने कुरा निम्नानुसार देखाउन सकिन्छ। \(\omega_j^2 = \lambda_j\) राखी समीकरण \(\eqref{eq:2.6.3}\) को जटिल संयुग्म लिँदा समीकरण \(\eqref{eq:2.6.4}\) प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

यसलाई \(\overline{U}_J^T\) ले गुणा गर्दा,

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

प्राप्त हुन्छ। समीकरण \(\eqref{eq:2.6.5}\) बाट,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

हुन्छ। यहाँ द्रव्यमान आव्यूह धनात्मक निश्चित सममित भएकाले शून्य नभएको आइगेनभेक्टरका लागि

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

पूरा हुन्छ। त्यसैले,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

हुन्छ र \(\omega_j^2 = \lambda_j\) वास्तविक संख्या हुन्छ।

आइगेनमोडको लम्बवतता र सामान्यीकरण

अब दुई फरक मोडलाई विचार गरौँ।

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

यसबाट,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

प्राप्त हुन्छ, र आइगेनमान फरक भएमा,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

हुन्छ। अर्थात् फरक आइगेनमोडहरू द्रव्यमान आव्यूहका सापेक्ष परस्पर लम्बवत हुन्छन्। एउटै मोडलाई द्रव्यमान आव्यूहका सापेक्ष सामान्यीकरण (समीकरण \(\eqref{eq:2.6.12}\)) गर्दा त्यसको व्यवहार सजिलो हुन्छ।

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

अवमन्दनयुक्त हार्मोनिक प्रतिक्रिया

अब अवमन्दन समावेश गरिएको आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषणको सूत्रीकरण देखाइन्छ। लक्ष्य गति समीकरण समीकरण \(\eqref{eq:2.6.13}\) मा दिइएको छ।

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

यहाँको अवमन्दन पद Rayleigh प्रकारको मानिन्छ र \(\eqref{eq:2.6.14}\) अनुसार लेख्न सकिन्छ।

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

आइगेनमान विश्लेषणबाट प्राप्त आइगेनभेक्टरहरू प्रयोग गरेर समय t मा विस्थापन भेक्टरलाई समीकरण \(\eqref{eq:2.6.15}\) अनुसार विस्तार गर्न सकिन्छ।

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

यस अवस्थामा बाह्य बल पद हार्मोनिक दोलकको रूप

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

भएमा \(b_{j}(t)\) निर्धारण गरिन्छ। गति समीकरण \(\eqref{eq:2.6.13}\) बाध्य कम्पनको रूपमा हुने भएकाले

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

पूरा हुन्छ। \(b_{j}(t)\) को विस्तार गुणाङ्कको वास्तविक र काल्पनिक भाग निकाल्दा क्रमशः समीकरण \(\eqref{eq:2.6.18}i\) र समीकरण \(\eqref{eq:2.6.19}\) को रूप प्राप्त हुन्छ।

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

हुन्छ।

सम्बन्धित विषय