Skip to content

ज्यामितीय सीमा सर्तको प्रशोधन

Newton-Raphson विधि मा प्रत्येक पुनरावृत्तिमा समाधान गरिने रैखिक समीकरण \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) मा अझै ज्यामितीय सीमा सर्त (विस्थापन अवरोध) समावेश गरिएको हुँदैन। यस अध्यायले विस्थापन अवरोध \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) दिइएको स्वतन्त्रता डिग्रीका लागि कठोरता म्याट्रिक्स \(\boldsymbol{K}\) र अवशेष भेक्टर \(\boldsymbol{R}\) कसरी संशोधन गर्दा पुनरावृत्तिपछिको विस्थापनले अवरोध मान प्राप्त गर्छ भन्ने देखाउँछ। बहुबिन्दु अवरोध (MPC) र सम्पर्कसँग सम्बन्धित गैररैखिक अवरोध छुट्टै प्रशोधन मार्गमा पर्छन्; बहुबिन्दु अवरोध र सम्पर्क हेर्नुहोस्।

विस्थापन अवरोधलाई अज्ञात चरमै राख्ने नीति

ज्यामितीय सीमा सर्त दिइएको नोडको विस्थापन अब अज्ञात चर नभई निर्धारित मान \(\bar{u}_i\) मा स्थिर हुन्छ। यसलाई स्थिरांक मानेर रैखिक समीकरण \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) बाट हटाउन पनि सकिन्छ, तर FrontISTR ले अवरुद्ध स्वतन्त्रता डिग्रीलाई अन्य स्वतन्त्रता डिग्रीसँगै संशोधन भेक्टर \(d\boldsymbol{u}\) मा राखी \(\boldsymbol{K}\) र \(\boldsymbol{R}\) लाई पुनर्लेखन गरेर अवरोध लागू गर्छ।

यस विधिमा अवरोध भए/नभए पनि गुणांक म्याट्रिक्सको आयाम र स्वतन्त्रता डिग्रीको क्रम बदलिँदैन, त्यसैले चर हटाएर खाली पङ्क्ति र स्तम्भ पुनःभर्ने काम आवश्यक पर्दैन। विरल म्याट्रिक्स ढाँचामा गुणांक म्याट्रिक्स राख्ने कार्यान्वयनमा यस्तो पुनःव्यवस्था जटिल हुन्छ; त्यसैले FrontISTR ले गुणांक म्याट्रिक्स र दायाँ पक्ष अद्यावधिक गरेर मात्र अवरोध प्राप्त गर्ने पछिल्लो विधि प्रयोग गर्छ।

Newton-Raphson संशोधन राशिको प्रतिस्थापन लक्ष्य

विस्थापन अवरुद्ध स्वतन्त्रता डिग्री \(i\) का लागि Newton-Raphson पुनरावृत्तिमा खोजिने संशोधन राशि \(du_i\) लाई

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{पहिलो पुनरावृत्ति}) \\ 0 & (\text{दोस्रो र त्यसपछिका पुनरावृत्ति}) \end{cases} \]

बनाउने गरी \(\boldsymbol{K}\) र \(\boldsymbol{R}\) संशोधन गरिन्छ। यसरी पहिलो पुनरावृत्तिमै विस्थापन वृद्धि अवरोध मान \(\bar{u}_i\) सम्म पुग्छ र दोस्रो तथा त्यसपछिका पुनरावृत्तिमा संशोधन राशि \(0\) भएर अवरोध मान कायम रहन्छ।

म्याट्रिक्स र अवशेष भेक्टर रूपान्तरण प्रक्रिया

अघिल्लो खण्डको प्रतिस्थापन लक्ष्य रैखिक समीकरण \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) को रूप कायम राख्दै निम्न दुई रूपान्तरणबाट प्राप्त हुन्छ।

  1. पङ्क्ति \(i\) को विकर्णीकरण: \(du_i\) को गुणांक विकर्ण पद \(K_{ii}\) लाई \(1\) र अन्य सबै गुणांक \(K_{ij}\ (j \not= i)\) लाई \(0\) ले प्रतिस्थापन गरी दायाँ पक्षलाई \(R_i \to d\bar{u}_i\) बनाइन्छ। यसबाट पङ्क्ति \(i\) को समीकरण \(du_i = d\bar{u}_i\) हुन्छ।
  2. पङ्क्ति \(j(\not= i)\) बाट पद सार्ने: पङ्क्ति \(j(\not= i)\) मा \(K_{ji} \not= 0\) भए \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) पद दायाँ पक्षमा सारिन्छ। अर्थात् दायाँ पक्षबाट \(K_{ji} d\bar{u}_i\) घटाइन्छ र \(du_i\) को गुणांक \(K_{ji}\) लाई \(0\) बनाइन्छ।

घटक रूपमा, रूपान्तरणअघिका र पछिका समीकरण निम्न प्रकार छन्।

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

रूपान्तरणपछिको गुणांक म्याट्रिक्स र दायाँ पक्षलाई क्रमशः \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) लेख्दा अन्तिम रूपमा समाधान गर्नुपर्ने रैखिक समीकरण

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

हुन्छ। धेरै अवरुद्ध स्वतन्त्रता डिग्री भए प्रत्येक \(i\) का लागि माथिका 1 र 2 रूपान्तरण क्रमशः लागू गरिन्छ।

विरल म्याट्रिक्स कार्यान्वयनमा प्रशोधन दायरा

कार्यान्वयनमा गुणांक म्याट्रिक्स \(\boldsymbol{K}\) विरल म्याट्रिक्स ढाँचामा राखिन्छ। अघिल्लो खण्डको प्रक्रिया 2 मा पङ्क्ति \(j(\not= i)\) को प्रशोधन केवल स्तम्भ \(i\) मा शून्येतर घटक भएका पङ्क्ति, अर्थात् तत्त्वमार्फत अवरुद्ध स्वतन्त्रता डिग्री \(i\) सँग जोडिएका नोडका स्वतन्त्रता डिग्रीमा मात्र गरिन्छ। नजोडिएका स्वतन्त्रता डिग्रीमा \(K_{ji} = 0\) हुने भएकाले पद सार्दा दायाँ पक्ष बदलिँदैन। यस सीमितताबाट सम्पूर्ण नोड संख्याको तुलनामा स्थानीय अपरेशनले मात्र अवरोध प्रशोधन पूरा हुन्छ।

सम्बन्धित विषय