अस्थिर ताप चालन विश्लेषण
सीमित तत्त्व विधि (Finite Element Method) द्वारा ठोसको ताप चालन विश्लेषणमा समय विविक्तीकरण र पुनरावृत्त समाधान विधि यहाँ देखाइन्छ। निरन्तर माध्यमको शासन समीकरण र सीमा सर्तका लागि ताप चालन समीकरण हेर्नुहोस्।
विविक्त समीकरण (प्रारम्भिक बिन्दु)
ताप चालन समीकरण (ताप चालन समीकरणको समीकरण (gov_he_main)) लाई Galerkin विधिद्वारा विविक्तीकरण गर्दा,
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
जहाँ,
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
यहाँ \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) क्रमशः ताप चालन म्याट्रिक्स (सीमा योगदानका संवहन र विकिरण पदसमेत), द्रव्यमान म्याट्रिक्स, तापीय भार भेक्टर र आकार फलन म्याट्रिक्स हुन्। पदार्थ गुणका प्रतीकहरू (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) आदि) का परिभाषा ताप चालन समीकरण अनुसार हुन्।
समय विविक्तीकरण र पुनरावृत्त समाधान
समीकरण \(\eqref{eq:2.4.8}\) गैररेखीय तथा अस्थिर समीकरण हो। समयका सन्दर्भमा backward Euler विधिद्वारा विविक्तीकरण गरी, समय \(t=t_0\) मा तापक्रम ज्ञात हुँदा समय \(t=t_0+\Delta t\) को तापक्रम निम्न समीकरणबाट गणना गरिन्छ।
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]
अब समीकरण \(\eqref{eq:2.4.13}\) लाई लगभग पूरा गर्ने तापक्रम भेक्टर \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) लाई सुधार गरी अझ शुद्ध समाधान \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) निकाल्ने विचार गरिन्छ।
यसका लागि पहिले तापक्रम भेक्टरलाई निम्न रूपमा लेखिन्छ।
\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]
ताप चालन म्याट्रिक्स र तापक्रम भेक्टरको गुणनफल तथा द्रव्यमान म्याट्रिक्स आदिलाई निम्न समीकरणहरूद्वारा लगभग व्यक्त गरिन्छ।
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]
समीकरण \(\eqref{eq:2.4.14}\), समीकरण \(\eqref{eq:2.4.15}\) र समीकरण \(\eqref{eq:2.4.16}\) लाई समीकरण \(\eqref{eq:2.4.13}\) मा प्रतिस्थापन गरी दोस्रो वा उच्च क्रमका पदहरू छोड्दा निम्न समीकरण प्राप्त हुन्छ।
\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]
बायाँपट्टिको गुणांक म्याट्रिक्सलाई थप रूपमा निम्न समीकरण प्रयोग गरी लगभग मूल्याङ्कन गरिन्छ।
\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]
यहाँ \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) स्पर्शरेखीय कठोरता म्याट्रिक्स हो।
अन्ततः निम्न समीकरण प्रयोग गरेर पुनरावृत्त गणना गर्दा समय \(t=t_0+\Delta t\) को तापक्रम गणना गर्न सकिन्छ।
\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]
विशेष गरी स्थैतिक विश्लेषणमा निम्न समीकरण प्रयोग गरी पुनरावृत्त गणना गरिन्छ।
\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]
अस्थैतिक विश्लेषणमा समय वृद्धि \(\Delta t\) को छनोटमा, समय विविक्तीकरणका लागि अन्तर्निहित विधि प्रयोग भएकाले सामान्यतः यसको आकारमा प्रतिबन्ध हुँदैन। तर समय वृद्धि \(\Delta t\) धेरै ठूलो भए पुनरावृत्त गणनाको अभिसरण संख्या बढ्छ। सामान्यतया समय वृद्धि \(\Delta t\) धेरै ठूलो भए पुनरावृत्ति संख्या बढ्छ। कार्यान्वयनमा residual भेक्टरको परिमाण अनुगमन गरिन्छ; अभिसरण ढिलो भए \(\Delta t\) घटाइन्छ र पुनरावृत्ति संख्या कम भए \(\Delta t\) बढाइन्छ। यस्तो स्वचालित वृद्धि नियन्त्रण प्रयोग गरिन्छ (→ विवरणका लागि स्टेप नियन्त्रण हेर्नुहोस्)।
सम्बन्धित विषयहरू