Ga naar inhoud

Principe van virtuele arbeid

Op basis van de evenwichtsvergelijking en randvoorwaarden die zijn afgeleid in Spanning en behoudswetten, leiden we het principe van virtuele arbeid af, de zwakke vorm van het randwaardeprobleem uit de continuümmechanica. De eindige-elementendiscretisatie vertrekt vanuit deze zwakke vorm. Dit hoofdstuk geeft zowel de vorm in de huidige configuratie (uitgedrukt met Cauchy-spanning en het lineaire deel van de Almansi-rek) als de vorm in de referentieconfiguratie (uitgedrukt met de tweede Piola-Kirchhoff-spanning en Green-Lagrange-rek), toont hun equivalentie aan en bevestigt vervolgens de reductie tot kleine vervormingen.

Evenwichtsvergelijking en randvoorwaarden

Laat de lichaamskracht per massaeenheid die op het continuüm werkt \(\boldsymbol{g}\) zijn en beschouw een lichaam dat in de huidige configuratie het domein \(\Omega\) inneemt. De grens \(\Gamma\) wordt opgesplitst in een geometrische grens waarop de verplaatsing als \(\bar{\boldsymbol{u}}\) is voorgeschreven, \(\Gamma_B\), en een mechanische grens waarop de oppervlaktekracht als \(\bar{\boldsymbol{t}}\) is voorgeschreven, \(\Gamma_t\), waarbij \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) en \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Voor een statisch probleem wordt de evenwichtsvergelijking verkregen door de traagheidsterm weg te laten uit de impulsbehoudswet in Spanning en behoudswetten:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

De randvoorwaarden zijn

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{op} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{op} \ \Gamma_B \]

Hierna wordt het principe van virtuele arbeid afgeleid als de zwakke vorm van de evenwichtsvergelijking en de mechanische randvoorwaarde \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). De geometrische randvoorwaarde \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) wordt verwerkt door de keuze van de testfunctie.

Zwakke vorm in de huidige configuratie

Definieer in de zwakke vorm de toelaatbare ruimte voor de onbekende verplaatsing en de testfunctieruimte respectievelijk als

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{op} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{op} \ \Gamma_B \} \]

Hierin is \(d\) de ruimtelijke dimensie, is \(H^1(\Omega)\) de Sobolev-ruimte van functies die samen met hun eerste zwakke afgeleiden kwadratisch integreerbaar zijn, en geeft \(\delta\) de variatie aan. In de voorstelling in de huidige configuratie is \(\Omega\) de vervormde configuratie; bij een werkelijke numerieke oplossing wordt deze teruggetrokken naar de referentieconfiguratie of naar een bekende tussenconfiguratie.

Vermenigvuldiging van de evenwichtsvergelijking met de gewichtsfactor \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\), gevolgd door toepassing van de divergentiestelling van Gauss en de mechanische randvoorwaarde, geeft het volgende principe van virtuele arbeid in de huidige configuratie.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Hierin is \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) het lineaire deel van de Almansi-rektensor, gedefinieerd door

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

De variatie ervan is \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). We zoeken dus \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) zodanig dat de vergelijking voor virtuele arbeid wordt voldaan voor elke \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). De linkerkant is de virtuele arbeid van de interne krachten, terwijl de rechterkant de virtuele arbeid is van de externe krachten ten gevolge van de voorgeschreven oppervlaktekracht en lichaamskracht.

Omdat deze vergelijking over het vervormde domein (de huidige configuratie) is geschreven, kiest een werkelijke oplossingsprocedure de initiële configuratie \(\Omega_0\) (referentieconfiguratie) of een bekende tussenconfiguratie opnieuw als referentieconfiguratie, herschrijft de vergelijking in incrementele vorm en lost deze vervolgens op. Zie Raamwerk voor incrementele analyse voor de concrete keuze van de referentieconfiguratie (Total Lagrange / Updated Lagrange) en de incrementele ontbinding.

Zwakke vorm in de initiële configuratie

Beschouw een lichaam dat in de referentieconfiguratie het domein \(\Omega_0\) inneemt en splits de grens \(\Gamma_0\) op in \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Door de voorstelling in de huidige configuratie terug te trekken naar de referentieconfiguratie ontstaat het geconjugeerde spanning-rekpaar van de tweede Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{S}\) en de Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\). Het principe van virtuele arbeid in de initiële configuratie is dan

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Dit kan zo worden geschreven. Hierin is \(\rho_0\) de massadichtheid in de referentieconfiguratie en is dit, via de massabehoudsrelatie \(\rho_0 = J\rho\), equivalent aan de voorstelling van de lichaamskracht in de huidige configuratie.

Equivalentie van de voorstellingen in de huidige en initiële configuratie

De virtuele arbeid van de interne krachten in beide voorstellingen valt samen via de transformatie met de vervormingsgradiënt \(\boldsymbol{F}\) en de volumeverhouding \(J = \det \boldsymbol{F}\); namelijk

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

De externe-krachttermen zijn eveneens equivalent door massabehoud en transformatie van de oppervlaktekracht. De vergelijking voor virtuele arbeid in de huidige configuratie en die in de initiële configuratie drukken daarom hetzelfde principe uit in verschillende configuraties. Een oplossingsmethode die naar de referentieconfiguratie verwijst, komt overeen met de Total Lagrange-methode, terwijl een oplossingsmethode die naar de huidige configuratie (de direct voorafgaande geconvergeerde configuratie) verwijst, overeenkomt met de Updated Lagrange-methode.

Reductie tot kleine vervorming

Onder de aannamen van kleine vervorming \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) en \(J \approx 1\) verdwijnt het onderscheid tussen de huidige en referentieconfiguratie, valt de tweede PK-spanning samen met de Cauchy-spanning (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), en reduceren zowel de Green-Lagrange-rek als het lineaire deel van de Almansi-rek tot de infinitesimale rek \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Het principe van virtuele arbeid reduceert dan tot de zwakke vorm uitgedrukt in de Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) en de infinitesimale rek \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{op} \ \Gamma_B \]

Dit is de zwakke vorm die rechtstreeks wordt gebruikt voor discretisatie in lineair-elastische statische analyse met kleine vervormingen (Lineair-elastische statische analyse (inleiding en appendix) vertrekt vanuit deze vorm en toont de opbouw van de elementstijfheid \(\boldsymbol{K}^e\) tot en met de assemblage van de globale vergelijking \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Na substitutie van de lineair-elastische constitutieve wet \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) en het schrijven van \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) in Voigt-notatie, wordt de zwakke vorm

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

in deze vorm.

Gerelateerde onderwerpen